高二上期末考试模拟试题三
数 学
（测试时间：120分钟 满分150分）
一． 选择题（12×5分=60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将正确结论的代号填入后面的表中）
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 |
1．抛物线
＝－2y2的准线方程是( ).
A．
B．
C．
D．
2．两直线2x – y ＋ k ＝ 0 与4x – 2y ＋ 1 ＝ 0的位置关系为( ).
A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．平行或重合
3．不等式
≤0的解集是( ).
A．{x│≤2} B．{x│1＜x≤2＝ C． {x│1≤x≤2} D．{x│1≤x＜2＝
4．圆
的圆心到直线
的距离是( ).
A．
B．
C．1 D．
5．已知a、b、c∈R，那么下列命题正确的是( ).
A．a＞b Þ ac2＞bc2 B．
C．
D．
6．若直线l的斜率k满足k≤1，则直线l的倾斜角的取值范围是( ).
A．
B．
C．
D．
7．若A是定直线l外的一定点，则过A且与l相切圆的圆心轨迹是( ).
A．圆 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线一支
8．曲线y＝
x3－x2＋5在x＝1处的切线的倾斜角是( ).
A．
B．
C．
D．
9. 已知点P（x，y）在不等式组
表示的平面区域上运动，则z=x - y的取值范围是(
).
A．[－2,－1] B．[－2,1] C．[－1,2] D．[1,2]
10．设0＜a＜
，则下列不等式成立的是(
).
A．
B．
C．
D．
11．若双曲线
的焦点在y轴上，则m的取值范围是( ).
A．(－2，2) B．(1，2) C．(－2，－1) D．(－1，2)
12．已知椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．现有一水平放置的椭圆形台球盘，其长轴长为2a，焦距为2c，若点A，B是它的焦点，当静放在点A的小球（不计大小），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后再回到点A时，小球经过的路程是( ).
A．4a B．2(a－b) C．2(a＋c) D．不能惟一确定
 |
二、填空题：本大题共4个小题,每小题4分,共16分.把答案直接填在题中横线上.
13.
用“<”或“>”填空：如果0<a<b<1，n∈N*，那么
______
_______1 .
14. 已知函数
则
的值是_________ .
15. 两圆x2＋y2＝3与
的位置关系是_________ .
16. 给出下列四个命题：① 两平行直线
和
间的距离是
；② 方程
不可能表示圆；③ 若双曲线
的离心率为e，且
，则k的取值范围是
；④ 曲线
关于原点对称．其中所有正确命题的序号是_____________ .
三、解答题: 本大题共6个小题，共74分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分12分)
(Ⅰ) 比较下列两组实数的大小：
① 
－1与2－
； ② 2－与
－
；
(Ⅱ) 类比以上结论，写出一个更具一般意义的结论，并给以证明.
18. (本小题满分12分)
已知直线l过点M(0，1)，且l被两已知直线l1:x－3y＋10＝0和l2:2x＋y－8＝0所截得的线段恰好被M所平分，求直线l方程.
19. (本小题满分12分)
已知圆C经过点A(2，－3)和B(－2，－5).
(Ⅰ) 当圆C的面积最小时，求圆C的方程；
(Ⅱ) 若圆C的圆心在直线x－2y－3＝0上，求圆C的方程.
20. (本小题满分12分)
已知抛物线的顶点在原点，它的准线经过双曲线
的左焦点，且与x轴垂直，此抛物线与双曲线交于点（
），求此抛物线与双曲线的方程．
21. (本小题满分12分)
已知实数a＞0，解关于x的不等式
＞1.
22. (本小题满分14分)
如图，已知△OFQ的面积为S，且
·
＝1，
(Ⅰ) 若S满足条件
<S<2，求向量与的夹角θ的取值范围；
(Ⅱ) 设＝c(c≥2)，S＝
c，若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点Q，当
取得最小值时，求此椭圆的方程.
数学试题参考答案及评分意见
一、选择题：每小题5分,共60分.
1-5. DDBAC；6-10. BBDCA；11-12. CD.
二、填空题：每小题4分,共16分.
13.
>,>；14. 理科：
，文科：11；15.
理科：相离，文科：2；16.
①，④.
三、解答题：每小题5分,共60分.
17.
(Ⅰ) ① (+)2－(2+1)2=2－4＞0.
故+＞2+1，即－1＞2－.················································· 4分
② (2+)2－(+)2=4－2
=2
－2＞0.
故2+＞+ ，即2－＞－. 7分
(Ⅱ) 一般结论：若n是正整数，则
－
＞
－
.······ 10分
证明：与(Ⅰ)类似(从略).······································································· 12分
18.
过点M与x轴垂直的直线显然不合要求，故可设所求直线方程为y＝kx＋1，
············································································································· 2分
若此直线与两已知直线分别交于A、B两点，则解方程组可得
xA＝
，xB＝
.········································································ 6分
由题意＋＝0,
∴k＝－
. 10分
故所求直线方程为x＋4y－4＝0.···························································· 12分
另解一：设所求直线方程y＝kx＋1,
代入方程(x－3y＋10)(2x＋y－8)＝0，
得(2－5k－3k2)x2＋(28k＋7)x－49＝0.
由xA＋xB＝－
＝2xM＝0,解得k＝－.
∴直线方程为x＋4y－4＝0.
另解二：∵点B在直线2x－y－8＝0上，故可设B(t,8－2t)，由中点公式得A(－t,2t－6).
∵点A在直线x－3y＋10＝0上，
∴(－t)－3(2t－6)＋10＝0,得t＝4.∴B(4,0).故直线方程为x＋4y－4＝0.
19. 理科：
(Ⅰ) 要使圆的面积最小，则AB为圆的直径，
∴所求圆的方程为(x－2)(x＋2)＋(y＋3)(y＋5)＝0，即
x2＋(y＋4)2＝5.······················································································ 5分
(Ⅱ) 因为kAB＝12，AB中点为(0，－4)，
所以AB中垂线方程为y＋4＝－2x，即2x＋y＋4＝0.······························ 8分
解方程组
得
即圆心为(－1，－2).
根据两点间的距离公式，得半径r＝
,
因此，所求的圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.······································ 12分
另解：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，根据已知条件得
所以所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
文科：
解：由
得交点
，即所求圆的圆心为
.··················· 5分
设所求的方程为
，················································· 7分
则
，
故圆的方程为
.························································ 12分
20.
由题意可知抛物线的焦点到准线间的距离为2C（即双曲线的焦距）．
设抛物线的方程为
4分
∵抛物线过点
①
又知
② 8分
由①②可得
， 10分
∴所求抛物线的方程为
，双曲线的方程为
.··········· 12分
21. 理科:
原不等式化为(Ⅰ)
或(Ⅱ)
即(Ⅰ)
或(Ⅱ)
········································· 4分
(1)当0＜a＜1时，对于(Ⅰ)有
3＜x＜
；
对于(Ⅱ)有
x∈
.
∴当0＜a＜1时，解集为{x3＜x＜
.············································ 8分
(2)当a＝1时，解集为{xx＞3}. 10分
(3)当a＞1时，解(Ⅰ)得x＞3,(Ⅱ)得x＜，
此时解集为{xx＞3或x＜.··························································· 12分
文科：
原不等可化为 
. 3分
又 
，故
①当
或
时，
.则
；······································ 6分
②当
时，
.则
；············································· 8分
③当
或
时，不等式为
或
，此时无解.·········· 10分
综上：当或时，
.则不等式的解集是
；当时，.则不等式的解集是
；当或时，不等式等价于或，无解. 12分
22.
理科：
(Ⅰ)∵·＝1,∴··cosθ＝1.
又··sin(180°－θ)＝S,
∴tanθ＝2S，S＝
.········································································ 3分
又<S<2,∴<<2,即1<tanθ<4,
∴
<θ<arctan4.·················································································· 5分
(Ⅱ) 以所在的直线为x轴，以的过O点的垂线为y轴建立直角坐标系(如图). 6分
∴O(0,0),F(c,0),Q(x0,y0).
设椭圆方程为
＋
＝1.
又·＝1，S＝c,
∴(c,0)·(x0－c,y0)＝1. ①
·c·y0＝c.
②························································ 8分
由①得c(x0－c)＝1x0＝c＋
.
由②得y0＝
.
∴＝
＝
. ·················································· 10分
∵c≥2,
∴当c＝2时，min＝
＝
,
此时Q(
，±)，F(2，0).·································································· 12分
代入椭圆方程得
∴a2＝10,b2＝6.∴椭圆方程为
.·············································· 14分
文科
(Ⅰ) ∵H点坐标为(x,y),则D点坐标为(x,0),
由定比分点坐标公式可知,A点的坐标为(x,
y).
∴
＝(x＋2,y),
＝(x－2,y).························································· 4分
由BH⊥CA知x2－4＋y2＝0,即
＋ 
＝1,
∴G的方程为＋＝1(y≠0).·························································· 7分
(Ⅱ) 显然P、Q恰好为G的两个焦点,
∴
＋
＝4,
＝2.
若
,
,
成等差数列,则＋＝
＝1.
∴·＝ ＋＝4.······················································ 11分
由
可得＝＝2,
∴M点为＋＝1的短轴端点.
∴当M点的坐标为(0, )或(0,－)时,,,成等差数列.
14分