高一同步优化训练数学第二章函数2B卷（附答案）

高中同步测控优化训练(十)

第二章　函数(二)(B卷)

说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，共100分，考试时间90分钟.

第Ⅰ卷(选择题　共30分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)

1.设f:x→y=2^x是A→B的映射，已知集合B={0,1,2,3,4},则A满足

A.A={1，2，4，8，16}　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.A={0，1，2，log₂3}

C.A{0,1,2,log₂3}　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.不存在满足条件的集合

解析:A中每个元素在集合中都有象，令2^x=0，方程无解.

分别令2^x=1,2,3,4,解得x=0,1,log₂3,2.

答案:C

2.若a、b是任意实数,且a＞b,则

A.a²＞b² B.＜1

C.lg(a－b)＞0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.()^a＜()^b

答案:D

3.设1＜x＜a，那么log_ax²、(log_ax)²、log_a(log_ax)之间的大小顺序是

A.log_ax²＜(log_ax)²＜log_a(log_ax)

B.log_ax²＜log_a(log_ax)＜(log_ax)²

C.log_a(log_ax)＜(log_ax)²＜log_ax²

D.(log_ax)²＜log_ax²＜log_a(log_ax)

解法一:令x=2,a=4,则log_ax²=log₄4=1,

(log_ax)²=(log₄2)²=

log_a(log_ax)=log₄(log₄2)=－，

∴log_a(log_ax)＜(log_ax)²＜log_ax².

解法二:∵1＜x＜a，∴0＜log_ax＜1.

log_ax²=2log_ax＞log_ax＞0,

0＜(log_ax)²＜log_ax,log_a(log_ax)＜log_a1=0,

∴log_a(log_ax)＜(log_ax)²＜log_ax².

答案:C

4.已知函数f(x)=则f［f()］的值是

A.9　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C.－9　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.－

解析:f()=log₂=－2,

f(－2)=3^－2=.

答案:B

5.当函数f(x)=2^－x－1－m的图象与x轴有交点时，实数m的取值范围是

A.－1≤m＜0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B.0≤m≤1

C.0＜m≤1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.m≥1

解析:函数f(x)=2^－x－1－m的图象与x轴有交点，即方程2^－x－1－m=0有解，∴m=2^－x－1.

∴0＜m≤1.

答案:C

6.已知f(x)=a^x,g(x)=log_ax(a>0且a≠1)，若f(3)g(3)<0,则f(x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能是

解析:∵f(3)=a³>0,∴g(3)=log_a3<0.

∴0<a<1.

答案:C

7.若函数y=(2－log₂x)的值域是(－∞,0)，则其定义域是

A.x<2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B.0<x<2

C.0<x<4　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.2<x<4

解析:令2－log₂x=u,由题意知u>1log₂x<1,故0<x<2.

答案:B

8.世界人口已超过56亿,若按千分之一的年增长率计算,则两年增长的人口就可相当于 一个

A.新加坡(270万)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B.香港(560万)

C.瑞士(700万)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.上海(1200万)

解析:本题考查指数型函数的应用.

若按的年增长率计算,则两年后增长的人口数y=560000(1+)²－560000≈1120.56(万).

答案:D

9.已知f(x)的图象关于y轴对称,且它在［0,+∞)上是减函数,若f(lgx)＞f(1),则x的取值范围是

A.(,1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.(0, )∪(1,+∞)

C.( ,10)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.(0,1)∪(10,+∞)

解析:若函数f(x)的图象关于y轴对称,则在y轴两侧的对称区间上 ,它们的单调性相反.

由题可知,0≤lgx＜1,

即－1＜lgx＜1,lg＜lgx＜lg10,

所以＜x＜10.

答案:C

10.今有一组试验数据如下：

t	1.99	3.0	4.0	5.1	6.12
v	1.5	4.04	7.5	12	18.01

现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是

A.v=log₂t　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　B.v=t

C.v=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.v=2t－2

解析:五组数据，取近似值1.99≈2;4.04≈4;5.1≈5,18.01≈18，代入验证可知v=最接近.

答案:C

第Ⅱ卷(非选择题　共70分)

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)

11.方程log₃(1－2·3^x)=2x+1的解x=_______.

解析:3^2x+1=1－2·3^x，即3(3^x)²+2·3^x－1=0.

解得3^x=,故x=－1.

答案:－1

12.3^{log9(lg2－1)2}+5^{log25(log0.5－2)2}等于_________.

解析:3^{log9(log2－1)2}+5^{log25(log0.5－2)2}==9^{log9(1－lg2)}+25^{log25(2－lg0.5)}

=1－lg2+2－lg0.5=3－lg(2×0.5)=3.

答案:3

13.国家规定的个人稿酬纳税方法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元的14%纳税；超过4000元按全部稿酬的11%纳税.某人出版了一本书，共纳税420元，他的稿费为_______元.

解析:若其稿费为4000元，则应纳税3200×14%=448>420.

故稿费应小于4000元，设为x元.

则(x－800)14%=420,解得x=3800(元).

答案:3800

14.若函数f(x)=lg(x²+ax－a－1)在区间［2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是_________.

解析:本题考查复合函数单调性的判定方法,要注意判断函数的单调性必须在函数的定义域内进行.

∵函数f(x)在区间［2,+∞)上单调递增,

∴－≤2,且x=2时,x²+ax－a－1＞0,即

∴

∴a＞－3,即实数a的取值范围是(－3,+∞).

答案:(－3,+∞)

三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.(本小题满分8分)某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1),则出厂价相应的提高比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x.

(1)写出本年度预计的年利润y与投入增加的比例x的关系式;

(2)为使本年度的年利润比上年有所增加,问投入成本增加的比例x应在什么范围内.

分析:年利润=(出厂价－投入成本)×年销售量.

解:(1)由题意,得y=［1.2(1+0.75x)－1×(1+x)］×1000(1+0.6x)(0＜x＜1).

整理,得y=－60x²+20x+200(0＜x＜1).

(2)要保证本年度的利润比上年度有所增加,只需

即

解得0＜x＜,

即为保证本年度的利润比上年度有所增加,投入成本的比例应满足0＜x＜.

16.(本小题满分10分)已知y=log₄(2x+3－x²).

(1)求定义域；

(2)求f(x)的单调区间；

(3)求y的最大值，并求取最大值时x的值.

解:(1)由2x+3－x²>0,解得－1<x<3.

∴f(x)的定义域为{x－1<x<3}.

(2)令u=2x+3－x²，则u>0,y=log₄u.

由于u=2x+3－x²=－(x－1)²+4.

再考虑定义域可知，其增区间是(－1，1)，减区间是［1，3).

又y=log₄u在(0,+∞)上为增函数，故该函数单调递增区间为(－1，1)，减区间为［１，３］.

(3)∵u=2x+3－x²=－(x－1)²+4≤4,

∴y=log₄u≤log₄4=1.

故当x=1，u取最大值4时，y取最大值1.

17.(本小题满分12分)某电器公司生产A型电脑.1993年这种电脑每台平均生产成本为5000元,并以纯利润20%确定出厂价.从1994年开始,公司通过更新设备和加强管理,使生产成本逐年降低.到1997年,尽管A型电脑出厂价仅是1993年出厂价的80%,但却实现了50%纯利润的高效益.

(1)求1997年每台A型电脑的生产成本;

(2)以1993年的生产成本为基数,求1993年至1997年生产成本平均每年降低的百分数.(精确到0.01,以下数据可供参考:=2.236,=2.449)

分析:出厂价=单位商品的成本+单位商品的利润.

解:(1)一方面可以根据1993年的出厂价求得1997年的出厂价;另一方面根据题意可把1997年的出厂价用1997年的生产成本表示,列出方程求解.

设1997年每台电脑的生产成本为x元,依题意,得

x(1+50%)=5000×(1+20%)×80%,解得x=3200(元).

(2)因为1993年至1997年四年间成本平均每年降低的百分率相等,因此可把1997年每台的生产成本用这个百分率来表示,而这个量应与第(1)问中求得的1997年每台电脑的生产成本相等,据此列出方程求解.

设1993年至1997年间每年平均生产成本降低的百分率为y,则依题意,得5000(1－y)⁴=3200,

解得y₁=1－,y₂=1+(舍去).

所以,y=1－≈0.11=11%.

即1997年每台电脑的生产成本为3200元,1993年至1997年生产成本平均每年降低11%.

18.(本小题满分12分)已知二次函数f(x)的二次项系数为负数，且对任意x恒有f(2－x)=f(2+x)成立，解不等式f［(x²+x+)］＞f［(2x²－x+)］.

解:因为对任意x，恒有f(2－x)=f(2+x)成立，可得二次函数f(x)的对称轴是x=2.

∵x²+x+=(x+)²+≥,

2x²－x+=2(x－)²+≥,

∴(x²+x+)≤=2,

(2x²－x+)≤()=1.

∵二次函数f(x)的二次项系数为负数，

∴在对称轴左侧f(x)为增函数.

∴(x²+x+)＞(2x²－x+)

x²+x+＜2x²－x+

x²－2x+＞0

x＜－或x＞.

故不等式的解集为(－∞,)∪(,+∞).

19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=的定义域恰为不等式log₂(x+3)+ x≤3的解集，且f(x)在定义域内单调递减，求实数a的取值范围.

解:由log₂(x+3)+ x≤3得

log₂(x+3)≤3+log₂x=log₂8x.

∴∴x≥.设x₂＞x₁≥,

f(x₂)－f(x₁)=

=.

∵f(x)在［，+∞)上单调递减,

∴f(x₂)＜f(x₁)，即＜0.

∵x₁x₂＞0,x₁－x₂＜0,∴ax₁x₂+1＞0，即a＞－.

由x₂＞x₁≥知x₁x₂＞,∴－＜－∴a≥－.