上海交通大学附属中学2007-2008学年度第一学期
高一数学期中试卷
（满分100分，90分钟完成，答案一律写在答题纸上。）
命题：范红凤 审核：杨逸峰
一． 填空题：（本大题共12题，满分36分）
1．已知函数
,则
的解为________。
2．若A=
，B=
，
，则实数
的值是______。
3. 集合A=
，则集合A的真子集的个数为_________。
4．写出一元二次方程
有一个正根和一个负根的一个充分不必
要条件_________。
5．已知函数
定义域
，则
定义域为____________。
6．．已知
，且
则
的最小值为_________。
7．已知集合A=
，集合B=
且
, 则实数 的取值范围是_________。
8．已知三个不等式：
（其中
均为实数）用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是_________。
9. 正方形ABCD的边长是2，动点P从A处出发，沿AB ，BC到
点C处 ,设点P所经过的路程为
，四边形APCD的面积为
，写出关于的函数解析式____________。
10．已知
且
,则
的最大值为__________。
11．已知集合
，集合
，若
，则实数
的取值范围为__________。
12.在实数集R上定义运算
，若
对任意实数都成立，则实数的取值范围是____________。
二、选择题：（本大题共4题，满分16分）
13．设
是两个集合，则
是
的 （ ）
A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
14．已知
为非零实数，且
，则下列命题成立的是 （ ）
A．
B.
C.
D.
15．命题“对任意的
”的否定是 （ ）
A．不存在
B．存在
C．存在
D．对任意的
16． 如果正数
满足
=4，那么 （ ）
A．
且等号成立时的取值唯一
B． 
且等号成立时的取值唯一
C． 且等号成立时的取值不唯一
D． 且等号成立时的取值不唯一
三、解答题：（本大题共5题，满分48分）
17．（本题满分8分）
已知集合A=
（1） 求实数
的值。
（2） 又知函数
，试求
的解集。
18．（本题满分8分）
某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200平方米的十字型地域。计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米4200元，在四个相同的矩形铺花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个空角上铺草坪，造价为每平方米80元。
（1） 
总造价为S元，AD长为 x 米，试建立S关于x 的函数关系式；
（2） 当x 为何值时S最小？并求出这个最小值。
19．（本题满分10分）
记函数
定义域为A，
定义域为B.
（1） 求A，B；
（2）若B
A，求实数的取值范围。
20．（本题满分10分）
先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：
已知
，求证：
证明：构造函数
因为对一切
，恒有
成立，所以
从而证得
（1）若
…，
，
…+
，请写出上述结论的推广形式；
（2）参考上述证法，对你的推广结论加以证明。
21．（本题满分12分）
函数
定义域为D ，若存在
，使得
成立，则称
是的一个不动点。
（1） 已知
有不动点1和3 ，试确定的值。
（2） 若对任意
，总有两相异不动点 ，求实数的取值范围。
上海交通大学附属中学2007--2008学年度第一学期
高一数学期中试卷答案
二．填空题：（本大题共12题，满分36分）
1、-1
2、 -1或2
3、
7
4、
等
5、
6、 16
7、 
8、
3
9、
10、
11、
12、
二、选择题：（本大题共4题，满分16分）
13、A 14、 D 15、 C 16、B
三、解答题：（本大题共5题，满分48分）
17．（本题满分8分）
解： （1）
2分
依题意 
2分
（2）
1）
1分
2）
1分
3）
1分
综上：不等式解集为
1分
18．（本题满分8分）
解：(1)设DQ=y ,因为AD=x, 得
1分
3分
(2)由
得
2分
当且仅当
，即
时，
（元）
2分
19．（本题满分10分）
解：（1）由
即A=
2分
由
1分
1分
函数无意义（舍） 1 分
（2）由
得
1）
2分
2）
2分
综上
1分
20、（本题满分10分 ）
解：
（1）若…， ，…+ ，则
。 4分
（2）证明：构造函数
2分
2分
因为对一切，恒有成立，
所以
从而证得 2分
21．（本题满分12分）
解： （1）依题意 1和3是方程 
的两根，代入得，
解得 
4分
（2）依题意方程 
即 
（
总有两相异实根
则 
即 
对任意恒成立
3分
3分
2分