高二上期末考试模拟试题六
数 学
（测试时间：120分钟 满分150分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．不等式
> 的解集是
（ ）
A．{x x ¹ –1} B．{ x x > –1 } C．{ x x < 0且x ¹ –1 } D．{x –1 < x < 0 }.
2．已知曲线C1: y= –x 2 +4x–2 , C2: y 2 = x, 若C1、C2 关于直线l对称, 则l的方程是（ ）
A．x + y + 2 = 0 B．x + y –2 = 0 C．x – y + 2 = 0. D．x – y – 2 = 0.
3．当
时，方程
的解的个数是
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．已知 – 1< x + y < 3，且2 < x – y < 4，则2x +3y的取值范围是 （ ）
A．（–
，
） B．（–
，） C．（–，
） D．（–，）
5．若抛物线
上横坐标为3的点到焦点的距离等于5，则
等于 （ ）
A．1.5 B．2 C．4 D．8
6．直线
与直线
互相垂直，
R，则
的最小值
为 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．把曲线C1：
按向量
平移后得到曲线C2，曲线C2有一条准线为
，则
（ ）
A．
B．
C．3 D．－3
8．圆心在抛物线
上，且与
轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知点（
）在如图所示三角形及其内部运动，
如果使
（
）取得最大值的
点（）有无穷多个，则
（ ）
A．
B．1 C．6 D．3
10．若椭圆
与双曲线
有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个交点，则
的面积是 （ ）
A．4 B．2 C．1 D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分。
11. 一次化学实验中需要用天平称出20g氧化铜粉末, 某同学发现自己所用的天平是不准的(其两臂不等长)，因此, 他采用下列操作方法：选10g的法码放入左盘, 置氧化铜粉末于右盘使之平衡，取出氧化铜粉末, 然后又将10g法码放于右盘, 置氧化铜粉末于左盘, 平衡后再取出.他这样称两次得到的氧化铜粉末之和应该 20g。(选用“大于”，“小于”，“等于”)
12、不等式
的解集是
。
13．椭圆
的焦点在轴上，则
的取值范围是
．
14．已知椭圆
与双曲线
（
）有相同的焦点F1、F2、P是两曲线的一个交点，则
等于 .
15．已知
，且
，则
的最小值为 ．
16．对于椭圆
和双曲线
有下列命题：
①椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点; ②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点;
③双曲线与椭圆共焦点; ④椭圆与双曲线有两个顶点相同.
其中正确命题的序号是 .
三、解答题（本大题共6题，共76分）
17．(本小题满分12分)已知圆C：
，直线
：
，
（1）求证对
R，直线和圆C总相交；
（2）设直线和圆C交于A、B两点，当
取得最大值时，求直线的方程．
18．(本小题满分13分)已知
.设
函数
在R上单调递减.
不等式
的解集为R. 如果
和
有且仅有一个正确，求
的取值范围.
19．(本小题满分13分)如图，长为6的线段PQ的端点分别在射线
和
上滑动，点M在线段PQ上，且
．
（1）求点M的轨迹方程；
（2）若点M的轨迹与轴、
轴分别交于点A，B，求四边形OAMB面积的最大值．
20．(本小题满分12分)已知抛物线 y 2 = – x与直线 y = k ( x + 1 )相交于A、B两点, 点O是
坐标原点.
（1）求证: OA^OB; （2）当△OAB的面积等于
时, 求k的值.
21．(本小题满分12分)A、B、C是我军三个炮兵阵地，A在B的正东方向相距6千米，C在B的北30°西方向,相距4千米,P为敌炮阵地.某时刻,A发现敌炮阵地的某信号,由于B、C比A距P更远，因此，4秒后，B、C才同时发现这一信号（该信号的传播速度为每秒1千米）.若从A炮击敌阵地P，求炮击的方位角.
22 (本题满分14分)
|
|
已知a , b都是正数，△ABC是平面直角坐标系xOy内, 以两点A ( a , 0 )和B ( 0 , b )为顶点的正三角形，且它的第三个顶点C在第一象限内.
（1）若△ABC能含于正方形D = { ( x , y ) 0 £ x £ 1, 0£ y £ 1}内， 试求 变量 a , b 的约束条件，并在直角坐标系aOb内内画出这个约束等条件表示的平面区域；
（2）当( a, b )在（1）所得的约束条件内移动时，求△ABC面积S的最大值，并求此时（a , b ）的值.
参考答案
一．选择题 (本大题共12小题, 每小题5分, 共60分）
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答案 | D | B | D | D | C | B | C | D | B | C |
二．填空题（本大题有4小题, 每小题4分, 共16分）
11、大于 12、
13．（2，4） 14. 
15. 16. ①②
三、解答题（本大题共6题，共74分）
17．（１）证明：因圆C的圆心为C（0，1），半径
，
所以圆心C到直线的距离为
，
命题得证。
另析：直线：恒过过定点P
，可判明在圆内，即证明直线和
圆C总相交。
（2）当
最小时最大，而
时最小，此时的方程为
．
18． [分析] 此题虽是一道在老教材之下的高考试题，但揭示了“解不等式”一类高考试题的命题方向.在新教材中，绝对值不等式的解法和二次不等式的解法与集合运算、命题判断都有一定联系，属于对于学生提出的基本要求内容的范畴，本题将这几部分知识内容有机地结合在一起，在考查学生基础知识、基本方法掌握的同时，考查了学生命题转换，分类讨论等能力，在不同的方法下有不同的运算量，较好地体现出了“多考一点想，少考一点算”的命题原则.
解答:函数在R上单调递减
，
不等式
的解集为R
函数
在R上恒大于1，
∵
∴函数在R上的最小值为
，
∴不等式的解集为R
，即
，
若正确，且不正确，则
；
若正确，且不正确，则
；
所以的取值范围为
.
19．（1）设P（
），Q（
），M（
），
由
得
代入
得
．
（2）设M（
），其中
，
S＝
，计算S的平方，可得所求最大值为
．
20．解: (1) 当k = 0时直线与抛物线仅一个交点, 不合题意,
∴k ¹ 0由y = k (x+1)得x = 
–1 代入y 2 = – x 整理得: y 2 +
y – 1 = 0 ，
设A (x 1 , y 1),
B (x 2 , y 2) 则y 1 + y 2 = –, y 1y
2 = –1.
∵A、B在y 2
= – x上, ∴A (–
, y 1 ), B (–
, y 2 ) ，
∴ kOA·kOB =
=
= – 1 .
∴ OA^OB.
(2) 设直线与x轴交于E, 则 E ( – 1 , 0 ) ∴OE = 1 ，
S△OAB =
OE( y 1 + y 2 ) = y 1 – y 2 =
=， 解得k = ±
.
21．以线段AB的中点为原点，正东方向为轴的正方向建立直角坐标系，
则
依题意 
在以A、B为焦点的双曲线的右支上.这里
.
其方程为 
又 
又在线段AB的垂直平分线上
由方程组
解得 
即 
由于
，可知P在北30°东方向.
22解: （1）顶点C是以A、B为圆心AB为半径的两圆在第一象限的交点，由圆A: ( x – a)2 + y2 = a2 + b2
, 圆B: x2 + ( y – b )2 = a2
+ b2 . 解得 x = 
, y = 
，∴C（， ） △ABC含于正方形D内，即三顶点A，B，C含于区域D内时，
∴ 
这就是 ( a , b )的约束条件. 其图形为右图的六边形，∵a > 0 , b > 0 , ∴图中坐标轴上的点除外.
（2）∵△ABC是边长为
的正三角形,∴ S = 
( a2 + b2 )在(1)的条件下, 当S取最大值等价于六边形图形中的点(
a, b )到原点的距离最大,由六边形中P、Q、R相应的OP、OQ、OR的计算.OP2
= OR2 = 12 + ( 2 – 
)2 = 8 – 4;OQ2 = 2( – 1)2 = 8 – 4. 知: 当 ( a , b ) = ( 1, 2 –), 或(– 1, – 1), 或( 2 –, 1 )时, Smax =2– 3.
一．