高二数学上学期期中同步测试

新课标高二数学同步测试（6）—（期中测试题2－1）

说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟．

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．

1．判断下面命题的真值“如果明天太阳从西边出来，那么我就去死”　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．假命题　　　　　　　 B．真命题　　　　　　　　C．不是命题 　　　　　D．可真可假

2．若中心在原点，焦点在坐标上的椭圆短轴端点是双曲线y²－x²=1的顶点，且该椭圆的离心率与此双曲线的离心率的乘积为1，则该椭圆的方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．+y²=1　　　　　B．+x²=1 　　　　 C．+y²=1 　　　　　D．+x²=1

3．已知点在平面内，并且对空间任一点， 则的值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A． 　　　　　　　　　　B．　　  　　　　　　C．　　 　　　　　　 D．

4．双曲线x²－ay²＝1的焦点坐标是 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　 　A．(, 0) , (－, 0) 　　　　　　B．(, 0), (－, 0)　

　　　 C．（－, 0）,（, 0）　　　　D．(－, 0), (, 0)

5．设双曲线的焦点在x轴上,两条渐近线为,则该双曲线的离心率e　　　　　（　　）

　　　 A．5　　　　　　　　　　B．　　　　　　　C．　　　　　　　 D．

6．在下列四个命题中

　　　 ①已知A、B、C、D是空间的任意四点，则．

　　　 ②若{}为空间的一组基底，则{}也构成空间的一组基底．

　　　 ③．

　　　 ④对于空间的任意一点O和不共线的三点A、B、C，若（其中），则P、A、B、C四点共面．

　　　 其中正确的个数是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．３ 　　　　　　　　　 A．２　　　　　　　　　　　C．１　　　　  　　 D．０

7．设a∈R，则a>1是<1 的　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．充分但不必要条件　　　　　　　　　　　　　　 B．必要但不充分条件

　　　 C．充要条件　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．既不充分也不必要条件

8．设原命题：若a+b≥2，则a,b 中至少有一个不小于1．则原命题与其逆命题的真假情况是（　　）

　　　 A．原命题真，逆命题假　　　　　　　　　　　　　B．原命题假，逆命题真

　　　 C．原命题与逆命题均为真命题　　　　　　　 D．原命题与逆命题均为假命题

9．在正方体AC₁中, M为棱DD₁的中点, O为底面ABCD的中心, P为棱A₁B₁上任意一点, 则直线OP与AM所成的角为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．30°　　　　　　　　　 B．60°　　　　　　　　C．90° 　　　　　　　　 D．120°

10．如图,在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中,P是侧面BB₁C₁C内一动点,若P到直线BC与直线C₁D₁的距离相等,则动点P的轨迹所在的曲线是（　　）

　　　 A．直线　　 　　　　　B．圆

　　　 C．双曲线　　 　　　 D．抛物线

二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．

11．若方程x²－mx+2m=0有两个大于2的根的充要条件是　　　　　　 ．

12．对于曲线C∶=1，给出下面四个命题：

①由线C不可能表示椭圆；

②当1＜k＜4时，曲线C表示椭圆；

③若曲线C表示双曲线，则k＜1或k＞4;

④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜k＜

其中所有正确命题的序号为_______　______.

13．已知四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形, BD⊥AD, BD=2, 又PD⊥底面ABCD, 二面角P－BC－A为60°, 则直线AD到平面PBC的距离为　　　　　  .

14．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中, ∠A₁B₁C₁=90°, 且AB=BC=BB₁, E, F分别是AB, CC₁的中点, 那么A₁C与EF所成的角的余弦值为　　　　　　 ．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共76分）．

15．（12分）写出下列命题的否命题：

　　　 （1）若，则关于的方程有实数根；

　　　 （2）若x，y都是奇数，则x+y是奇数；

　　　 （3）若abc=0，则a，b，c中至少有一个为0；

　　　 （4）当c>0时，若a>b，则ac>bc．

16．（12分）如图，正方形与等腰直角△ACB所在的平面互相垂直，且AC=BC=2，， F、G分别是线段AE、BC的中点．

求与所成的角的大小．

17．（12分）设椭圆方程为=1，求点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O为坐标原点，点P满足，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程.

18．（12分）如图，正四棱锥的高，底边长．求异面直线和之间的距离．

19．（12分）如图，正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，点E是棱BC的中点，点F 是棱CD上的动点．

（Ⅰ）试确定点F的位置，使得D₁E⊥平面AB₁F；

　　　 （Ⅱ）当D₁E⊥平面AB₁F时，求二面角C₁―EF―A的大小（结果用反三角函数值表示）及BA₁与面C₁EF所成的角的大小．

20．（14分）若F₁、F₂分别为双曲线 －＝1下、上焦点，O为坐标原点，P在双曲线的下支上，点M在上准线上，且满足：，(>0)．

（1）求此双曲线的离心率；

（2）若此双曲线过N(，2)，求此双曲线的方程

　　　 （3）若过N(，2)的双曲线的虚轴端点分别B₁，B₂(B₂在x轴正半轴上)，点A、B在双曲线上，且，求时，直线AB的方程．

参考答案

一、

1．A；解析：命题的条件一定为假，不可能成立；故原命题一定为假．

2．A；解析：由双曲线y²－x²=1的顶点坐标为，可得椭圆的b=1，在有双曲线的离心率为，从而得到椭圆的离心率为，可得，所以选项为A．

3．A；解析：四点M、A、B、C共面，使得中，从而可得．

4．C；解析：将双曲线方程x²－ay²＝1化为标准方程，从而可得半焦距为，可得答案．

5．C；解析：由于焦点在x轴上的取向的渐近线方程为，可得，，可得的值．

6．B；解析：正确的为①②；而命题③中，左边应为一个数乘的形式，右边则成了实数；命题④成立时当且仅当时成立．

7．A；提示：；

8． A；提示：举例：a=1.2，b=0.3，则a+b=1.5<2，∴逆命题为假．

9．C；

10．D；

二、

11．；解析：方程两根x²－mx+2m=0都大于2，构造函数f(x)= x²－mx+2m,结合原题意可得：，即可得到正确结果．

12．③④；解析：由椭圆和双曲线方程的定义易得．

13．3；

14．；

三、

15．解：（1）若，则关于的方程无实数根；

（2）若x，y不都是奇数，则x+y不是奇数；

（3）若abc≠0，则a，b，c中都不为0；

（4）当c>0时，若a≤b，则ac≤bc．

16．解：如图，正方形与等腰直角△ACB所在的

平面互相垂直，且AC=BC=2，， F、G分别是线段AE、BC的中点．

求与所成的角的大小．

分析提示：以C为原点建立空间直角坐标系C—xyz

　　 A（0，2，0）　B（2，0，0）　D（0，0，2）

G（1，0，0）　F（0，2，1）

　　 　

　　　 　　 与所成的角的大小为．

17．解：设P（x，y）是所求轨迹上的任一点，

①当斜率存在时，直线l的方程为y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

　　  4x²+y²－4=0

由　　　　　　 得：

　　　y=kx+1

（4+k²）x²+2kx－3=0，

x₁+x₂=－y₁+y₂=，

由　得：

（x，y）=（x₁+x₂，y₁+y₂），

即：

消去k得：4x²+y²－y=0

当斜率不存在时，AB的中点为坐标原点，也适合方程

所以动点P的轨迹方程为：4x²+y^2­－y= 0．

18．分析：建立如图所示的直角坐标系，则

，

 ，

，

，．

，．

令向量，且，则，

，，

，．

异面直线和之间的距离为：

．

19．解：（1）以A为原点，直线AB、AD、AA₁为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

不妨设正方体的棱长为1，且，则

于是

由

于是，可解得

所以当点F是CD的中点时，

（2）当时，F是CD的中点，

平面AEF的一个法向量为

而在平面C₁EF中，

所以平面C₁EF的一个法向量为

 　，　　 

又因为当把,都移向这个二面角内一点时，背向平面AEF，而指向平面C₁EF

故二面角C₁―EF―A的大小为

又, , 所以

BA₁与平面C₁EF所成的角的大小为．

20．解：(1) ，∴PF₁OM为平行四边形，

又知M在∠PF₁O的角平分线上，

∴四边形PF₁OM为菱形，且边长为＝c

∴＝2a+＝2a+c，由第二定义＝e即＝e，∴+1＝e且e>1

∴e=2

 　(2)由e=2，∴c=2a即b²=3a²，双曲线方程为 －＝1

又N(，2)在双曲线上，∴－＝1，∴a²＝3∴双曲线的方程为－＝1…7分

　(3)由知AB过点B₂，若AB⊥x轴，即AB的方程为x=3，此时AB₁与BB₁不垂直；设AB的方程为y=k(x－3)代入－＝1得

(3k²－1)x²－18k²x+27k²－9=0

由题知3k²－1≠0且△>0即k²> 且k²≠，

设交点A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，＝(x₁+3，y₁)，＝(x₂+3，y₂)，

∵，∴＝0即x₁x₂+3(x₁+x₂)+9+y₁y₂＝0

此时x₁+x₂＝，x₁·x₂=9，

y₁y₂＝k²(x₁－3) (x₂－3)＝k²[x₁x₂－3(x₁+x₂)+9]= k²[18－]＝－

∴9＋3＋9－＝0，∴5 k²＝1，∴k＝±

∴AB的方程为y=±(x－3) .