空间向量高考题

空间向量高考题

1.如下图,在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中,已知AB=4,AD=3,AA₁=2. E、F分别是线段AB、BC上的点,且EB=FB=1.

（Ⅰ）求二面角C—DE—C₁的正切值;（Ⅱ）求直线EC₁与FD₁所成角的余弦值.

2、.如图,四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形,AB=8,AD=4,侧面PAD为等边三角形,并且与底面所成二面角为60°.

（Ⅰ）求四棱锥P—ABCD的体积; （Ⅱ）证明PA⊥BD.

4、如图，α⊥β，α∩β＝l，A∈α，B∈β，点A在直线l上的射影为A₁，点B在直线l上的射影为B₁，已知AB＝2，AA₁=1，BB₁＝，求：

（Ⅰ）直线AB分别与平面α，β所成的角的大小；（Ⅱ）二面角A₁－AB－B₁的大小.

证∵α⊥β，α∩β=l，AA₁⊥l，BB₁⊥l，　∴AA₁⊥β，BB₁⊥α，

则∠BAB₁，∠ABA₁分别是AB与α和β所成的角.

Rt△BB₁A中，BB₁=，AB=2，∴sin∠BAB₁=，

∴∠BAB₁=45°.

Rt△AA₁B中，AA₁=1，AB=2，

∴sin∠ABA₁=，　　　  ∴∠ABA₁=30°.

故AB与平面α，β所成的角分别是45°，30°.

(Ⅱ)如图，建立坐标系，则A₁（0，0，0），A（0，0，1），B₁（0，1，0），B（，1，0）.

在AB上取一点F（x，y，z），则存在t∈R，使得=t，

即（x，y，z－1）=t()，∴点F的坐标为(t，t，1－t).

要使　，须=0，即（，t，1－t）·（，1，－1）=0，2t+t－(1－t)=0，解得t=，∴点F的坐标为()∴().

设E为AB₁的中点，则点E的坐标为（0，）.∴

又∴，　 　∴∠A₁FE为所求二面角的平面角.

又  cos∠A₁FE= 

　　　　　　　　  　 ∴二面角A₁－AB－B₁的大小为arccos.

5、如图，在直三棱柱中，、分别为、的中点。

（I）证明：ED为异面直线与的公垂线；（II）设求二面角的大小

（Ⅰ）如图，建立直角坐标系其中原点为 的中点。

设则

又=(-2a,0,2c)

,∴ED⊥AC₁所以是异面直线与的公垂线。

（Ⅱ）不妨设

则

，

，即，又，

　　  面又　　　，

　　  　，

　　　  ，即，又，

　　  面　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 

　　　  ，即得和的夹角为，

所以二面角为

6、已知四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点。

（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角；（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小。

证：因为PA⊥AD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点，AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为

A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M(0,1,).

(I)证明：因=(0,0,1),=(0,1,0),故·=0,所以AP⊥DC.

又由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD。

又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD.

（II）解：因=(1,1,0),=(0,2,-1),

故=，=，·=2，所以

cos<·>==

由此得AC与PB所成的角为arccos

（III）解：在MC上取一点N(x,y,z),则存在λ∈R，使

=λ，

=(1-x,1-y,-z), =(1,0,-),∴x=1-λ,y=1,z=λ.

要使AN⊥MC只需·=0,即x-z=0,解得λ=.

可知当λ=时,N点坐标为(,1,),能使·=0.

此时, =(,1,),=(,-1,),有·=0.

由·=0, ·=0得AN⊥MC,BN⊥MC.所以∠ANB为所求二面角的平面角.

∵=,=,·=-∴cos<,>=故所求的二面角为arccos(-).

7、如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E、F分别为CD、PB的中点。

（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAB；（Ⅱ）设AB=BC，求AC与平面AEF所成的角的大小。

证：以D为坐标原点，DA的长为单位，建立如图所示的直角坐标系.　

（Ⅰ）证明：

设E（a，0，0）其中a>0，则C（2a，0，0），A（0，1，0）B（2a，1，0），P（0，0，1），F（a，，）.

=（0，，），=（2a，1，-1），=（2a，0，0）。

·=0，∴EF⊥PB.　

·=0，∴EF⊥AB

又PB平面PAB，AB平面PAB，PB∩AB=B.

∴EF⊥平面PAB.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（Ⅱ）解：由AB=BC，得a=.

可得=（，-1，0），=（，1，-1）

　 cos<·>==,

异面直线AC、PB所成的角为arccos.　　　　

=（，-，）.

∴·=0,PB⊥AF.

又PB⊥EF，EF、AF为平面AEF内两条相交直线,

即AC与平面AEF所成的角为arcsin.

8.如图，已知四棱锥P—ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.

（Ⅰ）求点P到平面ABCD的距离；（Ⅱ）求面APB与面CPB所成二面角的大小.

　（Ⅰ）解：如图，作PO⊥平面ABCD，垂足为点O.

连结OB、OA、OD，OB与AD交于点E，连结PE.

∵AD⊥PD，∴AD⊥OB，

∵PA＝PD，∴OA＝OD，

于是OB平分AD，点E为AD的中点，所以PE⊥AD.

由此知∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角，

∴∠PEB＝120，∠PEO＝60.由已知可求得PE＝，

∴PO＝PE·sin60=×=,即点P到平面ABCD的距离为.

（Ⅱ）：如图建立直角坐标系，其中O为坐标原点，x轴平行于DA.

P(0,0,)，B（0,,0），PB中点G的坐标为（0,,），连结AG.

又知A（1，，0），C（－2，，0）.由此得到：=(1,－,－),

=(0,,－),=(－2,0,0).于是有·＝0,·＝0，

所以⊥,⊥.,的夹角等于所求二面角的平面角,

于是 cos==－,

所以所求二面角的大小为π－arccos.