解析几何综合练习
一、填空题
1．在解析几何的学习中，借助于平面直角坐标系，把曲线插上了方程的“翅膀”，用代数的方法研究图形的性质，使“数”与“形”达到完美的结合，这种方法在数学学习中我们常常叫做_____ _____的思想方法。
2．已知集合
，集合
，若
，则
____ ____。
3．直线l经过点
且与圆心在原点半径为1的圆面积相切，则直线l的方程是____ ___。
4．已知定点
，动点
满足条件
，点Q与点P关于直线
对称，则点Q的轨迹是___
___。
5．斜率为2的直线l被曲线
截得的弦长为4，则该弦的中点的坐标是___________________。
6．椭圆
的两个焦点为F1、F2，过点F2的直线与椭圆交于A、B两点，则△AF1B的周长是__________。
7．以椭圆
的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程是___
___。
8．双曲线
的一条渐进线与直线
垂直，则
。
9．双曲线的中心在原点，对称轴是坐标轴，一条渐近线方程为
，且双曲线经过点（2，1），则该双曲线的焦点坐标是____
____。
10．抛物线
的弦
垂直于
轴，若长为4
，则焦点到的距离是________。
11．若点A的坐标为（3，2），F为抛物线的焦点，点P是抛物线上的一动点，则
取得最小值时点P的坐标是___ ___。
12．设F1、F2是双曲线
的两个焦点，Q是双曲线上任意一点，从F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹方程是___
____。
二、选择题
13．已知集合
，则
（ ）
（A）
（B）M （C）N
（D）以上结论均错
14．已知椭圆的焦点是F1、F2，点P是椭圆上一动点，如果延长F1P到Q，使得
，那么动点Q的轨迹是（ ）
（A）圆 （B）椭圆 （C）双曲线的一支 （D）抛物线
15．双曲线
上一点P，点P到一个焦点的距离为12，则点P到另一个焦点的距离是（ ）
（A）22或2 （B）7 （C）22 （D）2
16．设坐标原点为O，抛物线
与过焦点的直线交于A、B两点，则
（ ）
（A）
（B）
（C）3
（D）-3
三、解答题
17．求下列直线的方程：
（1）直线
绕着它与x轴的交点，按逆时针方向旋转
后所得到的直线；
（2）与直线
关于y轴对称的直线。
18．已知圆心在x轴上，半径是5，且以点A (5, 4)为中点，的弦长是
，求这个圆的方程。
19．设双曲线
（1）确定实数
的取值范围；
（2）若点
在双曲线
上，
是两个焦点，
与双曲线实轴所在直线垂直，且
的面积为6，求实数的值。
20．过点A (-1, 0)斜率为k的直线l与抛物线
交于P、Q两点，若抛物线C的焦点F与P、Q、R三点构成平行四边形PFQR，求点R的轨迹方程。
21．已知曲线C的方程为
（1）若曲线C是椭圆，求k的取值范围；
（2）当k=6时，曲线C上是否存在两点P、Q关于直线
对称。若存在，求出过P、Q的直线方程；若不存在，说明理由。
22．设
是二次曲线C上的点，且
构成一个公差为
的等差数列，其中O是坐标原点。记
（1）若C的方程为
，点
及
，求点
的坐标；（只需写出一个）
（2）若C的方程为
，点
，对于给定的正整数n，
证明：
成等差数列；
（3）若C的方程为
，点
，对于给定的正整数n，当公差d变化时，求
的最小值。
解析几何综合练习（答案）
一、填空题
1．在解析几何的学习中，借助于平面直角坐标系，把曲线插上了方程的“翅膀”，用代数的方法研究图形的性质，使“数”与“形”达到完美的结合，这种方法在数学学习中我们常常叫做_____数形结合_____的思想方法。
2．已知集合，集合，若，则____3或1____。
3．直线l经过点且与圆心在原点半径为1的圆面积相切，则直线l的方程是____
或
___。
4．已知定点，动点满足条件，点Q与点P关于直线对称，则点Q的轨迹是___以点
为圆心，1为半径的圆___。
5．斜率为2的直线l被曲线截得的弦长为4，则该弦的中点的坐标是____
或
____。
6．椭圆的两个焦点为F1、F2，过点F2的直线与椭圆交于A、B两点，则△AF1B的周长是_____
_____。
7．以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程是___
___。
8．双曲线的一条渐进线与直线垂直，则
。
9．双曲线的中心在原点，对称轴是坐标轴，一条渐近线方程为，且双曲线经过点（2，1），则该双曲线的焦点坐标是____
____。
10．抛物线的弦垂直于轴，若长为4，则焦点到的距离是______
____。
11．若点A的坐标为（3，2），F为抛物线的焦点，点P是抛物线上的一动点，则取得最小值时点P的坐标是___（1，2）___。
12．设F1、F2是双曲线的两个焦点，Q是双曲线上任意一点，从F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹方程是___
____。
二、选择题
13．已知集合，则（ A ）
（A）
（B）M （C）N
（D）以上结论均错
14．已知椭圆的焦点是F1、F2，点P是椭圆上一动点，如果延长F1P到Q，使得，那么动点Q的轨迹是（ A ）
（A）圆 （B）椭圆 （C）双曲线的一支 （D）抛物线
15．双曲线上一点P，点P到一个焦点的距离为12，则点P到另一个焦点的距离是（ A
）
（A）22或2 （B）7 （C）22 （D）2
16．设坐标原点为O，抛物线与过焦点的直线交于A、B两点，则（ B ）
（A）
（B） （C）3
（D）-3
三、解答题
17．求下列直线的方程：
（1）直线绕着它与x轴的交点，按逆时针方向旋转后所得到的直线；
（2）与直线关于y轴对称的直线。
答案：（1）
，（2）
；
18．已知圆心在x轴上，半径是5，且以点A (5, 4)为中点，的弦长是，求这个圆的方程。
答案：
或
；
19．设双曲线
（1）确定实数的取值范围；
（2）若点在双曲线上，是两个焦点，与双曲线实轴所在直线垂直，且的面积为6，求实数的值。
解：（1）由题意可得：
，解得
，
则实数的取值范围是
（2）由（1）可知双曲线的标准方程为
，
则双曲线的两个焦点分别为
、
，
由题意可设点
，且
，即
，
，
，
，得
则实数a的值是1.
20．过点A (-1, 0)斜率为k的直线l与抛物线交于P、Q两点，若抛物线C的焦点F与P、Q、R三点构成平行四边形PFQR，求点R的轨迹方程。
解：设直线l的方程为
，代入得
，设P、Q坐标分别为
、
，R的坐标为
，再由
，得
，
，因为线段PQ与RF的中点相同，所以
，消去k，得
，由，可得
。
故所求点R的轨迹方程是
21．已知曲线C的方程为
（1）若曲线C是椭圆，求k的取值范围；
（2）当k=6时，曲线C上是否存在两点P、Q关于直线对称。若存在，求出过P、Q的直线方程；若不存在，说明理由。
解：（1）k的取值范围是
；
（2）当k=6时，曲线方程为
，表示双曲线，若存在两点P、Q关于直线对称。设直线PQ的方程为
，由
得
，设线段PQ的中点为
，则
；又点M在直线上，所以
，可验证此时
因此，存在满足题设条件的两点P、Q，直线PQ的方程是
22．设是二次曲线C上的点，且构成一个公差为的等差数列，其中O是坐标原点。记
（1）若C的方程为，点及，求点的坐标；（只需写出一个）
（2）若C的方程为，点
，对于给定的正整数n，
证明：成等差数列；
（3）若C的方程为，点，对于给定的正整数n，当公差d变化时，求的最小值。
解：（1）可解得P3的坐标为
；
（2）若
，则
，
所以是首项为
，公差为
的等差数列。
（3）原点O到曲线C上各点的最小距离为b，最大距离为a.
，且
，
在
上单调递增，故的最小值为
，即为