专题一、二次函数
[基本知识]
1、 二次函数的图象和性质；
2、 二次函数、二次不等式、二次方程的关系。
[例题]
例1、如果函数
在区间
上有最小值
，那么实数
的值为（）
A、2 B、
C、 D、
例2、已知二次函数
的最大值为3，求的值。
例3、 二次函数
且
时，
当
时，
恒成立；
（1）求
之间的关系；
（2）当
时，是否存在实数
，使得
在区间
上是单调函数？若存在，求出的范围，若不存在，说明理由。
例4、设二次函数
，方程
的两根为
，满足
；
（1）当
时，证明：
（2）设函数
的图象关于直线
对称，证明：
。
[练习]1、二次函数
（I）用定义证明：当
时，在
上是减函数；
（II）当时，在上是否存在一个
使得
；
（III）若
且
上，
恒成立，求
的取值范围。
集合
1、
设全集
，集合
，集合
，则
的真子集共有
个。
2、
已知集合
，则（）
A、
B、
C、
D、
3、
已知全集I=R，集合
，那么（）
A、
B、
C、
D、
4、已知集合
，若
，则实数
（ ） A、
B、
C、
D、
5、
全集为R，
（a为常数），且
则（）
A、
B、
C、
D、
6、
已知集合
，且
，则实数m组成的集合是
7、
设全集
，集合
，那么
等于
8、
设集合
，则集合Q的元素个数为
9、
定义
，若
，则
=
10、某中学高一（1）班有学生50人，参加数学小组的有25人，参加物理小组的有32人，求既参加数学小组，又参加物理小组的人数的最大值与最小值。
专题二：抽象函数
[基本知识]
1、 抽象函数的基本模型。
2、 抽象函数的性质。
3、 抽象函数的求解方法。
[例题]
1、（1）设函数定义在实数集上，函数
与
的图象关于（）
A、直线
对称 B、直线
对称 C、直线
对称D、直线
对称
（2）设是R上的奇函数，则函数
是R上的 函数；
是R上的
函数。
（3）如果奇函数在在区间[3，7]上是增函数，那么在区间[-7，-3]上是（）
A、增函数且最小值为-5 B、增函数且最大值为-5
C、减函数且最小值为-5 D、减函数且最大值为-5
（4）设函数定义域为R且满足：
1）
；2）
；3）
3）
且
；4）
（5）设是R上的奇函数，
，当
时，
，则
等于 （）
A、
B、
C、
D、
2、设函数的定义域为R，并满足条件：存在
，使得
，又对任何
成立，证明：
（1）
； （2）
对任何都成立。
3、已知函数的定义域为
，且对任意
，恒有
；
（1）证明：当
时，
；
（2）若
时，恒有
成立，则必有反函数；
（3）设
是的反函数，则
在其定义域内恒有
成立。
4、设是定义在R上的偶函数，其图象关于直线对称，对任意
，都有
，且
；
（I）求
，
（II）证明是周期函数；
（III）记
，求
。
练习：1、已知是定义在[-1，1]上的奇函数，且
，若
有
；（I）证明是[-1，1]单调函数；（II）解不等式
。
2、定义在上的函数，对任意的都，当且仅当时，成立；
（1） 设
，求证：
； （2）设
，若
比较的大小；
（3）解不等式
专题四：函数
[基本知识]
1、
的性质和图象。
2、性质的应用。
[例题]
例1、（1）设函数
的图象如图所示，则的范围是（）
A、
B、
C、
D、
（2 ）函数
的值域为
例2、
知函数
，
（1）当
时，求函数的最小值；
（2）若对任意
横成立，试求实数的取值范围。
例3、已知函数
（1）解不等式
（2）设
时，的最小值为6，求的值。
例4、设计一幅宣传画，要求画面面积为4840
，画面的宽与高的比为
，画面的上、下各留8
空白，左右各留5空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？如果要求
，那么
为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？
练习：1、设定义域为
的奇函数是增函数，若当
时，
求的取值范围。
2、已知
，函数
；
（1）当
时，若对任意
都有
，证明：
；
（2）当
时，证：对任意
，
的充要条件是
；
（3）当
时，讨论：对任意，的充要条件。
3、已知二次函数：的图象与轴有两个不同的公共点，若
，且
时，；
（1）比较
与的大小； （2）证明：
；
（3）当
时，求证：
4、二次函数
若
的根在
内，
（1）求证：
； （2）
（3）若有一个根为
，且当时，的最大值为M，求证：
。
5、已知
（1）若
，在上的最大值为2，最小值为
，证明：
且
。
（2）若，
是满足
的实数，且对任意的实数均满足
，证明：
。
高考数学填空题怎么填
填空题是数学高考的三种基本题型之一，其求解方法分为：直接运算推理法、赋值计算法、规律发现法、数形互助法等等. 解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求. 下面将按知识分类加以例说.
1. 函数与不等式
例1 已知函数
，则
讲解 由
，得
，应填4.
请思考为什么不必求
呢？
例2 集合
的真子集的个数是
讲解 
，显然集合M中有90个元素，其真子集的个数是
，应填.
快速解答此题需要记住小结论;对于含有n个元素的有限集合,其真子集的个数是
例3 若函数
的图象关于直线对称，则
讲解 由已知抛物线的对称轴为
,得 
，而
，有
，故应填6.
例4 如果函数
，那么
讲解 容易发现
，这就是我们找出的有用的规律，于是
原式＝
，应填
本题是2002年全国高考题，十分有趣的是，2003年上海春考题中也有一道类似题：
设
，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得
2. 三角与复数
例5 已知点P
在第三象限，则角
的终边在第
象限.
讲解 由已知得
从而角的终边在第二象限，故应填二.
例6 不等式
（
）的解集为
.
讲解 注意到
，于是原不等式可变形为
而
，所以
，故应填
例7 如果函数
的图象关于直线
对称，那么
讲解 
，其中
.
是已知函数的对称轴，
，
即 
，
于是 
故应填 
.
在解题的过程中，我们用到如下小结论：
函数
和
的图象关于过最值点且垂直于x轴的直线分别成轴对称图形.
例8 设复数
在复平面上对应向量
，将按顺时针方向旋转
后得到向量
，对应的复数为
，则
讲解 应用复数乘法的几何意义，得
，
于是 
故应填 
例9 设非零复数满足 
，则代数式 
的值是____________.
讲解 将已知方程变形为 
，
解这个一元二次方程，得
显然有
, 而
,于是
原式＝
＝
＝
在上述解法中，“两边同除”的手法达到了集中变量的目的，这是减少变元的一个上策，值得重视.
3. 数列、排列组合与二项式定理
例10 已知
是公差不为零的等差数列，如果
是的前n项和，那么
讲解 特别取
，有
，于是有
故应填2.
例11
数列中，
, 则
讲解 分类求和，得
，故应填
．
例12 有以下四个命题：
①
②
③凸n边形内角和为
④凸n边形对角线的条数是
其中满足“假设
时命题成立，则当n=k+1时命题也成立’’.但不满足“当
（
是题中给定的n的初始值）时命题成立”的命题序号是 .
讲解 ①当n=3时，
，不等式成立；
② 当n=1时，
，但假设n=k时等式成立，则
；
③ 
，但假设
成立，则
④ 
，假设
成立，则
故应填②③.
例13 某商场开展促销活动，设计一种对奖券，号码从000000到999999. 若号码的奇位数字是不同的奇数，偶位数字均为偶数时，为中奖号码，则中奖面（即中奖号码占全部号码的百分比）为 .
讲解 中奖号码的排列方法是： 奇位数字上排不同的奇数有
种方法，偶位数字上排偶数的方法有
，从而中奖号码共有
种，于是中奖面为
故应填
例14 
的展开式中
的系数是
讲解 由
知，所求系数应为
的x项的系数与项的系数的和，即有
故应填1008.
4. 立体几何
例15 过长方体一个顶点的三条棱长为3、4、5, 且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的表面积是________.
讲解 长方体的对角线就是外接球的直径
, 即有
从而 
，故应填
例16 若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积是 （只需写出一个可能的值）．
讲解 本题是一道很好的开放题，解题的开窍点是：每个面的三条棱是怎样构造的，依据“三角形中两边之和大于第三边”，就可否定｛1，1，2｝，从而得出｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝三种形态，再由这三类面构造满足题设条件的四面体，最后计算出这三个四面体的体积分别为：
,
,
，故应填.、 、 中的一个即可.
例17 如右图，E、F分别是正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是 .（要求：把可能的图的序号都填上）
讲解 因为正方体是对称的几何体，所以四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可分为：上下、左右、前后三个方向的射影，也就是在面ABCD、面ABB1A1、面ADD1A1上的射影.
四边形BFD1E在面ABCD和面ABB1A1上的射影相同，如图2所示；
四边形BFD1E在该正方体对角面的ABC1D1内，它在面ADD1A1上的射影显然是一条线段，如图3所示. 故应填23.
4. 解析几何
例18
直线
被抛物线
截得线段的中点坐标是___________.
讲解 由
消去y，化简得
设此方程二根为
，所截线段的中点坐标为
，则
故 应填
.
例19 椭圆
上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，则当m取最大值时，点P的坐标是_____________________.
讲解 记椭圆的二焦点为
，有
则知
显然当
，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25.
故应填
或
例20 一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的函数解析式是
，在杯内放一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的取值范围是___________.
讲解 依抛物线的对称性可知，大圆的圆心在y轴上，并且圆与抛物线切于抛物线的顶点，从而可设大圆的方程为 
由
消去x，得 
（*）
解出 或
要使（*）式有且只有一个实数根，只要且只需要
即
再结合半径
，故应填
填空题的类型一般可分为：完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题. 这说明了填空题是数学高考命题改革的试验田，创新型的填空题将会不断出现. 因此，我们在备考时，既要把关注这一新动向，又要做好应试的技能准备.
高考数学选择题怎么选
解答高考数学选择题既要求准确破解，又要快速选择，正如《考试说明》中明确指出的，应“多一点想的，少一点算的”，该算不算，巧判关. 因而，在解答时应该突出一个＂选＂字，尽量减少书写解题过程，在对照选支的同时，多方考虑间接解法，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择巧法，以便快速智取. 下面按知识版块加以例说.
1. 函数与不等式
例1
已知
则
的值等于( ).
A. 0
B. 
C. 
D. 9
讲解 由
,可知选C.
例2 函数
是单调函数的充要条件是( ).
A.
B.
C. D. 
讲解 抛物线
的开口向上,其对称轴为
，于是有
是递增区间，从而
即
应选A.
例3 不等式
的解集是（ ）.
A. 
B. 
C. 
D. 
讲解 当与
异号时，有
, 则必有
，从而
，解出
，故应选A.
例4
关于函数
，有下面四个结论：
（1）
是奇函数；
（2）当
时，
恒成立；
（3）
的最大值是
;
(4) 的最小值是
.
其中正确结论的个数是（ ）.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
讲解 由是偶函数，可知（1）错；
又当
时，
，所以错（2）;
当
，故（3）错；
从而对照选支应选A.
2. 三角与复数
例5 如果函数y = sin2x + a cos2x的图象关于ｘ＝
对称，则ａ＝（ ）.
A.
B.－
C. 1
D. －1
讲解 因为点（0，0）与点（
，0）关于直线ｘ＝对称，所以ａ必满足：
sin0 + a cos0=sin（
）+ a cos（），
解出ａ＝－1，从而可以排除A， B， C.，故应选D.
例6 在
内，使
成立的的取值范围是（ ）．
A. 
B. 
C. 
D. 
讲解 将原不等式转化为
由
，知
，从而
，故应选C.
事实上，由
显然满足，从而否定A, B, D, 故应选C.
亦可在同一坐标系中，作出函数
和
在
上的图象，进行直观求解．
例7 复数
在复平面上对应的点不可能位于（ ）．
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
讲解 
由
无解，可知应选A.
亦可取特值进行排除．事实上
记复数
对应的点为P．若取
，点P在第二象限；若取
，则点P在第三象限; 若取
，则点P在第四象限，故应选A.
例8 把曲线
先沿轴向右平移
个单位，再沿
轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（ ）．
A. 
B. 
C. 
D. 
讲解 对作变换
得
即 ．
故应选C.
记住一些运动变换的小结论是有效的．本题是函数
向方程式的变式，较为新颖．
3. 数列与排列组合
例9
由
给出的数列的第34项是( ).
A. 
B. 100
C. 
D. 
讲解 对已知递推式两边取倒数, 得
即 
.
这说明数列
是以
为首项, 3为公差的等差数列, 从而有
即 
故应选B.
构造等差数列、等比数列是解决数列考题的常用方法, 值得我们重视.
例10 一种细胞，每三分钟分裂一次（一个分裂为两个），把一个这种细胞放入一个容器内，恰好一小时充满；如果开始时把两个这种细胞放入该容器内，那么细胞充满容器的时间为（ ）.
A. 57分钟 B. 30分钟 C. 27分钟 D.45分钟
讲解 设容器内细胞共分裂n次，则
，即
从而共花去时间为
分钟，故应选A.
例11 从正方形的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（ ）.
A. 8种 B. 12种 C. 16种 D. 20种
讲解 采用补集思想求解. 从6个面中任取3个面的取法共有
种方法，其中三个面交于一点共有8种可能，从而满足题意的取法共有
种，故应选B.
请读者思考：关系式：
的含义是什么？
4. 立体几何
例12 如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的
正方形，EF∥AB，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为（ ）
A.
B.5
C.6
D.
讲解 本题的图形是非常规的多面体，需要对其进行必要的分割.
连EB、EC，得四棱锥E―ABCD和三棱锥E―BCF，这当中，四棱锥E―ABCD的体积易求得
, 又因为一个几何体的体积应大于它的部分体积，所以不必计算三棱锥E―BCF的体积，就可排除A， B.，C.，故应选D.
“体积变换”是解答立体几何题的常用方法，请予以关注.
例13 关于直线
以及平面
，下面命题中正确的是（ ）.
A. 若
则
B. 若
则
C. 若
且
则
D. 若
则
讲解 对于选支D, 过作平面P交平面N于直线
，则
，而
从而
又
故
应选D.
请读者举反例说明命题A, B, C, 均为假命题.
5. 解析几何
例14 过抛物线ｙ＝ｘ2（ａ> 0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段FP与FQ的长分别是ｐ、ｑ，则
＝（ ）.
A. 2ａ B. 
C. 4ａ D. 
讲解 由题意知，对任意的过抛物线焦点F的直线，的值都是的表示式，因而取抛物线的通径进行求解，则ｐ＝ｑ＝，所以=，故应选D.
例15 点P到曲线
（其中参数
）上的点的最短距离是（ ）.
A. 0
B. 1
C. D. 2
讲解 由两点间的距离公式，得点P到曲线上的点Q
的距离为
当
时，
故应选B.
将曲线方程转化为，显然点P是抛物线的焦点，由定义可知：抛物线上距离焦点最近的点为抛物线的顶点，故应选B.
例16 已知椭圆
=1(a＞b＞0)，双曲线
=1和抛物线y2=2px(p＞0 )的离心率分别为e1、e2、e3，则( ).
A.e1e2＞e3 B.e1e2＝e3
C.e1e2＜e3 D.e1e2≥e3
讲解 
故应选C.
例17 平行移动抛物线
，使其顶点的横坐标非负，并使其顶点到点
的距离比到y轴的距离多
，这样得到的所有抛物线所经过的区域是
A. xOy平面 B. 
C. 
D. 
讲解 我们先求出到点
的距离比到y轴的距离多的点的轨迹.
设P（x,y）是合条件的点，则
，
两边平方并整理得
再设平移后抛物线的顶点为
，于是平移后抛物线的方程为
按a整理得 
.
，化简得.故应选B.
6. 综合性性问题
例18 某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( )
A.5种 B.6种 C.7种 D.8种
讲解 设购买单片软件片, 磁盘盒, 由题意得
经检验可知,该不等式组的正整数解为:
当
时,
当
时,
当
时,
总共有7组, 故应选C.
例19 银行计划将某资金给项目M和N投资一年，其中40%的资金给项目M，60%的资金给项目N，项目M能获得10%的年利润，项目N能获得35%的年利润，年终银行必须回笼资金，同时按一定的回扣率支付给储户. 为了使银行年利润不小于给M、N总投资的10%而不大于总投资的15%，则给储户回扣率最小值为（ ）
A．5% B．10% C．15% D．20%
讲解 设共有资金为, 储户回扣率, 由题意得解出
解出 
，故应选B.
例20 某电视台的颁奖礼盒用如下方法做成：先将一个奖品放入一个正方体内，再将正方体放在一个球内，使正方体内接于球；然后再将该球放入一个正方体内，球内切于该正方体，再将正方体放入一个球内，正方体内接于球，……如此下去，正方体与球交替出现. 如果正方体与球共有13个，最大正方体的棱长为162cm. 奖品为羽毛球拍、蓝球、乒乓球拍、手表、项链之一，则奖品只能是（构成礼品盒材料的厚度忽略不计）（ ）.
A . 项链 B. 项链或手表
C. 项链或手表，或乒乓球拍 D. 项链或手表，或乒乓球拍，或蓝球
讲解 因正方体的中心与外接球的中心相同，设正方体的棱长为a，外接球的半径为R，则有
即
半径为R的球的外切正方体的棱长
，
相邻两个正方体的棱长之比为 
因为有7个正方体，设最小正方体的棱长为t，则
得
.
故礼品为手表或项链. 故应选B.
高考中的数学选择题一般是容易题或中档题，个别题属于较难题，当中的大多数题的解答可用特殊的方法快速选择. 例如：估值选择法、特值检验法、顺推破解法、数形结合法、特征分析法、逆推验证法、提炼公式法等都是常用的解法. 解题时还应特别注意：数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，因而在求解时对照选支就显得非常重要，它是快速选择、正确作答的基本前提.