2007学年度第一学期高二数学期末考试试题2008年1月
完卷时间为90分钟，答案请写在答题纸上
一、填空题(每小题3分，共33分)
1、计算行列式的值：
=
。
2、点A(3, –4)关于点M(–4, 3)的对称点B的坐标是 。
3、经过两点A(2,6)、B(6, a)的直线的倾斜角为45o，则a= 。
4、等比数列{an}中，a2=9，a5=243，则{an}的通项公式an= 。
5、经过点A(2,4)且平行于直线l：4x+3y–10=0的直线的方程是 _______。
6、已知直线2x+y–2=0和kx–y+1=0的夹角为
，那么k的值为
。
7、已知矩阵A=
，B=
，AB=
，则x+y= 。
8、计算：
= 。
9、若
=
，
=2，与的夹角为30o，
=+2，
，则
= 。
10、无穷等比数列{an}中，an=(
)n+1，则无穷等比数列{an}的各项和为 。
11、设Sk＝
+
+……+
，那么Sk+1–Sk=
。
二、选择题(每小题3分，共12分)
12、直线l1：(a–2)x+(a+1)y+4=0与l2：(a+1)x+ay–9=0互相垂直，则a的值是 ( )
(A) –0.25 (B) 1 (C) –1 (D) 1或–1
13、若
= –3
，则下列各式中正确的是
( )
(A) 
= 2
(B) 3=
2
(C) 3= –
(D) = 3
14、若原点到直线ax+y+8=0的距离为6，则a的值是 ( )
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
15、写出右图中算法的运行结果 ( )
(A) 5 (B) 10 (C) 15 (D) 21
三、解答题三、解答题(本大题要求写出解题步骤，共55分)
16、(本题8分)
ΔABC中A(–1, –1)、B(5, 5)，垂心H(4, –1)，求第三顶点C的坐标。
17、(本题8分)
已知向量=(1, 2)，
=(x,1)，且
与
平行，(1) 求向量；(2) 已知点A(3 ,–1)，向量
与垂直，求直线AB的一般式方程
18、(本题8分)
已知向量=(x+3, x–2)，向量=(1–x, 4)，其中0≤x≤5
(1)用x表示
；(2)求的最值，并求此时、夹角的大小。(用反三角函数表示)
19、(本题9分)
利用行列式方法讨论方程组解的个数，如果方程组有一组解，请写出其解：
20、(本题10分)已知数列{an}中，a1=
，an+1=
，
(1)求a2 , a3 , a4 ; (2)猜测an的表达式；(3)用数学归纳法证明an的表达式。
21、(本题12分) (1)等比数列｛an｝，当n≥2时，a2＋a3＋…＋an=2
＋p(p为常数)，求a1，p和an
(2)数列｛bn｝的前n项和为Sn，b1＝2，n bn+1＝Sn＋n(n+1)，求bn和Sn
(3)若Tn＝
对一切正整数n，均有Tn ≤ C恒成立，求C的最小值。
2007学年度第一学期高二数学期末考试试题答案2008年1月
一、填空题
1、1 2、(–11, 10) 3、10 4、3n 5、4x+3y–20=0 6、–
或3
7、8 8、2 9、
10、
11、
二、选择题
12、D 13、A 14、C 15、B
三、解答题
16、因为在ΔABC中A(–1, –1)、B(5, 5)，垂心H(4, –1)，AH⊥BC，BH⊥AC，
所以直线AH的斜率为0，则直线BC的斜率不存在，
故BC的方程为：x=5，………………………………………………………2分
直线BH的斜率为6，则直线AC的斜率为
–，
故直线AC的方程为：y=–(x+1)–1，……………………………………4分
令
，………………………………………………………5分
解之得：
……………………………………………………………7分
所以C点的坐标为(5,–2) ……………………………………………………8分
17、因为向量=(1, 2)，=(x,1)，
=(1+2x, 4)，=(2–x, 3) …………………………………………2分
因为与平行，所以=k()…………………………3分
即：
，所以x=，………………………………………4分
=(,1)；……………………………………………………………………5分
(2)已知点A(3 ,–1)，=(2,4)，向量与垂直，
即直线AB的法向量为(2, 4)，………………………………………………6分
所以直线AB的点法向式为2(x–3)+4(y+1)=0，
其一般式方程为x+2y–1=0…………………………………………………8分
18、(1)因为向量=(x+3, x–2)，向量=(1–x, 4)，其中0≤x≤5
=(x+3)(1–x)+4(x–2)=
–x2+2x–5，(0≤x≤5) ……………………………3分
(2) 设
、
夹角为a，
= –x2+2x–5= –(x–1)2–4，(0≤x≤5) ……………………………………4分
所以当x=1时，()max= –4，此时x=1，向量=(4, –1)，向量=(0, 4)
cosa= –
，、夹角的大小为π–arccos，……………………6分
当x=5时，()min= –20，此时x=5，向量=(8, 3)，向量=(–4, 4)
cosa= –
，、夹角的大小为π–arccos。………………8分
19、D=
=(m+2)(m–2)，Dx=
=m(m–2)，
Dy=
=(m+1)(m–2) …………………………………………………3分
(1)当m ¹ ±2时，D ¹ 0，原方程组有唯一组解，即
…………6分
(2)当m = –2时，D=0，Dx=8 ¹ 0，原方程组无解；………………………8分
(3)当m=2时，D=0，Dx=0，Dy=0，原方程组有无穷组解。……………9分
20、(1)因为a1=，an+1=，所以a2=
, a3=
，a4=……………3分
(2)猜测：an=
，…………………………………………………………4分
(3)当n=1时，a1=
=，等式成立，…………………………………5分
假设当n=k时等式，即：ak=
，………………………………………6分
则当n=k+1时，ak+1=
=
=
=
…………………8分
即当n=k+1时，等式也成立，………………………………………………9分
所以由上述可知，等式an=对nÎN*都成立。………………………10分
21、(1)由于当n≥2时，a2＋a3＋…＋an=2n＋p(p为常数)，
a2＋a3＋…＋an+an+1=2n+1＋p
两式相减得：an+1=2n，因为数列{an}为等比数列，所以a1＝1，a2=2，…1分
由条件可得p＝–2，an＝2
，(n∈N
)；…………………………………2分
(2)因为数列｛bn｝的前n项和为Sn，b1＝2，
n bn+1＝Sn＋n(n+1)，(n–1)bn=Sn–1+(n–1)n
两式相减得：nbn+1–nbn+bn=bn+2n，(n≥2)
bn+1–bn=2，(n≥2)，…………………………………………………………4分
即{bn}是从第二项起为公差是2的等差数列，b2=S1+1(1+1)=4
因为b1＝2，所以{bn}是公差是2的等差数列，
bn=2n，(n∈N)；……………………………………………………………5分
Sn＝n
＋n；…………………………………………………………………6分
(3)因为Tn=
，若Tn＝对一切正整数n，均有Tn ≤ C恒成立，则需C大于或等于Tn的最大值，……………………………………………………7分
=
´
=
，
令≥1得：n≤2，
即有：T1＝2≤T2＝3=T3＝3≥T4＝
≥T5＝
≥…≥Tn≥…，即数列{Tn}是先增后减的数列，且Tn的极限是0，
故有Tn的最大值为T2＝T3＝3，……………………………………………9分
又对一切正整数n，均有Tn≤C恒成立，∴C≥3…………………………10分