高二数学第二学期期末考试模拟卷
数学试题
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，计40分)
1．设
，则S等于
（ A ）
A．x4 B．x4+1 C．(x-2)4 D．x4+4
2．从1,2,…,9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是 （ C ）
A．
B．
C．
D．
3．已知自由落体运动的速率
，则落体运动从
到
所走的路程为（ C ）
A．
B．
C．
D．
4．若
展开式中含有常数项，则n的最小值是 （ A
）
A．4 B．3 C．12 D．10
5．设随机变量
，记
，则
等于 ( A )
A．
B．
C．
D．
6．如果复数
那么实数a的取值范围是（ D ）
A．
B．
C．
D．
7．已知复数 
都是实数，且
），在复平面内，Z1、Z2所对应的点与原点组成的三角形是 （ C ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
8．在下列四个命题中：①已知A、B、C、D是空间的任意四点，则
；
②若{
}为空间的一组基底，则{
}也构成空间的一组基底；
③
；④对于空间的任意一点O和不共线的三点A、B、C，若
（其中
），则P、A、B、C四点共面．
其中正确的个数是 （ B ）
A．3 B．2 C．1 D．0
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，计30分)
9．若以连续投掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标，则点P落在直线x+y=5下方的概率是
10．已知△ABC，A(1,1)，B(2,3)，C(3,－1)，在矩阵
作用所得到的图形围成的面积是___________.
11．设
，则集合
中元素的个数是 3 .
12．曲线
，所围成的图形的面积可用定积分表示为
．
13．已知
，
，则满足方程
的二阶方阵
=
14．如图，已知命题：若矩形ABCD的对角线BD与边AB和BC所成角分别为
，则
若把它推广到长方体ABCD—A1B
若长方体ABCD-A1B
，则
。.
三、解答题(共90分)
15．设虚数z1,z2，满足
.
（1）若z1,z2又是一个实系数一元二次方程的两根，求z1, z2．
（2）若z1=1+mi(i为虚数单位，m∈R), 
,复数w=z2+3,求w的取值范围．
解：(1)∵z1, z2是一个实系数一元二次方程的两个虚根，因此必共轭，
可设z1=a+bi(a,b∈R且b≠0),则z2=a－bi,
由 得(a+bi)2=a－bi 即：
a2－b2+2abi=a－bi
根据复数相等，
∵b≠0 解得：
或 
，
∴ 
或 
．
(2)由于 
，z1=1+mi, w=z2+3, ∴w=(1+mi)2+3=4－m2+2mi.
∴ 
,
由于
且m≠0, 可解得0<m2≤1, 令m2=u, 
,
在u∈(0,1)上，(u－2)2+12是减函数，∴
.
16．函数数列
满足：
，
(1)求
；
(2)猜想
的表达式，并证明你的结论。
解：⑴
…………
…………
⑵猜想：
……………………
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，
，已知，显然成立………………
②假设当
时 ，猜想成立，即
则当
时，
……
即对时，猜想也成立。
结合①②可知：猜想
对一切
都成立。………………
17．设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入5个盒子内.
（1）只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？
（2）没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？
（3）每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？
解：（1）C52A54=1200（种） ……4分
（2）A55-1=119（种） ……8分
（3）满足的情形：第一类，五个球的编号与盒子编号全同的放法：1种
第二类，四个球的编号与盒子编号相同的放法：0种
第三类，三个球的编号与盒子编号相同的放法：10种
第四类，二个球的编号与盒子编号相同的放法：2C52=20种
∴ 满足条件的放法数为：
1+10+20=31（种） ……14分
18．如图，正方体ABCD－A1B
（Ⅰ）试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F；
（Ⅱ）当D1E⊥平面AB
解：（1）以A为原点，直线AB、AD、AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
不妨设正方体的棱长为1，且
，则
于是
由
于是
，可解得
所以当点F是CD的中点时，
（2）当时，F是CD的中点，
平面AEF的一个法向量为
而在平面C1EF中，
所以平面C1EF的一个法向量为
，
又因为当把
,
都移向这个二面角内一点时，背向平面AEF，而指向平面C1EF
故二面角C1―EF―A的大小为
又
, 
, 所以
BA1与平面C1EF所成的角的大小为
．
19．在一个盒子中，放有标号分别为
，
，
的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为
、
，记
．
（Ⅰ）求随机变量
的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；
（Ⅱ）求随机变量的分布列和数学期望．
解：（Ⅰ）
、可能的取值为、、，
，
， 
，且当
或
时，
因此，随机变量的最大值为． 
有放回抽两张卡片的所有情况有
种，
．
答：随机变量的最大值为3，事件“取得最大值”的概率为
．
（Ⅱ）的所有取值为
．
时，只有
这一种情况，
时，有
或
或
或
四种情况，
时，有
或
两种情况．
，
，
．
则随机变量的分布列为：
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
因此，数学期望
．
20．当兔子和狐狸处于同一栖息地时，忽略其他因素，只考虑兔子数量和狐狸数量的相互影响，为了简便起见，不妨做如下假设：
（1）由于自然繁殖，兔子数每年增长10%，狐狸数每年减少15%；
（2）由于狐狸吃兔子，兔子数每年减少狐狸数的0.15倍，狐狸数每年增加兔子数的0.1倍；
（3）第n年时，兔子数量
用表示，狐狸数量用
表示；
（4）初始时刻（即第0年），兔子数量有
只，狐狸数量有
只。
请用所学知识解决如下问题：
（1）列出兔子与狐狸的生态模型； （2）求出、关于n的关系式；
（3）讨论当n越来越大时，兔子与狐狸的数量是否能达到一个稳定的平衡状态，说明你的理由。
解：⑴
……………………
⑵设
，
∴
=……=
又矩阵M的特征多项式
=
令
得：
特征值
对应的一个特征向量为
特征值
对应的一个特征向量为
……………………
且
∴
=
∴
………………………………
⑶当n越来越大时，
越来越接近于0，
,分别趋向于常量210,140。即随着时间的增加，兔子与狐狸的数量逐渐增加，当时间充分长后，兔子与狐狸的数量达到一个稳定的平衡状态。……