高二数学下第九章复习讲义

高二数学下第九章复习讲义

第1讲平面的基本性质

一、典型例题

例1、用符号语言写出下列图形应满足的条件

　 图（1）　　　　　　　　  图（2）

分析；根据图形，准确　 地想象点、线、面这些基本元素的关系，然后用集合的符号语言表示出来。书写的规律一般是：先平面再直线，最后为点。

在（1）中：平面α∩平面β=l，a∩α=A，b∩α=B

在（2）中：α∩β=l，aα，bβ，a∩l=P, b∩l=P，c∥l。

例2、作出满足下列条件的图形：

　　　 图（1）　　　　　   图（2）

（1）　 α∩β=AB，aα，bβ，a∥AB，b∩AB=M；

（2）　 正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，O为正方形ABCD中心，A₁C∩平面C₁BD=M，求作点M。　

分析：（1）作图的顺序与读图的顺序相同，先平面再直线再到点。如图（1）

　 （2）设法把点M放到某两个平面的交线上，∵M∈A₁C，A₁C平面AA₁C₁C（由AA₁∥C₁C，A₁A，CC₁是可以确定一个平面的），∴M∈平面AA₁C₁C。又M∈平面C₁BD，∴M为平面AA₁C₁C与平面C₁BD的公共点。观察图象可知，C₁、O也为上述两个平面的公共点，即平面AA₁C₁C∩平面C₁BD=C₁O。∵M∈C₁O，又M∈A₁C，∴C₁O∩A₁C=M，即平面AA₁C₁C₁内，两直线C₁O与A₁C的公共点就是所求作的点M。

评注：题（2）首先体现了转化的思想，将在空间难以把握的线面交点转化为同一平面内的线线交点，确定了交点的位置。其次，将直线A₁C放在平面AA₁C₁C内思考，这是处理直线典型的一种思考方法。借助于平面AA₁C₁C，点M的位置就越来越具体了。这种类似于平面几何辅助直线的平面，称之为辅助平面。在研究空间图形时，经常要作这样的辅助平面。进一步研究M点性质，还可发现M为A₁C的三等分点，M是△C₁BD的重心（中心）。　　

例3、求证：两两相交且不过同一点的四条直线共面。

分析：以文字语言出现的几何证明题，首先要“翻译”为符号语言写成已知、求证的形式，并辅之以正确的图形，然后再进行证明。

已知：四条直线a，b，c，d两两相交，不过同一点。

求证：a，b，c，d共面。

在正确分析四条直线位置关系时，可利用逐步添加的方法。当在两条直线上添加第三条直线时，可以发现存在下列两种位置关系；三线共点和三线不共点。因此本题需分两种情况证明：

（1）　 当存在三线共点时，如右图：

 设a，b，c共点于Q，d∩a=M，d∩b=N，d∩c=Q

 ∵ a∩b=P

 ∴ a，b可确定平面α

∵ M∈a，N∈b

∴ M∈α，N∈α

∵ M∈d，N∈d

∴ dα

∴ Q∈α

又P∈c，Q∈c

∴ cα　　　

∴ a，b，c，d共面于α。

（2）　 任何三条直线都不共点时

 ∵ a，b，c，d两两不相交且不过同一点

∴ a，b，c，d可确定平面α

设d∩a=N，d∩b=M

则M∈α，N∈α

又N∈d，M∈d

∴ dα

∴ a，b，c，d共面于α。

评注：在证明几何问题，一忌用直观代替严谨的逻辑证明，如直接看图得出结论。因为直观图仅仅是直观，是对空间真实位置关系的某种“歪曲”反映，看到的不一定就是实际真实位置；二忌跳步，在结论之前缺乏有序有步骤有层次的推导。三忌程序混乱，不知道应该先说什么，再说什么。当然，还有符号、语言的准确性等等。

二、同步练习

（一）　 选择题

1、　空间四点中“三点共线”是“四点共面”的

A、充分不必要　　 B、必要不充分　

 C、充分且必要　　D、既不充分也不必要　　

2、下面列举了四个关于空间中直线共面的条件：（1）三条直线两两相交；（2）三条直线两两平行；（3）三条直线共点；（4）三条直线有两条平行。其中不正确的个数是

A、　 1个　　  B、2个　　 C、3个　 　D、4个

3、　 直线a，b，c交于一点，经过这三条直线的平面

A、1个  B、3个  C、无数个　D、可以为0个，可以为1个

4、　 三个平面最多可以把空间分成

A、　 4个部分 B、6个部分 C、7个部分 D、8个部分

　　5、已知α∩β=l，M∈α，N∈α，P∈β，Pl，MN∩l=R，记过M、N、P三点的平面γ，则β∩γ等于

A、直线MP　B、直线PR 　C、直线NP  D、直线MR

6、空间四点A、B、C、D共面但不共线，则下面结论成立的是

A、四点中必有三点共线　　　　　　　

B、四点中必有三点不共线

C、AB、BC、CD、DA四条直线中总有两条平行

D、AB与CD必相交

7、正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁的棱长为4，过点A、B₁、D₁三点的平面与平面A₁B₁C₁D₁相交于直线l，则点A到直线l的距离为

A、　　 B、 　 C、　　D、

　 （二）填空题

8、不共面的四点可以确定________个平面。

9、一条直线过平面内一点与平面外一点，它和这个平面有________个公共点。

10、如图，平面ABC和平面DEF的交点有________个。

11、P为正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁的棱B₁C₁上的点（异于B₁、C₁），则直线A₁P必与棱______所在直线相交。

12、如图为水平放置的△ABC的直观图，由图判定原三角形中AB、BO、BD、OD由小到大的顺序__________。

13、空间三个平面的交线条数为k，则k的可能值是__________。

14、α∩β=BC，A∈α，D∈β，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、DB上的点，若EF∩GH=P，则点P必在直线________上。

15、空间三条直线a，b，c互相平行，但不共面，它们能确定______个平面；这些平面把空间分成______个部分。

　 （三）解答题

　　16、空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和CB的中点，G、H分别是CD和AD上的点，且，求证：EF、FG、BD三条直线交于一点。

17、正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁的棱长为a，M、N分别是AA₁、D₁C₁的中点，过D、M、N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l。

　 （1）画出直线l；（2）设l∩A₁B₁=P，求线段PB₁的长。

18、画出满足条件的图形：

α∩β=l，ABα，CDβ，AB∥l，CD∥l。

19、如图，△ABC在平面α外，AB∩α=P，BC∩α=Q，AC∩α=R，求证：P、Q、R三点共线。

20、已知直线a∥b∥c，l∩a=A，l∩a=A，l∩b=B，l∩c=C，求证：a，b，c，l四线共面。

该命题可作怎样的推广？

第2讲空间的平行直线和异面直线

一、典型例题

例1、如图，已知a，b，c不共面，它们相交于点P，A∈a，D∈a，B∈b，C∈c，求证BD和AC是异面直线。

分析：

法一：直接利用判定定理

∵ AC平面PAC，D∈平面PAC，DAC，B平面PAC

∴ AC与BD是异面直线

法二：用反证法

假设AC与BD共面于β

∵ A、D、C三点不共线　　　　 ①

∴ β与平面ACD重合

∴ aβ

∴ P∈β

∵ P、B、C三点不共线

∴ β与平面PBC重合　　　　　 ②

由①②知平面PAC与平面PBC重合

∴ a，b，c共面，与已知矛盾

∴ AC与BD异面

说明：在法一中，选平面PAC为基本面，也可以选平面PBD为基本面，总之，要习惯把直线放在平面内。

例2、空间四边形PABC，连对角线AC、PB，D、E分别是△PAB和△PBC的重心，求证：DEAC。

分析：养成用轨迹的思想看待图形的习惯，即把点放在线上，把线放在面内。

如把点D放在AB边的中线AM上，再把PM、DE放在平面PEM内，延长PE交BC于N，连MN，则N为BC中点，平面PEM即为平面PMN。

△ PMN中

∵

∴ DEMN

△ ABC中

∵ MNAC

∴ DEAC

例3、空间四边形DABC中，P、Q为边CD上两个不同的点，M、N为AB上两个不同的点，连PM、QN，如图，问图中共有多少对异面直线？

分析：为使计算异面直线条数的过程中不出现重、漏的现象，可采用逐步添加的方法。首先考虑空间四边形DABC的四条边DA、AB、BC、CD连同对角线AC、BD，这六条线段可形成三对异面直线DA与BC，AB与CD，AC与BD。

其次添加线段PM，则除去与PM相交的CD、AB，又可新形成4对异面直线，即PM与DA、BC、AC、BD。

因QN与PM位置等同，当添上QN时，也同样新增4对异面直线。

最后注意到，PM与QN也是异面直线。

∴ 图中共有3+4+4+1=12（对）异面直线

评注：对于复杂图形，通常用分解等手段转化为基本图形。同时学会从运动的角度观察图形，如本题的逐步添加法。

例4、长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AB=a，BC=b，AA₁=c，求异面直线BD₁和B₁C所成角的余弦值。

分析：显然，通过平移在长方体的表面及内部不可能构造出一个BD₁和B₁C所成的角，但同时又为了使构造出的角便于计算，故可考虑补上一个与已知长方体相同的长方体DCEF—D₁C₁E₁F₁。具体作法是：延长A₁D₁，使A₁D₁=D₁F₁，延长B₁C₁至E₁，使B₁C₁=C₁E₁，连E₁F₁，分别过E₁、F₁，作E₁EC₁C，F₁FD₁D，连EF，则长方体C₁D₁F₁E—CDFE为所作长方体。

∵ BCD₁F₁

∴ BD₁CF₁

∴ ∠B₁CF₁就是异面直线BD₁与B₁C所成的角。

∵ BD²=a²+b²

∴ Rt△BDD₁中，BD₁²=BD²+DD₁²=a²+b²+c²

∴ CF₁²=BD₁²=a²+b²+c²

∵ B₁C²=b²+c²，B₁F₁²=a²+4b²

∴ △B₁CF₁中

　 cos∠B₁CF₁=

（1）　 当c>b时， cos∠B₁CF₁>0

 ∴ ∠B₁CF₁为锐角，∠B₁CF₁就是异面直线BD₁和B₁C所成的角

（2）　 当c<b时，cos∠B₁CF₁<0

∴ ∠B₁CF₁是钝角

∴ π-∠B₁CF₁就是异面直线BD₁和B₁C所成的角

（3）　 当c=b时，∠B₁CF₁=90⁰

∴ BD₁⊥B₁C

法二：作异面直线所成角的过程，其实就是平移异面直线的过程。借助于三角形中位线的平行性，也可以达到平移的目的。

如图，分别取BC、BB₁、B₁D₁的中点P、M、Q，连PM、MQ、PQ

则 MP∥B₁C，MQ∥BD₁

∴ ∠PMQ（或其补角）就是异面直线BD₁与B₁C所成的角

△ PMQ中，MP=B₁C=

△ MQBD₁=，PQ=

利用余弦定理可以得到与解法一同样的结果

注：本题解法一称为补形法，在本题上，还可以在原长方体的上方或下方补一个相同的长方体，同学们可以亲自试一试。解法二称为中位线法。

在求异面直线所成角的四步骤中，第一步其实就是平移异面直线，使它们相交，第三步计算的过程主要是解三角形的问题。在写结论时应注意解法一的结论。

二、同步练习

（一）　 选择题

　　1、异面直线a与b满足aα，bβαβ，α∩β=l，则直线l与a、b的位置关系是

　　A、l与a、b都相交　　　　　　　　  B、l至少与a、b中的一条相交

　　C、l至多与a、b中的一条相交　　　　D、l至少a、b中的一条平行

2、平面α与β相交，aα，bβ，则在“①a、b必为异面直线，②a、b必互相平行，③a、b必为相交直线”这三个命题中，不正确的个数是

A、0个　　　　　 B、1个　　　　　 C、2个　　　 　　D、3个

3、　 异面直线指的是

A、　 没有公共点的两条直线　　　　　 

B、　 分别位于两个不同平面内的两条直线

C、　 某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线

D、　 不同在任何一个平面内的两条直线

　　4、分别和两条异面直线都相交的两直线一定是

A、不平行的直线　　　　　　　　　　 B、不相交的直线

C、相交直线或平行直线　　　　　　　 D、既不相交也不平行

5、给出四个命题

① 两组对边分别相等的四边形是平行四边形

② 四边相等的四边形是菱形

③ 四边相等且四个角也相等的四边形是正方形

④ 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

其中正确命题的个数是

A、1个　　　　　 B、2个　　　　　 C、3个　　　　  D、4个

6、正方体ABCD—E’F’G’H’中，面对角线FG’与EG所成的角等于

A、45⁰　　　　　  B、60⁰　　　　　  C、90⁰　　　　　 D、120⁰

7、OA∥O’A’，OB∥O’B’是∠AOB=∠A’O’B’的

A、充要条件　　　　　　　　　　　  B、充分不必要条件

C、必要不充分条件 　　　　　　　　 D、既不充分又不必要条件

8、正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁的表面对角线中，与AD₁成60⁰角的有

A、4条　　　　　  B、6条　　　　  C、8条　　　　  D、10条

9、正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，设AB中点为M，DD₁的中点为N，则异面直线B₁M与CN所成角的

A、30⁰　　　　　　 B、45⁰　　　　  C、60⁰　　　　　 D、90⁰

10、给出三个命题

① 若两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线互相平行

② 若两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线互相平行

③ 若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行

其中不正确的个数是

　　　　　   A、0个　　　　　  B、1个　　　　　  C、2个　　　　  D、3个

（二）填空题

　　11、正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中

　 （1）若E、F分别是棱A₁B₁、BB₁的中点，则AE和CF所成角的余弦值是________。

　 （2）若G为CD中点，则异面直线B₁C与AG所成的角的正弦值是________。

　 （3）若F、G分别是棱BB₁、DC的中点，则AF与D₁G所成的角是________。

12、长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，BB₁=BC=1，AB=，则

　 （1）AD₁与BC所成角是__________。

　 （2）CD₁与AB所成角是__________。

（4）　 CD₁与A₁D所成角的正弦值是__________。

　　13、空间四边形ABCD中，若AB=CD=2，E、F分别是AC、BD的中点，EF=，则AB与CD所成的角是________。

14、空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD上的点，且，若BD=6，梯形EFGH的面积是28，则平行线EH、FG间的距离是______。

15、a、b是异面直线，b、c是异面直线，则直线a、c的位置关系是________。

　 （三）解答题

16、设E、F、G、H依次是空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA的中点，设AC+BD=a，AC·BD=b，求EG²+FH²的值。

17、M、N分别是空间四边形ABCD中AB、CD中点，求证：MN<（AD+BC）。

18、S是正三角形ABC所在平面外一点，SA=SB=SC，且∠ASB=∠BSC=∠CSA=90⁰，M、N分别是AB和SC中点，求异面直线SM与BN所成的角。

19、长方体ABCD—A’B’C’D’中，AB=2，BC=BB’=1，M、N分别是AD和BC中点，求异面直线MN和BC’所成角的大小。

20、正方体ABCDA₁B₁C₁D₁中，若E、M、N分别是棱AB、BC及B₁D₁的中点，求异面直线DN与MC₁所成的角。

第3讲直线和平面平行与平面和平面平行

一、典型例题

例1、　　P是平行四边形ABCD所在平面外一点，Q是PA中点，求证：PC∥平面BDQ。

分析：为了在平面BDQ内找到一条与PC平行的直线，只要设法过PC作一个与平面BDQ相交的平面β，则β与平面BDQ的交线即为所求直线。

∵ PA∩PC=P

∴ PA、PC可确定平面PAC

连AC，设AC∩BD=O

则 O∈AC，O∈BD

∴ O∈平面PAC，O∈平面QBD

又 Q∈PA

∴ Q∈平面PAC，Q∈平面QBD

∴ 平面PAC∩平面BQD=OQ

这就找到了过PC的辅助平面PAC与平面BDQ的交线OQ，下证OQ∥PC即可。

∵ O为平行四边形ABCD对角线的交点

∴ O为BD中点

又Q为PA中点

∴ OQ∥PC

又OQ平面BQD

∴ PC∥平面BQD

注：1、本题通过两条相交直线PA、PC构造出了辅助平面PAC；

1、　在证明PC∥OQ时，利用中位线定理；

2、　本题还可以通过构造辅助平面，利用面面平行的性质证明。

延长AB至E，使AB=BE，连PE、CE

∵ B为AE中点

∴ BQ∥PE

∵ BECD

∴ BD∥EC

又BQ∩BD=B

∴ 平面BDQ∥平面PCE

∴ PC∥平面BDQ

3、　在3中，若再延长EC与AD，设它们的交点为F，则一定有平面BDQ∥平面PEF。

4、　由上面两种证法可知，构造辅助平面在立体几何证明中的重要性。

　　例2、两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FM，求证：MN∥平面BCE。

分析：由例1的分析可知，解题的关键是如线在直线MN的基础上构造辅助平面。

法一：利用线面平行的判断定理

根据构造平面的位置差异，又有下列几种途径：

途径一：辅助平面由AC与MN确定

延长AN交BE延长于G，连CG，CG为辅助平面CAN与平面BCE的交线，下证CG∥MN。

∵ AF∥BE

∴

∵ FN=AM，FB=AC

∴ NB=MC

∴

∴ 　该等式中的线段均在同一平面内

∴ MN∥CG

途径二：辅助平面与MN由BF确定，延长BM交AD于H，连FH，下证FH∥MN。类似于途径一。略

途径三：分别过M、N作MM₁⊥BC，NN₁⊥BE，M₁、N₁为垂足。辅助平面由MM₁与NN₁构造，M₁N₁为辅助平面MM₁N₁N与平面BCE的交线，下证MN∥M₁N₁。

∵ MM₁∥AB

∴ 　　　 ①

∵ NN₁∥EF

∴ 　　　　②

∵ AC=BF，AM=FN

∴ CM=BN

又AB=EF

∴ 由①②得MM₁=NN₁

∴ MM₁N₁N为平行四边形

∴ MN∥M₁N₁

∴ MN∥平面BCE

法二；利用面面平行的性质

此时，同样要在MN基础上构造与平面BCE平行的辅助平面

过M、N分别作AB的垂线，设垂足分别为M₂、N₂

∵ MM₂∥CB

∴

∵ NN₂∥AF

∴

∵ AM=FN，AC=FB

∴ AM₂=AN₂

∴ M₂与N₂重合

∴ 平面MM₂N∥平面BCE

∴ MN∥平面BCE

注：平面几何知识是学好立体几何的基础之一，在运用平面几何知识时，应在相关元素在同一平面的前提下进行，否则可能发生错误。如本题运用的平行线分线段成比例定理。

　　例3、P是△ABC所在平面外一点，A’，B’，C’分别是△PBC，△PCA，△PAB的重心，

（1）　 求证：平面A’B’C’∥平面ABC；

（2）　 求S_{△A’B’C’} ：S_△ABC。

分析：根据判定定理，欲证面面平行，应先证线面平行，而线线平行又是线面平行的基础，就本题而言，应从容易把握的线线平行着手。

连PC’，PA’，PB’分别交AB，BC，CA于D，E，F则D，E，F分别为AB，BC，CA中点，且A’，B’，C’分别为PE，PF，PD的三等分点。

∵

∴ A’C’∥DE

∵  

∴ A’B’∥EF

∴ 平面A’B’C’D’∥平面ABC

注：本题直接利用面面平行判定定理的推论，不必再将线线平面转化为线面平行。

　 （2）∵

∴ A’C’=DE

又DE=AC

∴ A’C’=AC，即

同理：，

∴ △A’B’C’∽△ABC

∴

注：当两个三角形相似时，平移它们的位置到空间时，因三角形形状未变，仍然是相似的。本题在空间中运用了平面几何中的三角形相似定理，是正确的。

二、同步练习

　 （一）选择题

1、　a∥α，则a平行于α内的

　　A、一条确定的直线　　B、任意一条直线　　C、所有直线　　D、无穷多条平行直线

2、a，b是异面直线，下列结论正确的是

A、过不在a，b上的任一点，可作一个平面与a，b平行

B、过不在a，b上的任一点，可作一条直线与a，b相交

C、过不在a，b上的任一点，可作一条直线与a，b都平行

D、过a可以并且只可以作一平面与b平行

3、设α∩β=l，a∥α，a∥β，则a与l的位置关系是

A、异面　　　　  B、平行　　　　　 C、相交　　　　　 D、异面或相交

4、a是平面α外一条直线，下列条件可得出a∥α的是

A、a与α内的一条直线不相交　　　　 B、a与α内的两条直线不相交

C、a与α内的无数条直线不相交　　　 D、a与α内的所有直线不相交

5、a是平面α外的一条直线，过a作平面β，使β∥α，下列结论正确的是

A、这样的β只可以作一个　　　　　　 B、这样的β至少可作一个

C、这样的β不存在　　　　　　　　　 D、这样的β至多有一个

6、α∥β，aα，B∈β，则在β内过点B的直线中

A、不存在与a平行的直线　　　　　　 B、不一定存在与a平行的直线

C、有且只有一条与a平行的直线　　　 D、有无穷多条与a平行的直线

　 （二）填空题

　　7、Aα，过点A可作______条直线与α平行。

8、ABCD是梯形，AB∥CD，AB=a，CD=b，AC与BD交于O，过O作平面α与AB平行，AD∩α=M，BC∩α=N，则MN=__________。

9、a∥α，A是α另一侧的点，B，C，D∈a，线段AB，AC，AD交α于E，F，G，若BD=4，CF=4，AF=5，则EG=__________。

10、△ABC中，AB=5，AC=7，A=60⁰，G是重心，过G的平面α与BC平行，AB∩α=M，AC∩α=N，则MN=__________。

11、设α∥β，A、C∈α，B、D∈β，直线AC与CD交于点S，且AS=8，BS=9，CD=34.

　 （1）当S在α，β之间时，CS=__________。

　 （2）当S不在α，β之间时，CS=___________。

12、α∥β，△ABC在平面β内，P是α，β间一点，线段PA，PB，PC分别交α于A’，B’，C’，若BC=12，AC=5，AB=13，且PA’∶PA=2∶3，则△A’B’C’的面积为________。

13、若a∥b，a∥α，则b与α的位置关系是________。

14、正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中

（1）　 BD与平面AD₁C的位置关系是__________；

（2）　 BD与平面CB₁D₁的位置关系是__________；

（3）　 平面CB₁D₁与平面A₁BD的位置关系是__________。

（三）　　　解答题

15、　已知a∥b，a∥α，bα，求证b∥α。

16、　已知α∩β=l，a∥α，a∥β，求证：a∥l。

17、　正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分别为B₁C₁，A₁D₁，A₁B₁的中点，

求证：平面EBD∥平面FGA

18、已知两条异面直线a，b分别与三个平行平面α，β，γ相交于点A，B，C和P，Q，R，又AR，CP与平面β相交于点M，N，求证：MBNQ为平行四边形。

 

19、α∥β，C∈α，B、D∈β，点E、F分别在线段AB、CD上，且，求证：EF∥β。

第4讲直线和平面平行的判定和性质

一、典型例题

　　例1、已知MN⊥a，MN⊥b，a、b为异面直线，a∥α，b∥α，

求证：MN⊥α。

分析：只要将a、b平移到α内去即可。设MN∩α=0，设a与O确定的平面交α于a’，则由线面平行的性质定理a∥a’

设b与O确定的平面交α于b’，则b∥b’

∵ MN⊥a，a’∥a

∴ MN⊥a’

同理：MN⊥b’

∵ a’∩b’=0，a’α，b’α

∴ MN⊥α

例2、（1）P是△ABC所在平面外一点，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，H是△ABC的垂心，求证：PH⊥平面ABC。

　 （2）P是△ABC所在平面外一点，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，PH⊥平面ABC，H为垂足，求证：H为垂心。

分析：从线线垂直与线面垂直的相互转化入手

　 （1）∵ PA⊥PB，PA⊥PC

∴ PA⊥平面PBC

∴ PA⊥BC

∵ H为△ABC垂心

∴ BC⊥AH

∵ PA∩AH=A

∴ BC⊥平面PAH

∴ BC⊥PH

同理：AB⊥PH

∵ AB∩BC=B

∴ PH⊥平面ABC

　 （2）由（1）得：PA⊥BC

∵ PH⊥平面ABC

∴ AH为PA在平面ABC上的射影

∵ BC平面ABC，BC⊥PA

∴ BC⊥AH

同理：AB⊥CH

∴ H为△ABC垂心

注：本题中的两个小问题可以看成是一对逆命题。在过同一顶点的三条棱PA、PB、PC两两都垂直的条件下，P在平面ABC上的射影与△ABC的垂心为同一点。

例3、已知aα，a⊥b，b⊥α，求证：a∥α。

分析：设法构造经过直线a的辅助平面β，使得β与α相交，则只要证明a平行于交线即可。

∵ b⊥α

∴ b垂直于α内任一条直线

又 a⊥b

由此联想到平面几何中的定理“垂直于同一条直线的两条直线平行”，从把a、b转移到同一平面内着手。

任取点A∈a，过A作b’∥b，设b’∩ α=B，则b’⊥ α（请同学们思考如何证明）

设由a，b’确定的平面β交α于c，则b’⊥c

∵ a⊥b，b’∥b

∴ b’⊥a

∵ a，b’，c均在平面β内

∴ a∥c

∴ a∥α

例4、正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中

（1）　 求证：A₁C⊥BD，A₁C⊥C₁D，A₁C⊥B₁A；

（2）　 求证：A₁C⊥平面BDC₁；

（3）　 设O是正方形BCC₁B₁的中心，求证：BC₁⊥DO。

分析：（1）本题中的三组线线垂直都是异面垂直，若用定义证明，则繁顼。考虑用三垂线定理及逆定理。

在正方体A₁B₁C₁D₁—ABCD中，由每一个面都是正方形，利用线面垂直的判定定理，易证：AA₁、BB₁、CC₁、D₁D都与平面ABCD及平面A₁B₁C₁D₁垂直；AB、DC、A₁B₁、D₁C₁都与平面BB₁C₁C、平面AA₁D₁D垂直；A₁D₁、AD、B₁C₁、BC都与平面AA₁B₁B、平面CC₁D₁D垂直。这些垂直关系应熟记，可直接作为结论使用。

∵ A₁A⊥平面ABCD

∴ AC为A₁C在平面ABCD上的射影

∵ BD⊥AC，BD平面ABCD

∴ BD⊥A₁C

在这里选取基本平面为ABCD

同理，选取平面CC₁D₁D为基本平面，证A₁C⊥C₁D

选取AA₁B₁B为基本平面，证A₁C⊥B₁A

　 （2）由（1），A₁C⊥BD，A₁C⊥C₁D

∵ BD∩C₁D=D

∴ A₁C⊥平面BDC₁

　 （3）∵ DC⊥平面BB₁C₁C

∴ OC为DO在平面BB₁C₁C上的射影

∵ BC₁平面BB₁C₁C，BC₁⊥OC

∴ BC₁⊥DO

注：在垂直关系的证明中，应有意识地培养线线垂直与线面垂直转化的思想。三垂线定理及逆定理是证明异面直线垂直的重要方法。

例5、正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，M为AA₁中点，P为正方形A₁B₁C₁D₁的中心

（1）　 求证：MP⊥B₁C；

（2）　 线段A₁B₁上的点N满足A₁N=NB₁，求证：MN⊥MC。

分析：（1）法一：直接利用三垂线定理，选平面BB₁C₁C为基本面。找MP在平面BB₁C₁C上的射影。

作MM₁∥A₁B₁交BB₁于点M₁

作PP₁∥A₁B₁交B₁C₁于点P₁

则MM₁⊥平面BB₁C₁C，PP₁⊥平面BB₁C₁C

∴ M₁P₁为MP在平面BB₁C₁C上的射影

∵ M为AA₁中点，P为A₁C₁中点

∴ M₁、P₁分别为BB₁、B₁C₁的中点

∴ M₁P₁∥BC₁

又 BC₁⊥B₁C

∴ M₁P₁⊥B₁C

由三垂线定理：MP⊥B₁C

法二：把MP平移，转化利用三垂线定理

矩形AA₁C₁C中，M、P分别为AA₁、A₁C₁的中点

∴ MP∥AC₁

由上题知AC₁⊥B₁C

∴ MP⊥B₁C

　 （2）选平面AA₁B₁B为基本面

∵ CB⊥平面AA₁B₁B

∴ BM为CM在平面AA₁B₁B上的射影

下面只要证明BM⊥MN即可

∵ BM与MN在同一平面内

∴ 利用勾股定理

设正方体棱长为a，则BM₂=AB²+AM²=a²+

MN²=MA₁²+A₁N²=

BN²=BB₁²+B₁N²=

∵ BM²+MN²=BN²

∴ BM⊥MN

∴ MC⊥MN

注：利用勾股定理证明线线垂直，体现了数量关系与位置关系的联系。

二、同步练习

（一）　 选择题

1、　空间四边形ABCFD的四边相等，则它的对角线AC与BD的关系是

A、　 垂直相交　　　　　　　　　　   B、相交但不一定垂直　　

C、垂直但不相交　　　　　　　　　 D、不垂直不相交

2、　矩形ABCD中，AB=3，BC=4，PA⊥平面ABCD，PA=1，则P到对角线BD的距离为

A、　 　　　　 B、　　　　　 C、　　　　  D、

3、　△ABC中，AB=AC=5，BC=6，PA⊥平面ABC，PA=8，则P到BC的距离是

A、　 　　　　　 B、　　　　 C、　　　　 D、

　　4、P是△ABC所在平面α外一点，P到△ABC三边的距离相等，PO⊥α，O为垂足，O在△ABC内部，则O是△ABC的

A、　 外心　　　　  B、内心　　　　 C、垂心　　　　  D、重心

　　5、P是平行四边形ABCD所在平面外一点，若P到ABCD四边距离相等，则ABCD一定是

A、菱形　　　　  B、矩形　　　　 C、正方形　　　　D、以上都不是

6、异面直线在同一平面上的射影不可能是

A、两平行直线　　B、同一直线　　 C、两相交直线　　D、一点与一直线

7从平面外一点P引与α相交的直线，使点P与交点的距离等于1，则满足条件 直线条数一定不可能是

A、0条　 　　　　B、1条　　　　 C、2条　　　　　 D、无数条

8、已知PH⊥α，H为垂足，HEα，EFα，HE⊥EF，连PE、PF、HF，则图中直角三角形的个数是

A、1个　　　　　 B、2个　　　　　 C、3个　　　　　  D、4个

9、已知PE垂直于⊙O所在平面，EF是⊙O的直径，点G为圆周上异于E、F的任一点，则下列结论不正确的是

A、FG⊥平面PEG　 B、PG⊥FG　　　　C、EG⊥PF　　　　  D、PE⊥GF

10、如果∠APB=∠BPC=∠CPA=60⁰，PA=a，PA在平面∠BPC上的射影为PO，则cos∠APO等于

A、　　　　　　 B、　　　　 C、　　　　　  D、

　 （二）填空题

11、PO⊥平面AOB，∠AOB=90⁰，AB=a，∠PAO=∠PBO=α，

C是AB中点，则PC=__________。

12、若a∥b，a⊥α，则b______α；若a⊥b，a⊥α，则b______α。

13、空间四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD，若BD=5，AC=4，M、N、P、Q分别是AB、BC、CD、DA的中点，则MNPQ的面积是__________。

14、△ABC中，∠ACB=90⁰，P是平面ABC外一点，PA=PB=PC，若AC=12，P到平面ABC的距离为8，则P到BC的距离等于__________。

15、正三角形ABC的边长为a，AD⊥BC，D为垂足，沿AD将△ABC折起，使∠BDC=90⁰，则B到AB的距离为__________。

　 （三）解答题

16、四面体ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC。

17、Rt△ABC中，∠ACB=90⁰，AC=3，BC=4，PC⊥平面ABC，PC=，求点P到直线AB的距离。

18、若直角ABC的一边BC平行于平面α，另一边AB与平面α斜交，求证：∠ABC在平面α上的射影仍是直角。

19、空间四边形PABC中，PA⊥平面ABC，若∠BAC≠90⁰，求证：A在平面PBC上的射影A’不可能是△PBC的垂心。

20、A是△ABC所在平面外一点，∠ABD=∠ACD=90⁰，AB=AC，E是BC中点，求证：（1）AD⊥BC；（2）△AED是钝角三角形。

第5讲空间向量及其运算

一、典型例题

例1、　　空间四边形ABCD中，E为AD中点，F为B台点，求证：（+）。

解题思路分析：

法一：利用多边形法则，找出与有关向量的等量关系，再对相关向量进行变换，达到题目要求。

例如：=++，=++

∴ 2=+++++

∵ E，F分别为AD，BC中点

∴与为相反向量，+=

同理，+=

∴ 2=+，（+）

法二：构造基本三角形，利用加法定理

例如：取AC中点G，则EGDC，，FGAB，

∴=+=+=（+）

法三：选择适当基底，把问题中的向量转化为基底之间的关系或运算

例如：选基底{，，}

则，=（+）

∴ =-=（+-）

　　　=（+）

说明：基底的选法是不唯一的。本题选从同一顶点出发的三条有向线段作为基底是选基底的最常用方法。还有一种常用选法是在空 间任取一点O，以从点O出发的三条不共面的向量为基底。

例2、已知向量{，，}中选哪一个向量，一定可以与向量=+，=-，构成空间的另一个基底？

解题思路分析：由空间向量基本定理可知，空间任意不共面的三个向量都可以构成空间的一个基底

∵ +， -与，构成平行四边形

∴ +， -， ，一定共面

∴  与不能与+，-构成基底

∴ 与+，-可以构成空间的一个基底

例3、平行六面体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，=，=，=，M，N，P，Q分别是A₁D₁，CC₁，BC，A₁D的中点，用基底{，，}表示以下向量：

　 （1）　（2）　（3）

解题思路分析：

利用多边形法则，或构造若干个相关的三角形

　 （1）=++=++

　　　　　　=++

或者：

　　=+=+++

　 （2）=（）-）

　　　　　  =-）

　　　　　  =）=-

　 （3）（）

　　　　　  =

　　　　　  =++--=++

说明：用基向量的线性组合去表示相关向量，是用向量知识研究几何问题的基础。在寻找线性组合的过程中，主要是以向量为边构造三角形或多边形（包括平行四边形）。

若M为中点，则（）是经常用到的重要公式。

例4、四面体ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC。

解题思路分析：

首先将几何语言“翻译”为向量语言，即已知·=0，·=0，求证：·=0

其次，选择适当的基底，沟通已知向量与未知向量之间的关系

例如：途径一：选基底{，，}，设=，，，则：

=-，-，-

∵ ·

∴ ·（-）=0

∴ ·-·=0　　①

∵ ·

∴ ·（-）=0

∴·-·=0　　 ②

①-②得：·-·=0

∴ ·（-）=0

∴ ·

∴ AD⊥BC

途径二：任取空间一点O，其基底{，，}

设，，

则=-，-

=-

再设

则-，-，-

∵ ·

∴（-）·（-）=0

∴ ·-·-·+·=0　 ①

∵ ·

∴ ·-·-·+·=0　 ②

①-②得：

　 ·-·+·-·=0

∴ ·(-）-·(-）=0

∴（-）·（-）=0

∴ ·=0

∴  CB⊥AD

说明：由上述两种选基底的方法可知，由于基底的选择不同，向量运算的简繁程度也有所差异，因此，应学会选择适当的基底。

例5、P是正方形ABCD所在平面外一点，PA=PB=PC=PD=AB=m，若M，N分别在PA、BD上，且

（1）　 求证：MN∥平面PBC

（2）　 求证：MN⊥AD

（3）　 求MN与PC所成角的大小

解题思路分析：

　 （1）根据共面向量定理，只需证明可以表示为、、中任两个向量的线性组合，为此，必须选基底，再利用三角形法则，利用基底找到上述向量之间的线性关系。取基底{，，}，设，=，，则，-，-

　　∴ +-2

∴ ++(++)

　

∴ （+）=+

∴ 与，共面

∴ 平面PBC

∴ MN∥平面PBC

　 （2）只需证·，-

∵ ·（+）·（-）=（-）=（-）=0

∴ ⊥，MN⊥AD

（4）　 利用数量积公式的变形

 ∵ ·=· cos<,>

∴ cos<，>=（·）/（·）

∵ (+)²=(++2·)

　 ·=cos<,>=m²cos

∴ (m²+m²+m²)=

∴ =

又∵ ·（+）·=（·+）

　　　　　　 =

∴ cos<，>=（·）/（·）=

∵ <，>∈[0，π]

∴ <，>=30⁰

∴ MN与PC成30⁰角

说明：由本例可以看出，用向量解决几何问题，重在问题运算，降低了对空间图形抽象思维的要求，显得简单，易于上手。

例6、PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA=AD，M、N分别是PC、AB中点，求证：MN⊥平面PCD。

解题思路分析：　　

只需证与、、中任意两个向量的数量积等于0

选基底{，，}，设，，

则=+，

　（+）=（++）

∴ -（++）=--

∵ PA⊥平面ABCD

∴ PA⊥AB，PA⊥AD

∴ ·=0，·=0

又AB⊥AD

∴ ·=0

∴ ·（--）·（-）=·+·=0

　 ·-（+）·（-）=-(-)=-(-)=0

∴ MN⊥CD，MN⊥PD

又MCD∩PD=D

∴ MN⊥平面PCD

说明：通过上述两例可以知道，三角形法则或多边形法则是向量运算的基础，因为用基底正确表示出相关向量是解决问题的关键一步。

二.同步练习

　 （一）选择题

1、　对空间任意两个向量，（≠），∥的充要条件是

A、=λ　　  B、=λ　　  C、=　　  D、=-

2、　下列命题正确的是

A、　 如果向量，与任何向量不能构成空间的基底，那么，不共线

　　B、如果，，是三个基向量，那么+，+，+，不能构成空间的一个基底

　　C、若，，不构成空间的一个基底，那么O，A，B，C四点共面

D、空间中的基底只有有限个

3、在空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则(+)等于

A、　　　　  B、　　　　  C、　　　　  D、

4、已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都是a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，那么下列运算结果为正值的是

A、　 ·　　B、·　　C、·　　 D、·

（二）　　　填空题

　　5、如果两个向量，不共线，则与，共面的充要条件是____________。

　　6、平行六面体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，+=____________ 。

7、在平行六面体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AB=4，AD=3，AA₁=5，∠BAD=90⁰，∠BAA₁=∠DAA₁=60⁰，则A₁C等于____________。

8、已知G为△ABC的重心，O为空间任意一点，则用，，表示为____________。

9、正方体ABCD—A₁B­₁C₁D₁中，E，F分别是上底面A₁B₁C₁D₁和侧面CDD₁C₁的中心，如果+x+y，则x=__________，y=­­­­­­­­__________。

10、空间四边形OABC，点M，N分别是OA，OB的中点，设=，，，则用，，表示的结果是____________。

（三）　　　解答题

11、平行六面体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，，，，P，M，N分别是CA₁，CD₁，C₁D₁的中点，点Q在CA₁上，CQ∶QA₁=4∶1，试用基底{，，}表示以下向量：，，，。

12、已知空间四边形OABC，OA=OB，CA=CB，E，F，G，H分别是OA，OB，CB，CA的中点，求证：EFGH是矩形。

13、空间四边形OABC的各边及对角线长都是1，D，E分别是OA，BC的中点

（1）　 求证：DE是OA，BC的公垂线；

（2）　 求OA与BC间的距离。

14、四面体ABCD中，AB=CD，BC=AD，P、Q分别为AC、BD的中点，求证：PQ⊥AC，PQ⊥BD。

15、O、G分别为四面体ABCD的外接球球心和重心，求证：OG²=R²-(AB²+AC²+AD²+BC²+CD²+BD²)，其中R为外接球半径。

第6讲斜线在平面上的射影，直线和平面所成的角

一、典型例题

　　例1、如图，正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是A₁A、B₁B的中点，求直线CM与D₁N所成角的余弦值。

解题思路分析；

首先建立坐标系，设正方体棱长为1，取=， =， =，以，，为坐标向量建立空间直角坐标系D—xyz。

其次，求出相关点的坐标，即C、M、D₁、N四点坐标。C（0，1，0），D₁（0，0，1），M（1，0，），N（1，1，）

在其基础上求出有关向量的坐标。

=（1，-1，），=（1，1，-）

再次，利用向量夹角公式求出与的夹角

cos<,>=（·）/（·）=

最后，回到立体问题中去，同时注意向量概念与立体几何概念之间的差异。

∵ cos<,><0

∴ <,>是异面直线CM与D₁N所成角的补角

∴ 异面直线CM与D₁N所成角余弦值为

例2、正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BB₁、CD中点，

（1）　 求证：AE⊥D₁F

（2）　 求证：D₁F⊥平面ADE

（3）　 求异面直线EF与BD₁所成的角

解题思路分析：

设正方体棱长为1，取，=，=，以，，为坐标向量建立空间直角坐标系D—xyz

则D₁（0，0，1），F=（0，，0），A（1，0，0），E（1，1，）

∴ =（0，1，），=（0，，-1）

∵ ·=0×0+1××1=0

∴ ⊥，AE⊥D₁F

　 （2）只要再证D₁F⊥AD，即·=0即可

∵ =（-1，0，0）

∴ ·=-1×0+0×-0×1=0

∴ ⊥，AD⊥D₁F

又由（1）AE⊥D₁F，AD∩AE=A

∴ D₁F⊥平面ADE

（4）　 利用夹角公式，分别求出·，，即可

　　=（-1，-，-），=（-1，-1，1）

∴ ·=1+=1

　 =，=

∴ cos<,>=(·)/（·）=

∴ <,>=arccos

∴ 异面直线EF与BD₁所成的角为arccos

例3、正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E是BC中点，P是CC₁中点

（1）　 求证：BD₁∥平面C₁DE；

（2）　 求证：EC₁⊥平面A₁B₁P。

解题思路分析：

　 （1）翻译为向量语言，就是把表示为平面C₁DE中某两个向量的线性组合，例如证明与及共面

如图建立空间直角坐标系，则B（1，1，0），D₁（0，0，1），E（，1，0）

∴ =（-1，-1，1），，1，0），=（0，1，1）

∵ =

∴ 与，共面

∵ BD₁平面DEC₁

∴ BD₁∥平面DEC₁

　 （2）只需证EC₁与平面A₁B₁P中某两条直线垂直，即与平面A₁B₁P中某两个向量的数量积为0

∵ B₁（1，1，1），P（0，1，）

∴ =（-1，0，）

∵ =（，0，1）

∴ ·=0

∴ ⊥，B₁P⊥EC₁　  ①

又 =（0，1，0）

　 ·=0

∴ ⊥，A₁B₁⊥EC₁　 ②

由①②得，A₁B₁∩B₁P=B₁

∴ EC₁⊥平面A­₁B₁P

例4、正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁的棱长为1，M、N分别在A₁B、B₁D₁上，且A₁M=A₁B，B₁N=B₁D₁，

（1）　 求证：MN是A₁B和B₁D₁的公垂线；

（2）　 求异面直线A₁B与B₁D₁间的距离。

解题思路分析：

如图建立空间直角坐标系

只需证：·=0，·=0

∵ A₁（1，0，1），B（1，1，0）

∴ =（0，1，-1）

同理，=（-1，-1，0）

又M（1，），N（，1）

∴ =（）

∵ ·=0，·=0

∴ ⊥，⊥

∴ MN⊥A₁B₁，MN⊥B₁D₁

又MN与A₁B，B₁D₁分别相交

∴ MN是A₁B和B₁D₁的公垂线

（3）　 d_M，N=

∴ MN=，即异面直线A₁B与B₁D₁之间的距离是

例5、正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，O为AC与BD交点，M为D₁D中点

（1）　 求证：B₁O⊥平面MAC

（2）　 求异面直线B₁O与D₁C所成角的大小

解题思路分析：

如图建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），C（0，1，0），B（1，1，0），C₁（0，1，1），O（，0），B₁（1，1，1），M（0，0，）

则=（），=（1，0，），=（0，1，）

∴ ·==0

　 ·==0

∴ ⊥，⊥

即 B₁O⊥MA，B₁O⊥MC

又MA∩MC=M

∴ B₁O⊥平面MAC

　 （2）∵ =（0，1，-1），

∴ ·=，=，=

∴ cos<，>=（·）/（·）=

∴ <，>=arccos

∴ 异面直线D₁C与B₁O所成的角为arccos

注：由上面数例可以看出：①用向量解决立体几何问题，重在算，技能要求稍高，但难度上比传统几何的逻辑思维及空间想象低得多，几乎也不不需要特殊的技巧；所以向量方法可以说是一种“程序化”的方法；②在右手直角坐标系建立后，如何求出点的坐标进而求出向量的坐标是向量法的基础，也是关键，因为下面的运算就是建立在坐标之上的。在这里，需要一定的空间想象能力，能够正确地进行投影（分解）；③通常用向量夹角公式证明几何的角及垂直问题；用向量距离公式求线段长度；用数乘向量证明共线（共面）问题。

二、同步练习

（一）　　  选择题

1、  给出下列命题：

　　①若点（x，y，z）在xoy平面内，则z=0

②若点（x，y，z）在yoz平面内，则x=0

③若点（x，y，z）在zox平面内，则y=0

④若点（x，y，z）在y轴上，则y≠0

其中正确的命题个数是：

A、1　　　　　 B、2　　　　　  C、3　　　　　  D、4

2、  下列命题错误的是；

A、  点（x，y，z）关于xoy平面的对称点是（x，y，-z）

B、  点（x，y，z）关于yoz平面的对称点是（-x，y，z）

C、  点（x，y，z）关于zox平面的对称点是（x，-y，z）

D、  点（x，y，z）关于原点的对称点是（-x，-y，z）

　　3、已知=（2，-1，3），=（-4，2，x），若与夹角是钝角，则x取值范围是

A、（-∞，）　　B、（-∞，2）　　C、（，+∞）　　D、（-∞，）

4、棱长为1的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是A₁B₁和BB₁的中点，那么直线AM和CN所成角的余弦值是：

A、　 　　　　　 B、　　　　　 C、　　　　　  D、

　　5、正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是AA₁和BB₁的中点，则DM与D₁N所成角的余弦值是

A、　 　　　　 B、　　　　  C、　　　　  D、

（二）　　  填空题

　　6、已知=（3，-3，-1），=（2，0，3），=（0，0，2），求·（+）=__________。

7、　 =（2，-3，），=（1，0，0），则与夹角为__________。

8、　 与xoy平面的距离为1的点（x，y，z）所满足的条件是__________。

　　9、已知点A（3，-5，7），点B（1，-4，2），则的坐标是__________，AB中点坐标是__________。

　　10、已知A（3，2，1），B（1，0，4），则到A、B两点距离相等的点（x，y，z）的坐标所满足的条件是__________。

　 （三）解答题

　　11、在棱长为1的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是D₁D，DB的中点，G在棱CD上，CG=CD，H是C₁G的中点

（1）　 求证：EF⊥B₁C

（2）　 求EF与C₁G所成角的余弦值

（3）　 求FH的长

12、长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AB=a，BC=b，AA₁=c，（a>b），求异面直线D₁B和AC所成角的余弦值。

13、M、N分别是正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁的棱BB₁和B₁C₁的中点，

（1）　 求MN与CD所成的角；

（2）　 求MN与AD所成的角。

14、长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AB=2AA₁=2BC，E为C₁D₁中点，求证：DE⊥平面EBC。 

15、正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E为CD的中点

（1）　 求证：EB₁⊥AD₁；

（2）　 求D₁E与A₁C所成角的余弦值。

第7讲棱柱和棱锥

一、典型例题

例1、已知直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，∠ACB=90⁰，∠BAC=30⁰，BC=1，AA₁=，M为CC₁中点，求证：AB₁⊥A₁M。

解题思路分析：

因结论是线线垂直，可考虑用三垂线定理或逆定理

∵ ∠ACB=90⁰

∴ ∠A₁C₁B₁=90⁰

即B₁C₁⊥C₁A₁

又由CC₁⊥平面A₁B₁C₁得：CC₁⊥B₁C₁

∴ B₁C₁⊥平面AA₁C₁C

∴ AC₁为AB₁在平面AA₁C₁C的射影

由三垂线定理，下证AC₁⊥A₁M即可

在矩形AA₁C₁C中，AC=A₁C₁=，AA₁=CC₁=

∵ ，

∴

∴ Rt△A₁C₁M∽Rt△AA₁C₁

∴ ∠1=∠2

又∠2+∠3=90⁰

∴ ∠1+∠3=90⁰_­

∴ AC₁⊥A₁M

∴ AB₁⊥A₁M

评注：利用三垂线定理的关键是找到基本面后找平面的垂线

例2、正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的底面边长为a，在侧棱BB₁上截取BD=，在侧棱CC₁上截取CE=a，过A、D、E作棱柱的截面ADE

　 （1）求△ADE的面积；（2）求证：平面ADE⊥平面ACC₁A₁。

解题思路分析：

（1）　 分别在三个侧面内求出△ADE的边长

AE=a，AD=a，DE=

∴ 截面ADE为等腰三角形

　 S=

　 （2）∵ 底面ABC⊥侧面AA₁C₁C

∴ △ABC边AC上的高BM⊥侧面AA₁C₁C

下设法把BM平移到平面AED中去

取AE中点N，连MN、DN

∵ MNEC，BDEC

∴ MNBD

∴ DN∥BM

∴ DN⊥平面AA₁C₁C

∴ 平面ADE⊥平面AA₁C₁C

评注：解决第（2）问题的方法是证明面面垂直的一种典型途径。第一步先找到其中一个平面的垂线，第二步将直线平移到另一个平面中去。实际上，第二步就是要证明线面平行，如本题BM∥平面ADE。根据前面介绍的用线面平行的判定定理证明线面平行的方法，只要过BM作一平面与平面ADE相交，则BM必和交线平行，这里构造了辅助平面BDNM。

本题也可作出二面角的平面角，证明其大小为90⁰

例3、斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，底面是边长为4cm的正三角形，侧棱AA₁与底面两边AB、AC均成60⁰的角，AA₁=7

　 （1）求证：AA₁⊥BC；（2）求斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁的全面积；（3）求斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁的体积；（4）求AA₁到侧面BB₁C₁C的距离。

解题思路分析：

（1）　 设A₁在平面ABC上的射影为0

∵ ∠A₁AB=∠A₁AC

∴ O在∠BAC的平行线AM上

∵ △ABC为正三角形

∴ AM⊥BC

又AM为A₁A在平面ABC上的射影

∴ A₁A⊥BC

　 （2）

∵ B₁B∥A₁A

∴ B₁B⊥BC，即侧面BB₁C₁C为矩形

∴

又

∴ S_全=

　 （3）∵ cos∠A₁AB=cos∠A₁AO·cos∠OAB

∴ cos∠A₁AO=

∴ sin∠A₁AO=

∴ A₁O=A₁Asin∠A₁AO=

∴

　 （4）把线A₁A到侧面BB₁C₁C的距离转化为点A或A₁到平面BB₁C₁C的距离

为了找到A₁在侧面BB₁C₁C上的射影，首先要找到侧面BB₁C₁C的垂面

设平面AA₁M交侧面BB₁C₁C于MM₁

∵ BC⊥AM，BC⊥A₁A

∴ BC⊥平面AA₁M₁M

∴ 平面AA₁M₁M⊥侧面BCC₁B₁

在平行四边形AA₁M₁M中

过A₁作A₁H⊥M₁M，H为垂足

则A₁H⊥侧面BB₁C₁C

∴ 线段A₁H长度就是A₁A到侧面BB₁C₁C的距离

∴

例4、平面α内有半径为R的⊙O，过直径AB的端点A作PA⊥α，PA=a，C是⊙O上一点，∠CAB=60⁰，求三棱锥P—OBC的侧面积。

解题思路分析：

三棱锥P—OBC的侧面由△POB、△POC、△PBC三个三角形组成

在求出边长元素后，求三角形面积时，应注意分析三角形的形状，简化计算

∵ PA⊥平面ABC

∴ PA⊥AO，AC为PC在平面ABC上的射影

∵ BC⊥AC

∴ BC⊥PC

△ POB中，

△ PBC中，BC=ABsin60⁰=2a

∴ AC=a

∴ PC=

∴

△ POC中，PO=PC=，OC=a

∴

∴ S_侧=

例5、四棱锥V—ABCD底面是边长为4的菱形，∠BAD=120⁰，VA⊥底面ABCD，VA=3，AC与BD交于O，（1）求点V到CD的距离；（2）求点V到BD的距离；（3）作OF⊥VC，垂足为F，证明OF是BD与VC的公垂线段；（4）求异面直线BD与VC间的距离。

解题思路分析：

（1）　 用三垂线定理作点到线的垂线

在平面ABCD内作AE⊥CD，E为垂足

∵ VA⊥平面ABCD

∴ AE为VE在平面ABCD上的射影

∴ VE⊥CD

∴ 线段VE长为点V到直线CD的距离

∵ ∠BAD=120⁰

∴ ∠ADC=60⁰

∴ △ACD为正三角形

∴ E为CD中点，AE=

∴ VE=

　 （2）∵ AO⊥BD

∴ 由三垂线定理VO⊥BD

∴ VO长度为V到直线BD距离

　 VO=

　 （3）只需证OF⊥BD

　　∵ BD⊥HC，BD⊥VA

　　∴ BD⊥平面VAC

　　∴ BD⊥OF

　　∴ OF为异面直线BD与VC的公垂线

　 （4）求出OF长度即可

在Rt△VAC中

OC=AC=2，VC=

∴ OF=OC·sin∠ACF=OC·

二、同步练习

（一）　 选择题

1、  斜四棱柱侧面最多可有几个面是矩形

A、　 0个　　　　　 B、1个　　　　  C、2个　　　　  D、3个

2、  正方体的体对角线长为x，其体对角线长是

A、　 　　　　 B、　　　　C、　　　　 D、

3、  若长方体的三个面的面积分别是，则长方体对角线长为

A、　　　　　  B、　　　　  C、　　　　 D、

4、  下列命题正确的是

A、四棱柱是平行六面体　　　　　　  B、直平行六面体是长方体

C、六个面都是矩形的六面体是长方体　D、底面是矩形的四棱柱是长方体

5、  下列命题正确的是

A、  底面是正多边形的棱锥是正棱锥

B、  侧面与底面所成角都相等的棱锥是正棱锥

C、  棱锥的高可以等于它的一条侧棱长

D、  棱锥的高一定在棱锥内部

　　6、三棱锥S—ABC的三条侧棱两两垂直，SA=1，SB=，SC=，则底面内∠ABC等于

A、30⁰　　　　 　B、45⁰ 　　　  　C、60⁰　　　　　 D、120⁰

7、在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有

A、1个　　　　  B、2个　　　　　 C、3个　　　　  D、4个

8、正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁的表面积为S₁，以A₁、B、C₁、D为顶点的四面体的表面积为S₂，则S₁∶S₂等于

A、　　　　　 B、　　　　   C、　　　　  D、

9、若正棱锥的底面边长为侧棱长相等，则该棱锥一定不是

A、三棱锥　　　　B、四棱锥　　　　 C、五棱锥　　　 D、六棱锥

10、棱锥的一个平行于底面的截面把棱锥的高分成1∶2（从顶点到截面与从截面到底面），那么这个截面把棱锥的侧面分成两部分的面积之比等于

A、1∶2　　　　  B、1∶4　　　　  C、1∶9　　　　  D、1∶8

　 （二）填空题

11、正四棱柱的一个侧面面积为S，则它的对角面面积是__________。

12、正n棱柱每相邻两个侧面所成二面角度数为__________。

13、长方体对角线长为，长、宽、高的比为3∶2∶1，则长方体全面积为________。

14、正六棱柱的高为5cm，最长对角线为13cm，它的侧面积是__________。

15、一个正棱锥的一个侧面与底面所成角是θ，底面积Q，则它的侧面积是________。

　 （三）解答题

16、四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，A₁B=A₁D，求证：（1）对角面AA₁C₁C⊥截面A₁BD；（2）对角面D₁DBB₁是矩形。

17、正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，A₁B与对角面A₁B₁CD所成角为30⁰，求证：此四棱柱为正方体。

18、正四棱锥棱长均为a，（1）求侧面与底面所成角α；（2）若相邻两侧面所成角为β，求证：β=2α。

19、正三棱锥的侧棱等于10cm，侧面积等于144cm²，求棱锥的底面边长和斜高。

20、斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁的底面△ABC中，AB=AC=10，BC=12，A₁到A、B、C三点的距离都相等，且AA1=13，求斜三棱柱的侧面积。

第8讲 球

一、典型例题

例1、　  四棱锥A—BCDE中，AD⊥平面BCDE，AC⊥BC，AE⊥BE，

　 （1）求证A、B、C、D、E五点都在以AB为直径的同一球面上；

　 （2）若∠CBE=90⁰，CE=，AD=1，求B、D两点的球面距离。

解题思路分析：

　 （1）设AB中点为O，则只需证明OA=OB=OC=OD=OE，其途径通常有全等三角形或等量代换。本题用等量代换。

设AB中点为O，则OA=OB=AB

∵ AD⊥平面BCDE

∴ AD⊥DB

∴ DO=AB

∵ AC⊥BC，AE⊥EB

∴ EO=CO=AB

∴ OA=OB=OC=OD=OE=AB

即A、B、C、D、E五点都在以AB为直径的同一球面上

　 （2）根据球面距离的定义，只需求出球的半径R及∠BOD的大小即可。下从分析图形A—BCDE的性质着手。

∵ AD⊥平面BCDE

∴ DE、DC分别为AE、AC在平面BCDE上的射影

∵ BE⊥EA，BC⊥CA

∴ BE⊥ED，BC⊥CD

又∠CBE=90⁰

∴ BCDE为矩形

∴ BD=EC=

∴ AB==2

∴ 球半径R=1

△ BOD中，BO=OD=1，BD=

∴ cos∠BOD=

∴ ∠BOD=

∴ B、D两点球面距离

　　例2、有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比及体积之比。

解题思路分析：

因球的表面积及体积与球的半径有关，故求出三个球的半径之间关系即可。将正方体的棱长作为基本元素，以此找出三个半径的关系式。

设正方体棱长为a，三个球的依次为R₁、R₂、R₃，分别作出过球的球心的截面，得如图所示三种组合体的截面图。

　　　　 2R₁=a，R₁=　　 a=2R₂，R₂=a　　a=2R₃,R₃=a

∴ R₁∶R₂∶R₃=1∶∶

∴ S₁∶S₂∶S₃=R₁²∶R₂²∶R₃²=1∶2∶3

　 V₁∶V₂∶V₃=R₁³∶R₂³∶R₃³=1∶∶

评注：本题通过作截面图，将立体几何问题转化为平面几何问题，是立体几何的重要思想方法之一。对于这类组合体，通常作出过球心的截面，然后紧抓球心及半径两个要素，找位置关系或数量关系。

例3、A、B、C为半径为1的球面上的三点，B、C两点的球面距离为，点A与B、C两点间的球面距离均为，设球心为O，求：（1）∠BOC、∠AOB的大小；（2）球心到截面ABC的距离。

解题思路分析：

从转化球面距离着手

（1）　 由球面距离定义可知，∠BOC=，∠AOB=∠AOC=；

（2）　 法一：利用截面性质，求出△ABC的外接圆半径r即可

 ∵ BC=1，AC=AB=

∴ cos∠BAC=

∴ sin∠BAC=

设△ABC外接圆半径为r，则由正弦定理

　 2r=

∴ r=

∴ 球心到截面ABC的距离为

法二：一般说，立体几何的解题习惯是将点、线、面置于某一几何体中，充分利用几何体的有关性质解决这些点、线、面的问题。因此本题可考虑O、A、B、C四点构成的四面体

∵ OA⊥OB，OA⊥OC

∴ OA⊥平面OBC，如图

为了确定O在平面ABC上的射影，应先找到平面ABC的垂面（辅助平面）

取BC中点M，则OM⊥BC

∴ BC⊥平面OAM

∴ 平面OAM⊥平面ABC

在△OAM内作OH⊥AM，H为垂足，则OH⊥平面ABC

∴ OH长度就是点O到平面ABC的距离

∵ OA=1，OM=

∴ AM=

由OA·OM=AM·OH得：OH=

法三：在法二图形的基础上，也可用等积法求点O到平面ABC的距离

设O到平面ABC的距离为x，则

　

又

∴

求得：S_△ABC、S_△OBC、OA后代入上式，求得x=

这种方法的优越性在于不需要作出O在平面ABC上的射影

例4、三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC=90⁰，求这个三棱锥外接球球心的位置。

解题思路分析：

为了确定球心（点）的位置，可将它转化为某两条直线的公共点。那么球心在哪条直线上呢？

根据球的截面小圆的性质，球心在过截面圆的圆心且与截面圆垂直的直线上。

如图：∵ ∠ABC=90⁰

∴ △ABC的外接圆圆心为AC中点O₁，在△PAC内作O₁M∥PA，则O₁M⊥平面ABC

∴ 球心O在直线O₁M上

∵ PA⊥平面ABC

∴ PA⊥BC

又BC⊥BA

∴ CB⊥平面PAB

∵ ∠PAB=90⁰

∴ △PAB的外接圆圆心为PB中点O₂，在△PBC内作O₂N⊥CB，则O₂N⊥平面PAB

∴ 球心O在直线O₂N上

∵ O₁M、O₂N均与直线PC相交且交点O为PC中点

∴ O₁M∩O₂M=0

∴ O为三棱锥P—ABC外接球的球心

例5、已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，且相距为1，求球的体积。

解题思路分析：

利用解方程思想与球的半径R

这里还需要对两截面是在球心O的同侧还是异侧进行讨论

当两截面在球心O的同侧时，作出截面大圆，如图

则

解之得R=3

当两截面在球心O的两侧时

则，无解

∴

二、同步练习

　 （一）选择题

1、  棱长为a的正方体外接球的表面积是

A、πa²　　 　　 B、2πa²　　　　  C、3πa²　　　　 D、4πa²

2、A、B为球面上相异两点，则过A、B可作大圆个数

A、0个　　　　  B、只有一个　　　 C、无穷多个　　  D、以上都不对

3、若球的大圆面积扩大为原来的2倍，则球的体积比原来增加

A、2倍　　　　  B、4倍　　　　　  C、倍　　　 D、倍

4、两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为

A、2∶3　　　　  B、4∶9　　　　　 C、∶　　  D、∶

5、表面积为Q的多面体的每一个面都外切于半径为3的一个球，则这个多面体体积为

A、Q　　　　　　 B、3Q　　　　　　 C、Q　　　　　 D、无法求解

　 （二）填空题

6、如果球的半径扩大为原来的n倍，则球的大圆周长扩大为原来的______倍，球的表面积扩大为原来的______倍，球的体积扩大为原来的______倍。

7、过球面上不经过球心的两点所作截面圆中，面积最大的圆是________，面积最小的圆是__________。

8、长方体共顶点的三个侧面面积分别为，则它的外接球的表面积为__________。

9、设地球半径为R，在北纬60⁰的圈上有甲、乙两地，它们纬度圈上的弧长等于，那么甲、乙两地球面距离为__________。

10、由半径为R的球面上一点P作球的两两互相垂直的三条弦PA、PB、PC，则PA²+PB²+PC²=__________。

　 （三）解答题

11、设地球半径为R，A地在东经30⁰的赤道上，B地在北纬45⁰，东经120⁰处，求A、B两地球面的距离。

12、正三棱锥高为1，底面边长为，内有一个球与四个面都相切，如图

（1）　 求棱锥的全面积；

（2）　 求球的半径。

13、正三棱锥内接于半径为R的球，如果它的高与侧棱所成的角等于α，求棱锥体积。

14、已知AB为球O的直径，C、D是球面上两点，D又在以BC为直径的小圆上，设此小圆所在平面为α

（1）　 求证：平面ABC⊥α；

　 （2）设AB与α所成角为θ，过球半径OD且垂直于α的截面截BC弦于E，求△OED与经过O、D的截面面积之比，并求θ为何值时，这面积之比最大。