高二数学（理科）下学期期末考试试卷
注意：选择题答案用2B铅笔涂在答题卡上，填空题、解答题答案写在答题卷上。
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1、已知复数
，则
在复平面上对应的点位于 （ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2、“
”是“
”的（ ）
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
3、在二项式
的展开式中，含
的项的系数是（ ）
. 
. 15 
.
.
4、某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数
，则下列命题不正确的是（ ）
A.该市这次考试的数学平均成绩为80分
B.分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同
C.分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同
D.该市这次考试的数学标准差为10
5、某人的密码箱上的密码是一种五位数字号码，每位上的数字可在0到9这10个数字中选取，该人记得箱子的密码1，3，5位均为0，而忘记了2，4位上的数字，只要随意按下2，4位上的数字，则他按对2，4位上的数的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
6、已知A（－1，0），B（1，0），若点
满足
（ ）
A．6 B．
7、某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“
”到“
”共
个号码．公司规定：凡卡号的后四位带有数字“
”或“
”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
8、如图，在杨辉三角形中，斜线
的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记此数列的前
项之和为
，则
的值为（ ）
A．66 B．153
C．295 D．361
二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在答题卷上）
9、
10、在直角坐标系
中，已知曲线的参数方程是
（
是参数），若以
为极点，
轴的正半轴为极轴，则曲线的极坐标方程可写为________________.
11、已知
，且
，则
的最大值为
12、在约束条件
下，目标函数
的最大值是 .
13、动点P（x, y）满足
，且P点的轨迹是椭圆，则a的取值范围是 ．
14、等差数列有如下性质，若数列
是等差数列，则当
也是等差数列；类比上述性质，相应地
是正项等比数列，当数列
时，数列
也是等比数列。
三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15、（12分）在某年一项关于16艘轮船的研究中，船的吨位区间从192吨到3246吨，船员的数目从5人到32人.船员人数
关于船的吨位的线性回归方程为
(1)假设两艘轮船吨位相差1000吨，则船员平均人数相差多少？
(2)对于最小的船估计的船员数是多少？对于最大的船估计的船员数是多少？（保留整数）
16、（12分）已知
顶点的直角坐标分别为
，
，
．
（1）若
，求
的值；
（2）若
是钝角，求
的取值范围．
17、（14分）求由
与直线
所围成图形的面积.
18、（14分）如图，面积为
的正方形
中有一个不规则的图形
，可按下面方法估计的面积：在正方形中随机投掷个点，若个点中有
个点落入中，则的面积的估计值为
，假设正方形的边长为2，的面积为1，并向正方形中随机投掷个点，以
表示落入中的点的数目．
（I）求的均值
；
（II）求用以上方法估计的面积时，的面积的估计值与实际值之差在区间
内的概率．
附表：
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19、（14分）已知定义在正实数集上的函数
，
，其中
．设两曲线
，
有公共点，且在该点处的切线相同．
（I）用
表示
，并求的最大值；
（II）求证：
（
）．
20、（14分）若对于正整数
、
表示的最大奇数因数，例如
，
，
并且
,设
（Ⅰ）求S1、S2、S3 ；
（Ⅱ）求；
（III）设
，求证数列
的前顶和
．
高二数学（理科）参考答案
一、选择题（每小题5分）：1－4 D A C B 5－8 D B C D
二、填空题（每小题5分）：9、
10、
11、
12、7 13、（5，＋∞） 14、
三、解答题：
15、解：（1）依题意设船员平均人数相差为△y
则有△y＝
1－2＝0.0062×1000＝6.2≈6
（2）根据线性回归方程可得
………………………5分
最小的船的估计船员3＝9.5＋0.0062×192≈11
最大的船的估计船员4＝9.5＋0.0062×3264≈30 ………………………11分
答：当两艘轮船的吨位相差1000吨时，船员平均人数相差6人，最小船的估计船员数是11人，最大船的估计船员人数是30人。 ………………………12分
16、解：（1）
，
，若c=5， 则
，
∴
，∴sin∠A＝
；………………………6分
（2）若∠A为钝角，则
解得
，
∴c的取值范围是
；
………………………12分
17、解：如图，作出曲线，的草图，所求面积为图中阴影部分的面积………3分
由
得交点坐标为
，
（或答横坐标） …………………………5分
方法一：阴影部分的面积
…………8分
…………………12分
…………………………14分
方法二：阴影部分的面积 
……………………………8分
…………………12分
= 9 ………………………………14分
18、解： 每个点落入中的概率均为
． …………………………2分
依题意知
．…………………………4分
（Ⅰ）
．…………………………8分
（Ⅱ）依题意所求概率为
，
．…………………………14分
本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．
19、解：（Ⅰ）设与
在公共点
处的切线相同．
，
， …………………………2分
由题意
，
．
即
由
得：
，或
（舍去）．
即有
．…………………………4分
令
，则
．于是
当
，即
时，
；
当
，即
时，
．
故
在
为增函数，在
为减函数，
于是在
的最大值为
．…………………………7分
（Ⅱ）设
，…………………………8分
则
．…………………………10分
故
在
为减函数，在
为增函数，
于是函数在上的最小值是
．
故当时，有
，即当时，
．……………………14分
20、解：（Ⅰ）
……1分
……2分
……3分
（Ⅱ）
，
……4分
……5分
……6分
……7分
则
……8分
……9分
（Ⅲ）
……10分
……11分
当
时，
成立 ……12分
当
时，
……13分
……14分