直线与平面垂直的判定和性质（二）
1．空间四边形ABCD的四条边相等，那么它的两条对角线AC和BD的关系是（ ）．
A．相交且垂直 B．相交但不垂直
C．不相交也不垂直 D．不相交但垂直
2．已知a、b是异面直线，那么经过b的所在平面中（ ）．
A．只有一个平面与a平行 B．有无数个平面与a平行
C．只有一个平面与a垂直 D．有无数个平面与a垂直
3．若直线l与平面a 所成角为
，直线a在平面a 内，且与直线l异面，则直线l与直线a所成的角的取值范围是（ ）．
A．
B．
C．
D．
4．直线a、b均在平面a 外，若a、b在平面a 上的射影是两条相交直线，则a和b的位置关系是（ ）．
A．异面直线 B．相交直线 C．平行直线 D．相交或异面直线
5．ABCD是平面a 内的一个四边形，P是平面a 外的一点，则△PAB、△PBC、△PCD、△PDA中是直角三角形的最多有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．已知直线PG⊥平面a 于G，直线EF
a ，且PF⊥EF于F，那么线段PE、PF、PG的关系是（ ）．
A．PE＞PG＞PF B．PG＞PF＞PE
C．PE＞PF＞PG D．PF＞PE＞PG
7．直线l是平面a 的斜线，l在a 内的射影为
．若直线m⊥l，
，则直线m和平面a 的位置关系是（ ）．
A．ma B．m
a C．m∥a D．m∥a，或ma
8．下列命题中正确的是（ ）．
A．若a是平面a 的斜线，直线b垂直于a在平面a 内的射影为
，则a⊥b
B．若a是平面a 的斜线，平面b 内的直线b垂直于a在平面a 内的射影为，则a ⊥b
C．若a是平面a 的斜线，直线b平行于平面a ，且b垂直于a在平面a 内的射影，则a⊥b
D．若a是平面a 的斜线，b是平面a 内的直线，且b垂直于a在另一个平面b 内的射影，则a⊥b
9．如图9-28，已知PE垂直于⊙O所在平面，EF是⊙O的直径，点G为圆周上异于E、F的一点，则下列结论中，不正确的是（ ）．
A．FG⊥平面PEG
B．PG⊥FG
C．PF与平面PEG所成角为∠FPG
D．EG⊥PF
图9-28
10．设正方体
的棱长为1，则
（1）A到
的距离等于________；
（2）A到
的距离等于________；
（3）A到平面
的距离等于________；
（4）AB到平面的距离等于________．
11．已知正方体．则
（1）
与平面ABCD所成的角等于________；
（2）
与平面ABCD所成的角的正切值等于________；
（3）与平面
所成的角等于________ ；
（4）
与平面所成的角等于________；
（5）与平面
所成的角等于________.
12．如图9-29，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点．求证：MN⊥AB．
图9-29
13．如图9-30，直线a、b是异面直线，它们所成角为30°，
为a、b的公垂线段，
．另有B在直线a上，且BA=2cm，求点B到直线b的距离．
图9-30
14．如图9-31，SA、SB、SC三条直线两两垂直，点H是S在平面ABC上的射影，求证：H是△ABC的垂心．
图9-31
15．如图9-32，△ABD和△ACD都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD=BD=CD，∠BAC=60°．求证：
图9-32
（1）BD⊥平面ADC；
（2）若H是△ABC的垂心，则H为D在平面ABC内的射影．
16．PA、PB、PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角为60°，求直线PC与平面PAB所成的角的余弦值．
参考答案
1．D．取BD中点O，则BD⊥AO，BD⊥CO，故BD⊥平面ACO，因此BD⊥AC．
2．A．过b上任一点P作直线
，由和b确定的平面a 与a平行，这个平面是过b且平行于a的唯一一个平面．故排除B．当a与b不垂直时，假设存在平面b ，使bb ，且a⊥b ，则a⊥b，这与a、b不垂直矛盾，所以当a、b不垂直时，不存在经过b且与a垂直的平面，当a、b垂直时，过b且与a垂直的平面是唯一的，设a、b的公垂线为c，则由c和b所确定的平面与a垂直，且唯一．
3．C．因为直线l是平面的斜线，斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角，故a与l所成的角大于或等于；又因为异面直线所成的角不大于
，故选C．
4．D．
5．D．作矩形ABCD，PA⊥平面AC，则所有的三角形都是直角三角形．
6．C．如图答9-17．PG⊥a ，EFa ，PF⊥EF，则GF⊥EF．在Rt△PGF中，PF为斜边，PG为直角边，PF＞PG．在Rt△PFE中，PF为直角边，PE为斜边，PE＞PF，所以有PE＞PF＞PG．
图答9-17
7．D．
8．C．如图答9-18，直线b垂直于a在平面a 内的射影，但不能得出a⊥b的结论．排除A．令b 是直线a与其在a 内的射影确定的平面，在b 内取垂直于的直线为b，不能得出a⊥b的结论．排除B．同理排除D．如图答9-19，在a 内任取点P，∵
，则过b与P确定平面g ，设
，因为b∥a ，则
．∵ 
，∴ 
．∴ 
，∴ b⊥a．于是C正确．
图答9-18 图答9-19
9．D．G是⊙O圆周上一点，则FG⊥EG．∵ PE⊥平面EFG，∴ PE⊥FG．
假设EG⊥PF，又∵ EG⊥FG，∴ FG⊥平面PFG．∴ EG⊥PG．∵ PE⊥EG，P、E、G共面，∴ PE∥PG．这与PE，PG交于一点P矛盾，∴ “EG⊥PF”不成立．
10．（1）连接
，AC，则
，取的中点E，连结AE，则
．
∴ AE为点A到直线的距离，在Rt△ACE中，
，
，
∴ 
，∴ 
．即A到
、C的距离等于
．
（2）连结．∵ AB⊥平面
，∴ 
．在Rt△
中，AB=1，
，
，设A到的距离为h，则
．即
，∴ 
，即点A到的距离为
．
（3）连结交
于F，则
．∵ CD⊥平面
，且AF平面，∴ CD⊥AF．∵
CD∩AD=D，∴ AF⊥平面．∴ AF为点A到平面的距离．∵ ，∴ 
．
（4）∵
AB∥CD，∴
AB∥平面，∴ AB到平面的距离等于A点到平面的距离，等于
．
11．（1）∵ 
⊥平面ABCD，∴
为与平面ABCD所成的角，
=45°．
（2）∵
⊥平面ABCD，∴
为与平面ABCD所成的角．设
，则，∴ 
（3）∵
平面，
，∴ ∥平面，∴ 与平面所成的角为0°．
（4）∵
⊥平面，∴ 与平面所成的角为90°．
（5）连结AC，交AD于H．连结
，∵ 
⊥平面ABCD，CH平面ABCD，
∴ 
，又∵ CH⊥BD，∴
CH⊥平面．∴ 为在平面内的射影．∴ 
为与平面所成的角．设正方体棱长为1，则
，
，∴ 
，即与平面所成的角为30°．
12．连结AC，取AC中点O，连结OM，ON．由OM∥BC，得OM⊥AB．又NO∥PA，且PA⊥AB，故NO⊥AB．由此可得AB⊥平面OMN．因此MN⊥AB．
13．如图答9-20，过
作，则与b确定平面a ．作
于C，在平面a 内作CD⊥b于D，连结BD．∵
∴ 
． ∵ 
，
，∴ 
．∵ 
，∴ BC⊥a ．∵ CD⊥b，∴
BD⊥b（三垂线定理），即BD为B点到b的距离．∵ 
，∴ 
为异面直线a与b所成的角，∴ 
．∵ 
，
，∴ CD=1．在Rt△BCD中，
，CD=1，∠BCD=90°，∴ 
，∴ 
．
图答9-20
14．∵ SC⊥SA，SC⊥SB，且SA∩SB=S，∴ SC⊥平面SAB，∴ AB⊥SC．∵ H是S在平面ABC上的射影，∴ SH⊥平面ABC．连结CH，CH为SC在平面ABC上的射影，∵ AB⊥SC，由三垂线定理的逆定理可知CH⊥AB，即CH为AB的垂线．同理AH⊥BC，即AH为BC边的垂线．H为△ABC两条垂线的交点，∴ H为△ABC垂心．
15．（1）设AD=BD=CD=a，则
．∵ ∠BAC=60°，∴
．由勾股定理可知，∠BDC=90°．即BD⊥DC，又∵
BD⊥AD，AD∩DC=D，∴
BD⊥平面ADC．
（2）如图答9-21，要证H是D在平面ABC上的射影，只需证DH⊥平面ABD．连结HA、HB、HC．∵ H是△ABC的垂心，∴
CH⊥AB．∵
CD⊥DA，CD⊥BD，∴
CD⊥平面ABD，∴
CD⊥AB．∵
CH∩CD=C，∴ AB⊥平面DCH．
∵ DH平面DCH，∴ AB⊥DH，即DH⊥AB，同理DH⊥BC．∵
AB∩BC=B，∴ DH⊥平面ABC．
图答9-21
16．如图答9-22，在PC上任取一点D，作DH⊥平面PAB于H，则∠DPH为PC与平面PAB所成的角．作HE⊥PA于E，HF⊥PB于F，连结PH，DE，DF．∵
EH、FH分别为DE、DF在平面PAB内的射影，由三垂线定理可得DE⊥PA．DF⊥PB．∵
∠DPE=∠DPF，∴ △DPE≌△DPF．∴ PE=PF．∴
Rt△HPE≌Rt△HPF，∴
HE=HF，∴ PH是∠APB的平分线．设EH=a，则PH=2EH=2a，
．在Rt△PDE中，∠DPE=60°，DE⊥PA，∴
．在Rt△DPH中，DH⊥HP，PH=2a，
，∴ 
图答9-22