2007年全国高中数学联合竞赛加试试卷
（考试时间：上午10：00—12：00）
一、（本题满分50分）如图，在锐角△ABC中，AB<AC，AD是边BC上的高，P是线段AD内一点。过P作PE⊥AC，垂足为E，做PF⊥AB，垂足为F。O1、O2分别是△BDF、△CDE的外心。求证：O1、O2、E、F四点共圆的充要条件为P是△ABC的垂心。
二、（本题满分50分）如图，在7×8的长方形棋盘的每个小方格的中心点各放一个棋子。如果两个棋子所在的小方格共边或共顶点，那么称这两个棋子相连。现从这56个棋子中取出一些，使得棋盘上剩下的棋子，没有五个在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连。问最少取出多少个棋子才可能满足要求？并说明理由。
三、（本题满分50分）设集合P={1，2，3，4，5}，对任意k∈P和正整数m，记f(m，k)=
，其中[a]表示不大于a的最大整数。求证：对任意正整数n，存在k∈P和正整数m，使得f(m，k)=n。
2007年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案
一、（本题满分50分）如图，在锐角△ABC中，AB<AC，AD是边BC上的高，P是线段AD内一点。过P作PE⊥AC，垂足为E，作PF⊥AB，垂足为F。O1、O2分别是△BDF、△CDE的外心。求证：O1、O2、E、F四点共圆的充要条件为P是△ABC的垂心。
证明：连结BP、CP、O1O2、EO2、EF、FO1。因为PD⊥BC，PF⊥AB，故B、D、P、F四点共圆，且BP为该圆的直径。又因为O1是△BDF的外心，故O1在BP上且是BP的中点。同理可证C、D、P、E四点共圆，且O2是的CP中点。综合以上知O1O2∥BC，所以∠PO2O1=∠PCB。因为AF·AB=AP·AD=AE·AC，所以B、C、E、F四点共圆。
充分性：设P是△ABC的垂心，由于PE⊥AC，PF⊥AB，所以B、O1、P、E四点共线，C、O2、P、F四点共线，∠FO2O1=∠FCB=∠FEB=∠FEO1，故O1、O2、E、F四点共圆。
必要性：设O1、O2、E、F四点共圆，故∠O1O2E+∠EFO1=180°。
由于∠PO2O1=∠PCB=∠ACB−∠ACP，又因为O2是直角△CEP的斜边中点，也就是△CEP的外心，所以∠PO2E=2∠ACP。因为O1是直角△BFP的斜边中点，也就是△BFP的外心，从而∠PFO1=90°−∠BFO1=90°−∠ABP。因为B、C、E、F四点共圆，所以∠AFE=∠ACB，∠PFE=90°−∠ACB。于是，由∠O1O2E+∠EFO1=180°得
(∠ACB−∠ACP)+2∠ACP+(90°−∠ABP)+(90°−∠ACB)=180°，即∠ABP=∠ACP。又因为AB<AC，AD⊥BC，故BD<CD。设B'是点B关于直线AD的对称点，则B'在线段DC上且B'D=BD。连结AB'、PB'。由对称性，有∠AB'P=∠ABP，从而∠AB'P=∠ACP，所以A、P、B'、C四点共圆。由此可知∠PB'B=∠CAP=90°−∠ACB。因为∠PBC=∠PB'B，
故∠PBC+∠ACB=(90°−∠ACB)+∠ACB=90°，故直线BP和AC垂直。由题设P在边BC的高上，所以P是△ABC的垂心。
二、（本题满分50分）如图，在7×8的长方形棋盘的每个小方格的中心点各放一个棋子。如果两个棋子所在的小方格共边或共顶点，那么称这两个棋子相连。现从这56个棋子中取出一些，使得棋盘上剩下的棋子，没有五个在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连。问最少取出多少个棋子才可能满足要求？并说明理由。
解：最少要取出11个棋子，才可能满足要求。其原因如下：
如果一个方格在第i行第j列，则记这个方格为(i，j)。
第一步证明若任取10个棋子，则余下的棋子必有一个五子连珠，即五个棋子在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连。用反证法。假设可取出10个棋子，使余下的棋子没有一个五子连珠。如图1，在每一行的前五格中必须各取出一个棋子，后三列的前五格中也必须各取出一个棋子。这样，10个被取出的棋子不会分布在右下角的阴影部分。同理，由对称性，也不会分布在其他角上的阴影部分。第1、2行必在每行取出一个，且只能分布在(1，4)、(1，5)、(2，4)、(2，5)这些方格。同理(6，4)、(6，5)、(7，4)、(7，5)这些方格上至少要取出2个棋子。在第1、2、3列，每列至少要取出一个棋子，分布在(3，1)、(3，2)、(3，3)、(4，1)、(4，2)、(4，3)、(5，1)、(5，2)、(5，3)所在区域，同理(3，6)、(3，7)、(3，8)、(4，6)、(4，7)、(4，8)、(5，6)、(5，7)、(5，8)所在区域内至少取出3个棋子。这样，在这些区域内至少已取出了10个棋子。因此，在中心阴影区域内不能取出棋子。由于①、②、③、④这4个棋子至多被取出2个，从而，从斜的方向看必有五子连珠了。矛盾。
图1 图2
第二步构造一种取法，共取走11个棋子，余下的棋子没有五子连珠。如图2，只要取出有标号位置的棋子，则余下的棋子不可能五子连珠。
综上所述，最少要取走11个棋子，才可能使得余下的棋子没有五子连珠。
三、（本题满分50分）设集合P={1，2，3，4，5}，对任意k∈P和正整数m，记
f(m，k)=
，其中[a]表示不大于a的最大整数。求证：对任意正整数n，存在k∈P和正整数m，使得f(m，k)=n。
证明：定义集合A={
m∈N*，k∈P}，其中N*为正整数集。由于对任意k、i∈P且k≠i，
是无理数，则对任意的k1、k2∈P和正整数m1、m2，
当且仅当m1=m2，k1=k2。由于A是一个无穷集，现将A中的元素按从小到大的顺序排成一个无穷数列。对于任意的正整数n，设此数列中第n项为。下面确定n与m、k的关系。若
，则
。由m1是正整数可知，对i=1，2，3，4，5，满足这个条件的m1的个数为
。从而n=
=f(m，k)。因此对任意n∈N*，存在m∈N*，k∈P，使得f(m，k)=n。
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