高二数学上学期期末同步测试2

新课标高二数学同步测试—（期末测试题2—2）

说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟．

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．

1．已知函数是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．奇函数　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B．偶函数　　　　　　　

　　　 C．非奇非偶函数　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．既是奇函数也是偶函数

2．设，，则是成立的　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．充分条件，但不是必要条件；　　　　 B．必要条件，但不是充分条件；

　　　 C．充分且必要条件；　　　　　　  　　 D．既不充分又不必要条件.

3． 的值等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．1　　　　　　　　　　　　B．－1　　　　　　　　　　 C．i　　　　　　　　　　　　 D．－i

4．使复数等于它的共轭复数的倒数的充要条件是　　　　　（　　）

　　　 A． 　　B． 　　 C． 　　 D．

5．椭圆的短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率e为（　　）

　　　 A． 　　　　　　B．　　　　 　C．　 　　　 D．

6．如果用C，R和I分别表示复数集，实数集和纯虚数集，其中C为全集，那么有（　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．

　　　 C． 　　　　　　　　　　　　　　　　　D．

7．长方体ABCD—A_１B₁C_１D_１中，E、F分别为C_１Ｂ_１，Ｄ_１Ｂ_１的中点，且ＡＢ＝ＢＣ，ＡＡ_１＝２ＡＢ，则CE与BF所成角的余弦值是　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　　　　　B．　　  　　 C．　　　　　 D．

8．设F₁、F₂为双曲线－y²=1的两焦点, 点P在双曲线上, 当△F₁PF₂面积为1时, 的值为　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．0 　　　　　　　 B．1 　　　　　　　 C．2 　　　　　　　 D．

9．如果复数那么实数a的取值范围是　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　B．　　　　　　　 C．　　　　　　　　D．

10．已知复数 都是实数，且），在复平面内，Z₁、Z₂所对应的点与原点组成的三角形是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．锐角三角形　　　　B．直角三角形　　　　 C．等腰直角三角形 D．等边三角形

二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．

11．若　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ．

12．若_．

13．平面直角坐标系下直线的方程为，请类比空间直角坐标系下平面的方程为　　　　　　　　 　　　　　　 ．

14．椭圆x²+=1(0<a<1)上离顶点A(0, a)距离最远的点恰好是另一个顶点A′(0, - a), 则a的取值范围是　　　　　　　

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)．

15．（12分）已知命题：复数对应的点落在复平面的第二象限；命题：以为首项，公比为的等比数列的前项和极限为2.若命题“且”是假命题，“或”是真命题，求实数的取值范围.

16．（12分）（1） 设≤1，求一个正常数a，使得x≤；

（2）设≤1，，求证：≤

17．（12分）用数学归纳法证明等式对所以n∈N*均成立．

18．（12分）设函数，其中．

（I）解不等式；

（II）证明：当时，函数在区间上是单调函数．

19．如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直. 点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=.

　　　 （Ⅰ）求MN的长；

　　　 （Ⅱ）当a为何值时，MN的长最小；

　　　 （Ⅲ）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角α的大小.

20．（14分）椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c，0）（）的准线与x轴相交于点A，OF=2FA，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.

（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；

（Ⅱ）若，求直线PQ的方程；

（Ⅲ）设（），过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，

证明:.

参考答案

一、

1．B；

2．A

3．；答案：B

　　　 分析：

　　　　　　　　

　　　 另解：原式

　　　 故选B．

4．B

5．A．

6．答案：D．

分析：由复数概念，如下图，

　　　

　　　 故选D．；

7．D；

8．A；

9．答案：D．

　　　 分析：由题意，

　　　　　　　

　　　　　　　　　　

　　　　　　　

　　　　　　　因此本题应选D．

10．

二、

11．；

12．；解析：当x≠1时，∵，

两边都是关于x的函数，求导得

即_．

13．

14．

三、

15．解：命题有：

由①得：

由②得：

由上得满足P的m的取值范围是：或  

对命题,有：

又　

得：且　

又命题“且”是假命题，“或”是真命题，则m的范围是

 

16．解：⑴　x≤可化为≥0，令=，

，由得，

=3a-2≥0，=-3a+4≥0，∴≤≤，　　　　  ①

∴∈[-1，1]，≥0，即≥　　②

由①、②得，.

从而当≤1时，=≥0，即x≤.

⑵　由⑴知，对≤1，有≤，（i=1，2，…，n）

将这n个式子求和，得≤.

17．证明：i)当n=1时，左式=，右式=， ∴ 左式=右式，等式成立．

ii)假设当n=k(k∈N)时等式成立，

即，

则当n=k+1时，

即n=k+1时，等式也成立，

由i) ii)可知，等式对n∈N均成立．

小结：在利用归纳假设论证n=k+1等式成立时，注意分析n=k与n=k+1的两个等式的差别．n=k+1时，等式左边增加两项，右边增加一项，而且右式的首项由变为．因此在证明中，右式中的应与-合并，才能得到所证式．因而，在论证之前，把n=k+1时等式的左右两边的结构先作一分析是有效的．

由例1可以看出，数学归纳法的证明过程中，要把握好两个关键之处：一是f(n)与n的关系；二是f(k)与f(k+1)的关系．

18．解1：（I）分类讨论解无理不等式（略）．

（II）作差比较（略）．

解2：

（i）当时，有，此时，函数在区间上是单调递减函数．但，因此，当且仅当时，．

（ii）当时，解不等式，得，在区间上是单调递减函数．

解方程，得或，

∵，

∴当且仅当时，，

综上，（I）当时，所给不等式的解集为：；

当时，所给不等式的解集为：．

（II）当且仅当时，函数在区间上时单调函数．

19．向量法）

　　　 解析：如图，建立空间直角坐标系B-xyz，

则A（1，0，0），C（0，0，1），E（0，1，0），F（1，1，0），

（I）

，

（II）由（I）知：

　　 所以当时，MN的长最小，此时MN=．

（III）由（II）知，当MN的长最小时，，

此时M、N分别是AC、BF的中点．

取MN的中点G，连结AG、BG，易证∠AGB为二面角A-MN-B的平面角．

　　∵点，点，∴点

　　∴，，

∴，

∴故所求二面角= －

20．（Ⅰ）解：由题意，可设椭圆的方程为.由已知得解得所以椭圆的方程为，离心率.（Ⅱ）解：由（1）可得A（3，0）.设直线PQ的方程为.由方程组

得依题意，得.设，则，　　 ①

.　　②　由直线PQ的方程得.于是

.　　③ ∵，∴.　　④.　由①②③④得，从而.

所以直线PQ的方程为或. （Ⅲ）证明：.由已知得方程组

注意，解得. 因，

故.

而，所以.