立体几何初步复习

教学内容：立体几何初步复习

教学目的：

1、梳理各单元基本知识

2、总结各单元基本题型及各基础知识的基本应用

知识分析：

【本章知识网络】

【本章学法点拨】

1、必须明确本章内容的复习目标

（1）联系实际，从实图下手，加强由模型到图形，再由图形到模型的基本训练，有序地建立图形、文字、符号这三种数学语言的联系，能由一种语言转释成另外两种语言，逐步达到融会贯通的程度．

（2）准确理解和系统掌握空间直线和平面的各种位置关系（特别是平行与垂直的位置关系），能够运用概念、公理、定理等进行严密的推理判断和逻辑论证．

（3）正确理解空间的各种角和距离的概念，能将其转化为平面角和线段的长度，并能熟练地运用平面几何及三角知识来计算．

（4）通过图形能迅速判断几何元素的位置关系，能熟练绘制符合要求的空间图形的直观图、截面图，熟练地处理折叠、截面的问题．但要注意立体几何中的示意图不反映元素关系的真实结构，逻辑论证仍是关键．

（5）理解用反证法证明命题的思路，会证一些简单的问题．

2、要掌握解题的通法，推理严谨，书写规范

（1）转化法是空间直线和平面的位置关系的判断与证明的常用方法，线线关系（主要指平行和垂直）、线面关系、面面关系三者中，每两者都存在着依存关系，充分、合理地运用这些关系是解题的关键；另外，转化法还常常运用在求距离时点的位置的变化，以及线面距、面面距间的转化；

（2）求角或距离的步骤是“一作、二证、三计算”，即先作出所求角或表示距离的线段，再证明它就是所要求的角或距离，然后再进行计算，尤其不能忽视第二步的证明．

专题一　 几种简单几何体的结构

一、棱柱的结构特征

观察下图可以看出，

上面各图中都有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形．

1、定义

一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．在棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点．棱柱中不在同一平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线．

2、棱柱的分类

底面是三角形、四边形、五边形 … … 的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……

3、棱柱的记法

（1）用表示底面各顶点的字母表示棱柱．

如图（1）可表示为棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁；图（2）可表示为棱柱ABCDEF—A₁B₁C₁D₁E₁F₁；图（3）可表示为棱柱ABCDE－A₁B₁C₁D₁E₁．

（2）用棱柱的对角线表示棱柱．

如图（1）可表示为棱柱AC₁或棱柱BD₁等；图（2）可表示为棱柱AC₁或棱柱AD₁或棱柱AE₁等；图（3）可表示为棱柱AC₁或棱柱AD₁等．

二、棱锥的结构特征

观察下图，

可以看出，上面三个图中的共同特点：

（1）均由平面图形围成；

（2）其中一个面为多边形；

（3）其他各面都是三角形；

（4）这些三角形有一个公共顶点．

1、定义

一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．

棱锥是多面体中重要的一种，它有两个本质特征：（1）有一个面是多边形；（2）其余的各面是有一个公共顶点的三角形．两者缺一不可，因此棱锥有一个面是多边形，其余各面都是三角形，但是也要注意：“有一个面是多边形，其余各面都是三角形”的几何体未必是棱锥．

2、棱锥的分类

底面为三角形、四边形、五边形… …的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥… …，其中三棱锥又叫做四面体．

3、棱锥的记法

（1）用顶点和底面各顶点的字母表示．

如图（4）可记为三棱锥P—ABC；图（5）可记为四棱锥P—ABCD；图（6）可记为五棱锥P一ABCDE等．

（2）用对角面表示．

如图（5）可记为四棱锥P—AC；图（6）可记为五棱锥P—AC等．

三、圆柱的结构特征

观察图（7）可知：它有两个互相平行的平面，且这两个“平面”是等圆．图形可以看作是矩形AOO'A'绕 OO' 旋转而成的．

1、定义

以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．

2、圆柱的记法

用表示它的轴的字母表示，如图（7）可记为圆柱OO'．

四、圆锥的结构特征

观察图（8）可以看出：它有一个圆面，一个顶点，其他为曲面；可看作是直角△AOS绕其直角边OS旋转而成的．

1、定义

以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．

2、圆锥的记法

用表示它的轴的字母表示．如图（8）的圆锥可记为圆锥SO．

五、圆台和棱台的结构特征

观察图（9）（10）可以看出图形是由平行于底面的平面去截锥体而得到的．

1、定义

用一个平行于棱锥（圆锥）底面的平面去截棱锥（圆锥），底面和截面之间的部分所构成的几何体叫做棱台（圆台）。

2、圆台的记法

用表示轴的字母表示，如圆台

3、棱台的记法

（1）用各顶点表示：如四棱台

（2）用对角线表示：如四棱台

六、球的结构特征

从图（11）可以看出，此几何体是由半圆绕直径旋转而成的。

1、定义

以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球。

2、球的记法

用表示球心的字母表示，如球O

七、柱、锥、台的关系

【典例解析】

例1. 下面两图绕虚线旋转一周后形成的立体图形是由哪些简单几何体构成的？

解：旋转后的图形如下图所示

其中（l）由一个圆柱O₁O₂和两个圆台O₂O₃、，圆台O₃O₄组成；（2）由一个圆锥O₄O₅，一个圆柱O₃O₄及一个圆台O₁O₃中挖去圆锥O₁O₂组成．

点评：当一个平面图形绕某条直线旋转后会形成一个旋转体，如直角三角形绕其直角边旋转会形成一个圆锥，矩形绕其一边旋转会形成一个圆柱，直角梯形绕其直角腰旋转会形成一个圆台，半圆绕直径旋转会形成球等．

例2. 请画出如图几个几何体的表面展开图

解：展开图如图所示

点评：立体图形的展开或平面图形的折叠是我们培养空间立体感的好方法，希望同学们注意这一方面的练习。

专题二　三视图与直观图

一、三视图的概念

　　三视图是观察者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体图形．

　　三视图包括正视图、侧视图、俯视图三种．

二、柱、锥、台、球的三视图

　1、圆柱的正视图和侧视图都是矩形，俯视图为圆．

　2、圆锥的正视图和侧视图都是三角形，俯视图是圆和圆心．

　3、圆台的正视图和侧视图都是等腰梯形，俯视图是两个同心圆．

　4、球的三视图都是圆．

三、简单组合体的三视图

　　对于简单空间几何体的组合体，一定要认真观察．先认识它的基本结构，然后再画它的三视图．

四、直观图及其画法

　1、空间图形的直观图

　　用来表示空间图形的平面图形叫做空间图形的直观图．

　2、斜二测画法

　　一种画直观图的方法，其规则是：

　　（1）在已知图形中建立直角坐标系xOy．画直观图时，它们分别对应轴和轴，两轴交于．使

　　 ∠O，它们确定的平面表示水平平面．

　　（2）已知图形中平行于x轴和y轴的线段．在直观图中分别画成平行于轴和轴的线段．

　 （3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度变为原来的．

五、投影

　1、中心投影

　　一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影．

　2、中心投影与平行投影的区别与联系

（1）中心投影和平行投影都是空间图形的基本画法．平行投影包括斜二测画法和三视图．中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致，最像原来的物体．

（2）画实际效果图时，一般用中心投影法，画立体几何中的图形时一般用平行投影法．

【典例解析】

例1. 画如图（1）（2）所示的三视图

解：三视图如图（a）（b）所示

点评：（1）三视图的训练有助于我们空间能力的培养和今后应用数学知识解决工程建设、机械制造及日常生活中的问题．（2）画图时要保证“长对正、高平齐、宽相等”。

例2. 如图（1）（2）（3）是一些立体图形的视图，但是观察的方向不同，试说明下列各图可能是哪一种立体图形的视图。

解：（1）可能为球、圆柱，如图：

　　　 （2）可能为棱锥、圆锥、棱柱，如图：

　　　 （3）可能为四棱柱，如图：

　　　 点评：这是一道综合能力较强的习题，要求学生有分类讨论的意识和对空间几何体较强的想象力。

　例3. 用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm、3cm、2cm的长方体的直观图。

　　　 解：（1）画轴：如图。画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOz=45°，∠xOz=90°。

（2）画底面：以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN=4cm；在y轴上取线段PQ，使PQ。分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A、B、C、D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD。

（3）画侧棱：过A、B、C、D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2cm长的线段

（4）成图：顺次连接，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到长方体的直观图。

点评：上述画直观图的方法称为斜二测画法，它的步骤是：

（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O。画直观图时，把它们画成对应的轴和轴，两轴交于点，且使（或135°），它们确定的平面表示水平面。

（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段。

（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半。

　例4. 已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图的面积为（　　）

　　　 A. 　　　　　　　　　　B. 　　　　　　 C. 　　　　　　 D.

　　　 分析：先根据题意，画出直观图，然后根据直观图的边长及夹角求解。

　　　 解：如图（1）（2）所示的实际图形和直观图，由（2）可知，，，在图（2）中作于D’，则

　　　

　　　 ∴应选D。

　　　 点评：本例是求直观图的面积，因此应在直观图中求解，需求出直观图的底和高，然后用三角形面积公式求解。

专题三　几种简单几何体的面积、体积

一、柱体的表面积

　　　 柱体的表面积是侧面面积与上、下底面面积之和。棱柱的侧面展开图是平行四边形，上、下底面不变，因此只要计算出侧面面积，其表面积可求；圆柱的侧面展开图是矩形，上、下底面不变。

　　　 设柱体的底面周长为c，高为l，则侧面积为·=c·l，故。

二、锥体的表面积

　　　 一个棱锥的侧面展开图是由若干个三角形拼成的，因此侧面积为各个三角形面积之和，一个圆锥的侧面展开图为扇形，利用扇形面积公式可求侧面积，所以它们的表面积公式为：。

三、台体的表面积

　　　 一个棱台的侧面展开图为若干个梯形拼接而成，因此侧面积为各个梯形的面积之和，而圆台的侧面展开图为扇环，其侧面积可由大扇形的面积减去小扇形的面积而得到，所以它们的表面积公式为：

　　　 。

　　　 注意区分所求的是侧面积还是表面积；再就是要认清所求的几何体是柱、锥、台中的哪一类及“棱”还是“圆”。

四、柱体的体积公式

　　　 V=Sh，其中，S为底面积，h为柱体的高。

　　　 评注：它既适合于棱柱，又适合于圆柱。

五、锥体的体积公式

　　　 ，其中S为底面积，h为锥体的高。

六、台体的体积公式

　　　 ，其中S为台体的上底面面积，S’为台体的下底面面积，h为台体的高。

七、球的表面积、体积公式

　　　 设球半径为R，

【典例解析】

例1. 已知正四棱锥底面正方形的边长为4cm，高与斜高的夹角为30°，如图，求正四棱锥的侧面积和表面积。（单位：）

　　　 分析：利用正棱锥的高、斜高、底面边心距组成的直角三角形求解，然后代入公式。

　　　 解：正棱锥的高PO、斜高PE，底面边心距OE组成Rt△POE。

　　　 ∵OE=2cm，∠OPE=30°，

　　　

　　　

　　　 点评：正四棱锥中有四个Rt△，应引起重视，即原题图中Rt△POB、Rt△POE、Rt△PBE、Rt△OBE。

　例2. 一个正四棱台两底面边长分别为m、n，侧面积等于两个底面积之和，则这个棱台的高为（　　）

　　　 A. 　　　　　　B. 　　　　　　 C. 　　　　　　D.

　　　 分析：利用直角梯形，转化为直角三角形，结合面积公式求解。

　　　 解：如图所示，设分别为棱台上、下底面中心，、M分别为的中点，连结，则M₁M为斜高。

　　　 过M₁作M₁H⊥OM于H点，则M₁H=OO₁

　　　

　　　 由已知得

　　　

　　　 在Rt△M₁HM中，MH=OM－O₁M₁



∴应选A。

　　　 点评：在正四棱台中有三个直角梯形应注意，一个是O₁OMM₁，一个是O₁OBB₁，一个是B₁BMM₁，它们都可以转化成直角三角形，利用直角三角形求解。

　例3. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA₁=8，若侧面AA₁B₁B水平放置时，液面恰好过AC、BC、A₁C₁、B₁C₁的中点，当底面ABC水平放置时，液面高为多少？

　　　 分析：当三棱柱的侧面AA₁B₁B水平放置时，液体部分是四棱柱，其高为原三棱柱的高，侧棱AA₁的长为8。

　　　 解：设AC、BC边的中点分别为E、F，设当底面ABC水平放置时，液面高度为h。

　　　 由条件及两种状态下液体体积相等可得，∴h=6。

　　　 点评：等积法是立体几何中的常用方法，在柱、锥中经常通过灵活转换底面，顶点来求高或点到面的距离，应熟练掌握。

　例4. （1）用一块矩形铁皮作圆台形铁桶的侧面，要求铁桶的上底半径是24cm，下底半径为16cm，母线长为48cm，则矩形铁皮的长边长最少是多少？

（2）一扇形铁皮AOB，半径OA=72cm，圆心角∠AOB=60°，现剪下一个扇环ABCD作圆台形容器的侧面，并从剩余的扇形COD内剪下一个最大的圆刚好做容器的下底（圆台下底面大于上底面），则OC应取多少？

分析：圆台侧面展开图为一扇环，扇环两弧长分别为圆台上、下底面圆的周长。

解：（1）如图（1），设圆台的侧面展开图的圆心角为∠α，OA=x。

由相似三角形知识得

则，为等边三角形。

，即矩形铁皮的长边长最少为144cm。

（2）如图（2），∵∠AOB=60°=

∴圆O₁周长，即

在Rt△O₁MO中，∠，∴OO₁=2O₁M=24

点评：注意展开前后有关数学量的变与不变关系，是解决此类问题的突破口。

专题四　 空间的平行与异面直线

一、平面的特征与性质

1、平面的基本特征：无限延展性．

2、平面的基本性质

（1）公理 1：对直线 a 和平面α，若点 A、B∈a , A、B∈α，则

（2）公理 2：若两个平面α、β有一个公共点P，则α、β有且只有一条过点P的公共直线 a。

（3）公理 3及三个推论即为平面的确定条件：

① 不共线的三点可确定一个平面；

② 一条直线和其外一点可确定一个平面；

③ 两条相交直线可确定一个平面；

④ 两条平行直线可确定一个平面．

二、空间两条不重合的直线的位置关系

空间两条不重合的直线有三种位置关系：相交、平行、异面．

1、若从有无公共点的角度看，可分两类

（1）有且仅有一个公共点——相交直线；

（2）没有共点——

2、若从是否共面的角度看，也可分两类：

（1）在同一平面内——

（2）不同在任一平面内——异面直线．

三、平行直线

1、定义

同一平面内，两条不相交的直线称为平行直线．

2、公理 4

平行于同一条直线的两条直线平行．它是证明“对应边平行且方向相同的两个角相等”即等角定理的基础，也是论证平行问题的主要根据．

3、等角定理

如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等．

四、异面直线

1、异面直线的定义

不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．

对异面直线定义理解须注意的问题：

（1）“不同在任何一个平面内”，指这两条直线永不具备确定平面的条件，因此，异面直线既不相交，也不平行．要注意把握异面直线的不共面性．

（2）不能把异面直线误解为：分别在不同平面内的两条直线为异面直线．

2、异面直线的性质

从空间直线的位置关系看，异面直线既不平行也不相交．

3、异面直线的判定方法

（1）定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内．

（2）反证法：用此方法可以证明两直线是异面直线．

定义法仅仅用来直观判断，直观判断还可用以下结论：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线．

4、关于异面直线的有关概念

（1）两条异面直线所成的角的定义

直线a、b是异面直线，经过空间一点 O ，分别引直线 a' // a，b' // b ，相交直线 a'、b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线 a、b 所成的角．

（2）两条异面直线垂直的定义

如果两条异面直线所成角是直角，则称这两条异面直线互相垂直．

5、对异面直线概念理解须注意的问题

（1）异面直线所成角θ的范围是 0⁰<θ≤90⁰ .

（2）为了求异面直线 a , b 所成的角，可以在空间中任取一点O，过 O 分别作直线a' // a , b' // b ，再通过解三角形，求出 a，b 所成的角．但是，为了简便，点 O 常常取在两条异面直线中的一条上，特别是这一直线的某些特殊点，例如“端点”或“中点”处．

（3）将两条异面直线所成的角转化为平面上的相交直线的夹角，实现了空间问题向平面问题的转化，使平面几何与立体几何建立了联系，促进了数学学科间的知识的渗透．

【典例解析】

　例1. 如图所示，O₁是正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁的上底面的中心，G是对角线A₁C和截面B₁D₁A的交点，求证：O₁、G、A三点共线。

　　　 分析：证明点共线问题往往使用公理2证明点同时在两个面内即可。

　　　 证明：在上底面A₁B₁C₁D₁中，，平面，

　　　 ∴O₁是平面B₁D₁A和平面的公共点。

　　　 ∵平面B₁D₁A=G，平面

　　　 ∴G是平面B₁D₁A和平面的公共点

　　　 ∵A∈平面B₁D₁A，A∈平面

　　　 ∴A是平面B₁D₁A和平面的公共点

　　　 ∴O₁、G、A在两个平面B₁D₁A和的交线上，由公理2，知O₁、G、A三点共线。

　　　 点评：（1）证明若干点共线问题，只需证明这些点同在两个相交平面内即可（证明直线过一点也可利用此法）。

（2）证明三线共点，只需证明其中两线相交，然后证另一条也过交点。

（3）证明点、线共面有两种基本方法：①先用部分点、线确定一平面，再证余下的点、线都在此平面内；②分别用部分点、线确定两个（或多个）平面，再证这些平面是重合的。

　例2. 已知棱长为a的正方体中，M、N分别为CD、AD中点。

　　　 求证：四边形是梯形。

　　　 证明：如图连结AC，

　　　 ∵M、N为CD、AD的中点，。

　　　 由正方体性质知

　　　 ∴四边形是梯形。

　　　 点评：运用公理4证得四边形为梯形（即证得，且），关键是利用了桥梁AC。

专题5　直线与平面平行、平面与平面平行

一、直线和平面的位置关系用二分法分类

　　　 直线l和平面α

二、直线和平面平行的判定及性质

　1、判定

　　　 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（简述为线线平行线面平行）即

　　　

　2、性质

　　　 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。（简述为线面平行线线平行）

　　　

　3、过平面外一点有无数条直线与此平面平行；过直线外一点有无数个平面与此直线平行，但有且只有一个平面过直线和此点。

三、两个平面的位置关系

　1、两平面平行——没有公共点

　2、两平面相交——有一条公共直线

四、两个平面平行的判定与性质

　1、判定

　　　 （1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

　　　

　　　 （2）垂直于同一条直线的两个平面平行，即

　　　 （3）如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行。

　　　

　2、性质

　　　 （1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一个平面平行。

　　　

（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行

五、两个平行平面的距离

　　和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平面的公垂线．公垂线夹在平行平面间的部分．叫做这两个平面的公垂线段．两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离．

【典例解析】

　例1. 在正方形中，已知正方体的棱长为，M、N分别在其对角线AD₁与DB上，若AM=BN=x。

　　　 （1）求证：MN//平面CDD₁C₁；

（2）设MN=y，求y=f(x)的表达式；

（3）求MN的最小值，并求此时x的值；

（4）求AD₁与BD所成的角。

　　　 （1）证明：作MP⊥DD₁，NQ⊥CD，连结PQ，如图所示。

　　　 ∵正方形ADD₁A₁与ABCD有公共边AD，

　　　

　　　 又∵AM=NB=x，∵D₁M=DN=2－x

　　　 又∵AD⊥DD₁，AD⊥CD，MP⊥DD₁，NQ⊥CD，

　　　 ∵MP//AD//NQ

　　　 ∴D₁M：AD₁=MP：AD，DN：DB=NQ：BC

　　　 ∴MP=NQ

　　　 ∴四边形MNQP为平行四边形

　　　 ∵MN//PQ，平面DCC₁D₁

　　　 ∴MN//平面DCC₁D₁

　　　 （2）解：作MH⊥AD，连结NH

　　　 ∵MH//AA₁//DD₁，∴AH：HD=AM：MD₁=BN：ND

　　　 ∴HN//AB

　　　 又∵AA₁⊥AB，∴MH⊥HN

　　　 在Rt△MAH中，∠MAH=45°，∴MH

　　　 同理

　　　 在Rt△MHN中，

　　　 即

　　　 （3）解：

　　　 ∴当x=1时，y有最小值1，即MN的最小值为1。

　　　 （4）解：连结，

　　　 ∴异面直线AD₁与BD所成的角为DB与BC₁所成的锐角或直角。

　　　 连结C₁D，则△C₁DB为等边三角形，

　　　 即异面直线AD₁与BD所成的角为60°。

　　　 点评：（1）中想证线面平行可利用线线平行，如上面所证，也可通过面面平行来推线面平行，面MNH//面CDD₁C₁，面MNH，∴MN//面CDD₁C₁；

（4）中AD₁与BD所成角不要写成∠C₁BD，而是∠C₁BD或其补角。

　例2. 如图所示，在棱长为2cm的正方体中，A₁B₁的中点是P，问过点A₁作与截面PBC₁平行的截面也是三角形吗？求该截面的面积。

　　　 解：取AB、C₁D₁的中点M、N，连结A₁M、MC、CN、NA₁。由于，所以四边形A₁MCN是平行四边形。

　　　 又∵，

　　　 ∴平面平面PBC₁

　　　 因此，过A₁点作与截面PBC₁平行的截面是平行四边形。

　　　 又连结MN，作于H，由于，则。

　　　

　　　 故

　　 点评：本题是利用面面平行知识解决截面的问题，使我们加深对线面平行、面面平行性质的理解．

专题6　直线与平面垂直、平面与平面垂直

一、线面垂直的定义

　　　 如果直线l和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α垂直，记作l⊥α。

二、线面垂直的判定及性质

　1、判定

　　　 （1）利用定义：如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，则此直线与这个平面互相垂直。

（2）可作定理用的命题：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。

用符号可表示为a//b，a⊥αb⊥α。

（3）直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面。

用符号可表示为。

　2、性质

　　　 （1）由直线和平面垂直的定义知：直线垂直于平面内的任意直线。

（2）直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行。

　　　 用符号可表示为a⊥α，b⊥αa//b。

　　　 说明：性质定理可看成是命题“a⊥α，a//bb⊥α”的逆命题。

三、线面角

　　　 直线和平面所成的角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。

　　　 特别地，如果一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角为直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角，

四、面面垂直定义

　1、二面角

　　　 （1）从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面，如图所示，即为一个二面角α—l—β。

（2）以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，如图所示，若OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB是二面角α—l—β的平面角。

说明：

①画二面角的平面角时，使平面角的两边分别平行于表示两个半平面的平行四边形的一组对边，即表明垂直于二面角的棱。

②平面角∠AOB的大小与O点的位置无关。

③二面角的大小是通过它的平面角来度量的，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度，由此可知，二面角的取值范围是。

　2、面面垂直

　　　 一般地，若两平面相交，当平面角为直角时，我们称两平面垂直。

五、面面垂直的判定及性质

　1、判定

　　　 （1）定义：证明平面角为直角。

（2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。简述为“线面垂直，则面面垂直”，记为：l⊥β，lβ=A，lα，则α⊥β。

2、性质

　　　 （1）两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。用符合可表示为α⊥β，= l，l。

说明：①必须注意两个平面垂直的性质定理成立的条件：<1>线在面内；<2>线垂直于交线，从而可得出线面垂直。

②此定理可简述为“面面垂直，则线面垂直”，也可作为线面垂直的判定定理用。

（2）如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。。

（3）如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，即，对于这个性质我们可以在上任取一点A，过A作平面的垂线，这条直线在平面α内又在平面β内，所以这条垂线就是平面α、β的交线，故⊥。

（4）三个两两垂直的平面的交线两两垂直。

即。

【典例解析】

　例1. 如图所示，在斜边为AB的Rt△ABC中，过A作PA⊥平面ABC，AM⊥PB于M，AN⊥PC于N。

　　　 （1）求证：BC⊥面PAC；

（2）求证：PB⊥面AMN；

（3）若PA=AB=4，设∠BPC=θ，试用tanθ表示△AMN的面积，当tanθ取何值时，△AMN的面积最大？最大面积是多少？

分析：本题中四面体PABC有它的特殊性，其四个面都为直角三角形，有许多垂直关系。

（1）证明：∵PA⊥平面ABC，平面ABC，

∴PA⊥BC，又AB为斜边，∴BC⊥AC，，∴BC⊥平面PAC。

（2）证明：∵BC⊥平面PAC，平面PAC

∴BC⊥AN，又AN⊥PC，且

∴AN⊥面PBC，又平面PBC，∴AN⊥PB

又∵PB⊥AM，，∴PB⊥平面AMN。

（3）解：在Rt△PAB中，PA=AB=4，∴

∵PA⊥AB，

又∵PB⊥面AMN，MN平面AMN，∴PB⊥MN

∵MN=PM·tanθ=，

∵AN⊥平面PBC，MN平面PBC。∴AN⊥MN

∴当，即时，有最大值为2，

∴当时，面积最大，最大值为2。

点评：（1）线线垂直线面垂直

面面垂直线面垂直，应把握常见线面垂直的方法。

（2）一般地求最值问题首先要得到目标函数，然后借助于函数求最值的方法求出所需结果。

　例2. 在斜三棱柱A₁B₁C₁—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB₁C₁C⊥底面ABC。

　　　 （1）若D是BC的中点，求证：AD⊥CC₁；

（2）过侧面BB₁C₁C的对角线BC₁的平面交侧棱于M，若AM=MA₁，求证：截面MBC₁⊥侧面BB₁C₁C；

（3）AM=MA₁是截面MBC₁⊥平面BB₁C₁C的充要条件吗？请你叙述判断理由。

证明：（1）∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，

∵底面ABC⊥平面BB₁C₁C，∴AD⊥侧面BB₁C₁C。

∴AD⊥CC₁。

（2）延长B₁A₁与BM交于N，连结C₁N，

∵AM=MA₁，∴NA₁=A₁B₁

∵A₁B₁=A₁C₁，

∵底面侧面BB₁C₁C，∴侧面BB₁C₁C，

∴截面侧面BB₁C₁C，∴截面MBC₁⊥侧面BB₁C₁C。

（3）结论是肯定的，充分性已由（2）证明，下面证必要性。

过M作ME⊥BC₁于E，∵截面MBC₁⊥侧面BB₁C₁C，

∴ME⊥侧面BB₁C₁C，又∵AD⊥侧面BB₁C₁C

∴ME//AD，∴M、E、D、A共面

∵AM//侧面BB₁C₁C，∴AM//DE

∵CC₁⊥AM，∴DE//CC₁

∵D是BC的中点，∴E是BC₁的中点

∴AM=DE=

点评：（3）的结论在证必要性时，辅助线要重新作出。

【励志故事】

一分钟智慧

风来了，竹子的枝干被风吹弯；风走了，竹子又站得直直的，好像风没来过一样。

云来了，在潭底留下一道影子；云走了，潭底又干干净净的，好像云没来过一样。

竹子不会因为被风吹过，就永远直不起腰来；清澈的潭水，也不会因为云飘过，就永远留住云的影子。

同样的，心胸宽大的人，不会因为别人两句不礼貌的话，就刮起永远的狂风巨浪；也不会因为别人不礼貌的行为，就在心底刻下无法磨灭的伤痕。