开远一中高二数学测验解答

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D

C

B

C

D

A

B

A

C

D

C

D

13题  0　　　　　　　　  　　　　　　　　　14题　　 　　　　　　　　　 

15题　　，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

16题　　　。

 17、（12分）

证明：连结BD，在中，

E，F分别是AB，AD的中点

//BD。

又EF

平面BCD，

EF//平面BCD

 18（12分）

证明：

而

即

19（12分）

证明：设

则

故EF，GH，KL共面。

21、（12分）

证明：以D为坐标原点，DC为X轴的

正半轴，DA的反向延长线为Y轴的

正半轴，为Z轴的正半轴，建立　　　　　　　　　　　　　　　　　

如图所示的空间直角坐标系。

设正方体的边长为2a，则

D（0，0，0），A（0，2a，0）

F（a，0，0）

，E（2a，-2a，a）

（1）

　　即

（2）由

 即

（3）由（1），（2）知

（1）长方体A—C₁中，A₁D₁⊥面ABB₁A₁，∴A₁D₁⊥AE.　又AB=1，BB₁=2，E为BB₁中点，

∴△ABE为等腰直角三角形，AE=，同理A₁E=，

∴∠AEA₁=90°，即AE⊥A₁E，　 ∴AE⊥平面A₁D₁E.

（2）取AA₁中点O，连OE，则OE⊥AA₁，OE⊥A₁D₁，

于是OE⊥平面ADD₁A₁.过O作OF⊥AD₁于F，连EF，

则AD₁⊥EF. ∴∠EFO为二面角E—AD₁—A₁的平面角.

△AOF中，OF=OA·sin∠OAF=OA·.

.

故二面角E—AD₁—A₁的正切值是.

（3）∵AB//C₁D₁，∴AB//平面C₁D₁E. ∴A点到平面C₁D₁E的距离等于B点到平面C₁D₁E的距离.

　　而A₁—C是长方体，则平面C₁D₁E⊥平面BC₁. 延长C₁E与CB的延长线交于N，则平面C₁D₁E与平面BC₁的交线为C₁N. 过B在平面C₁NC内作BM⊥C₁N，垂直足为M，则BM的长就是B点到平面C₁D₁E的距离.依题意，得

故A点到平面C₁D₁E的距离为，