高二下 9．2 空间直线同步练习
基础练习
1．在正方体ABCD—
中，共有12条棱，指出符合条件的棱所在的直线：
（1）与直线AB平行的直线有_________；
（2）与直线AB相交的直线有_________；
（3）与直线AB异面的直线有____________________________________；
2．填空：正方体ABCD—各棱长为a，
（1）AC与
的位置关系是_________，AC与
的位置关系是_________，AC与
的位置关系是_________；
（2） 
与
的位置关系是_________________，
与
的大小关系是_________，△
与△
的关系是_________；
图9－9
（3）AB与所成的角是_________度，AB与所成的角是_________度，与CD所成的角是_________度．
3．指出图9－10中直线a、b的位置关系，其中：（2）中a∥l，且b∥l；（4）中a∥l；（5）中M∈a，N∈b，M∈b，N∈b．
（1） （2） （3）
（4） （5）
图9－10
4．判断下列命题是否正确，并说明理由．
（1）空间两条直线可以确定一个平面；
（2）垂直于两条异面直线的直线有且只有一条；
（3）垂直于同一条直线的两条直线平行；
（4）直线a与b平行，b与c平行，则a与c平行；
（5）直线a与b相交，b与c相交，则a与c相交；
（6）直线a与b异面，b与c异面，则a与c异面；
（7）一条直线与两条平行线中的一条垂直，必和另一条也垂直．
5．a、b、l是三条直线，a、b是两个平面，且a∩b ＝l，a
a，bb，则a与b的位置关系是_________．
6．直线a和b是平行直线，点A、C在直线a上，点B、D在直线b上，那么直线AB与CD的位置关系是什么?若直线a和b是异面直线呢?
7．在正方体ABCD—中，六个面内与BD所成的角为60°的对角线共有多少条?
8．A、B、C、D是不在同一个平面内的四点．E是线段AD上一点．证明直线CE和BD是异面直线．
9．已知ABCD－为正方体，棱长为a．
（1）求异面直线
与
之间的距离；
（2）若E、F分别为棱
、AB的中点，求异面直线EF与
之间的距离．
综合练习
1．关于直线a、b有以下三个结论：
甲：a、b相交；乙：a、b平行；丙：a、b不是异面直线．
那么，下列命题中正确的是（ ）．
A．甲和乙均是丙的充分非必要条件
B．甲和乙均是丙的必要非充分条件
C．甲是丙的充分非必要条件，且乙是丙的必要非充分条件
D．甲是丙的必要非充分条件，且乙是丙的充分非必要条件
2．给出以下四个命题：
①若两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行
②若两条直线和第三条直线都垂直，则这两条直线平行
③若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线平行
④若两条直线分别在两个相交平面内，则这两条直线不可能平行
其中错误命题的个数是（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．在正方体ABCD—中，与对角线
异面的棱有（ ）．
A．3条 B．4条 C．6条 D．8条
4．三条直线共面的条件可以是（ ）．
A．这三条直线两两平行B．这三条直线交于一点
C．这三条直线中的一条与另外两条都相交
D．这三条直线两两相交，但不交于一点
5．已知m、n为异面直线，m平面a，n平面b，a∩b＝l，则l（ ）．
A．与m、n都相交 B．与m、n中至少一条相交
C．与m、n都不相交 D．至多与m、n中的一条相交
6．如图9－11，在正方体ABCD—中，E、F分别是棱、的中点，求证：EF∥BD，且
．
图9－11
7．如图9－12，O是平面ABC外一点，
、
、
分别在线段OA、OB、OC上，且满足
，
．求证：△ABC∽△
．
图9－12
8．如图9－13，P是平面ABC外一点，PA＝4，
，D、E分别为PC和AB的中点，且DE＝3．求异面直线PA和BC所成角的大小．
图9－13
9．如图9－14，A是平面BCD外一点，且AB＝AC＝DB＝DC，M、N分别是BC、AD的中点．求证：MN是异面直线AD与BC的公垂线．
图9－14
10．如图9－15，已知A是平面BCD外一点，满足AC＝BD，M、N、P、Q分别是BC、CD、DA、AB的中点．求证：QN⊥PM．
图9－15
11．如图9－16，在棱长为a的正方体ABCD—中，求异面直线AC和的距离．
图9－16
12．在长方体ABCD－中，AB＝2，
，M、N分别是AD、DC的中点．
（1）证明
∥；
（2）求异面直线MN与所成角的余弦值．
拓展练习
1．在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，得到四边形EFGH．
（1）四边形EFGH是______________；
（2）当对角线AC＝BD时，四边形EFGH是______________；
（3）当对角线满足条件______________时，四边形EFGH是矩形；
（4）当对角线AC、BD满足条件_______时，四边形EFGH是正方形．
2．借助两支铅笔，试研究以下问题：
（1）在平面内，过直线外一点有多少条直线与已知直线平行?在空间呢?
图9－17
（2）在一个平面内，过一点有多少条直线与已知直线垂直?在空间呢?
（3）在一个平面内，与该平面内的已知直线所成角为60°的直线有多少条?这些直线与已知直线的位置关系如何?在空间，与一条直线所成角为60°的直线有多少条?这些直线与已知直线的位置关系如何?
3．如图9－18，已知P为△ABC所在平面外一点，PC⊥AB，PC＝AB＝2，E、F分别为PA和BC的中点．
（1）求证：EF与PC是异面直线；
（2）EF与PC所成的角；
（3）线段EF的长．
图9－18
4．如图9－19，在棱长为a的正方体ABCD—
中，O是AC、BD的交点，E、F分别是AB与AD的中点．
图9－19
（1）求异面直线
与所成角的大小；
（2）求异面直线EF与所成角的大小；
（3）求异面直线EF与所成角的正切值；
（4）求异面直线EF与的距离．
5．在空间中，
①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线．
②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．
以上两个命题中，逆命题为真命题的是__________．
（把符合要求的命题序号都填上）
参考答案
基础练习
1．（1）AB∥DC∥∥；（2）AD、
、
、BC；
（3）
、
、、
．
2．（1）平行，异面，异面；（2）平行，相等，全等；（3）90，45，90．
3．（1）
＝P；（2）a∥b（公理4）；
（3）a与b是异面直线；（4）a与b是异面直线；（5）a与b是异面直线．
4．（1）不正确．两条异面直线不能确定一个平面．
（2）不正确．垂直于两条异面直线的直线有无数多条，但公垂线——与两条异面直线垂直相交的直线有且只有一条．
（3）不正确．垂直于同一直线的两条直线可能平行、相交或异面．
（4）正确．由公理4可知．
（5）不正确．a、c可能平行，还可能异面．
（6）不正确．a、c可能异面，但也可能平行或相交．
（7）正确．因为直线与两条平行线所成的角相等．
5．平行、相交或异面（参看图答9－10）
6．若a∥b，则a，b共面于a，A、B、C、D均在a内，故AB与CD共面于a，则AB与CD的位置关系可能是平行或相交．若a、b是异面直线，则AB与CD必是异面直线．假设AB与CD共面于b，则AC与BD，即a、b共面．这与已知矛盾．
7．参看图答9－10，与BD相交所成角为60°的面对角线、
，
，
四条；与BD异面所成角为60°的面对角线有
、
、、
四条，故一共8条．
图答9－10
8．设CE、BD不是异面直线，那么CE、BD在同一个平面（设为a）内．由E、D在平面a 内，则直线ED在平面a内，直线ED上的点A也在平面a内，即A、B、C、D都在平面a内，这与A、B、C、D不在同一平面内是相矛盾的，因此CE、BD是异面直线．
9．（1）a（公垂线段为）；
（2）
（公垂线段为
）．
综合练习
1．A
2．C．根据公理4，知③正确，利用正方体判断其余命题均不正确．由与AB所成角90°，BC与AB所成的角90°，但与BC不平行，从而①、②不正确；在平面
内，DC在平面ABCD内，虽平面与平面ABCD相交，仍有∥DC，从而说明④不正确．
3．C．如图答9－10，把正方体的几条棱分为三类，在平面上的四条棱中有、与异面，在平面ABCD上的四条棱中有AD、CD与异面，上下两底面之间的四条棱中，有、与是异面直线，故与异面的棱共6条．
4．D．可参看下列图形：
图答9－9
5．B．可参看下列图形：
图答9－11
6．连结．∵ ∥，∴ 四边形
是平面图形，又∵＝，∴ 四边形是平行四边形，∴ BD
，在△
中，∵ E、F分别是与的中点，∴ EF
，由公理4有EF∥BD，且有．
7．∵
，
，∴ .在△AOB中，由，∴ ∥AB，同理∥BC，∵
与∠ABC方向相同，∴
＝∠ABC，同理
＝∠BAC，∴
△∽△ABC．
图答9－12
8．取AC中点F，连结DF、EF，在△PAC中，∵ D是PC中点，F是AC中点，则DF∥PA，同理可得EF∥BC，∴
∠DFE为异面直线PA与BC所成的角．在△DEF中，DE＝3，又DF＝
PA＝2，EF＝BC＝
，∴ 
，∴ ∠DFE＝90°，即异面直线PA与BC所成的角为90°．
9．连结AM、DM．在△ABC和△DBC中，∵ AB＝DB，AC＝DC，BC＝BC，∴△ABC≌△DBC，∴ AM＝DM．在等腰△AMD中，∵ N是AD中点，∴ MN⊥AD于N，连结BN、CN，同理可证BN＝CN，于是MN⊥BC于M，故MN是直线AD与BC的公垂线．
10．在△ABC中，∵ Q是AB中点，M是BC中点，∴
MQ∥AC，且MQ＝AC，同理PN∥AC，且PN＝AC．∴
QMPN．∴
四边形MNPQ是平行四边形，又 ∵ PQ＝BD，QM＝AC，AC＝BD，∴
PQ＝QM，∴
平行四边形MNPQ是菱形，∴
QN⊥PM．
11．连结交于
，连结BD交AC于O，连结
，在矩形
中，是中点，O是AC中点，则
于O．同理
于，∴ 是异面直线AC和的公垂线．∵ ＝＝a，∴
AC与间的距离为a．
12．（1）∵ ∥∥，＝＝，∴ 
是平行四边形，∴AC∥，又MN∥AC，因此，MN∥．
（2）由（1），
是异面直线MN与所成角．在△
中，
，
．于是有
．
拓展练习
1．（1）由三角形中位线定理可知EFAC，HGAC，于是EFHG，故四边形EFGH为平行四边形；
（2）当AC＝BD时，由EF＝AC，EH＝BD，得EF＝EH，即平行四边形EFGH的邻边相等，故平行四边形EFGH为菱形；
（3）要使平行四边形EFGH为矩形，需且只须一个角是直角．如需EF⊥FG，则AC⊥BD；
（4）要使平行四边形EFGH为正方形，需且只须AC⊥ BD，且AC＝BD；
2．（1）在一个平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；在空间也如此．
（2）在一个平面内，过一点（该点可在直线上，也可在直线外）有且只有一条直线与已知直线垂线；在空间过直线上或直线外一点都有无数条直线和已知直线垂直，这无数条直线在过已知点的一个平面上（以后可知该平面与直线垂直）．
（3）在一个平面内，与已知直线成60°角的直线有无数条，这无数条直线平行，且都与已知直线相交；在空间也是有无数条直线与已知直线成60°角，它们与已知直线位置关系是相交或异面．
3．（1）用反证法．假设EF与PC共面于a，则直线PE、CF共面a，则A∈a，B∈a，于是P与A、B、C共面于a，这与已知“P是平面ABC外一点”矛盾．故EF与PC是异面直线．
（2）取PB中点G，连结EG、FG，由E、F分别是线段PA、BC中点，有EGAB，GFPC
∴ ∠GFE为异面直线EF与PC所成的角，∠EGF是异面直线PC与AB所成的角，∵ PC⊥AB，∴
EG ⊥GF，即∠EGF＝90°．∵
PC＝AB＝2，∴ EG＝1，GF＝1，故△EFG是等腰直角三角形，∴ ∠GFE＝45°，即EF与PC所成的角是45°．
（3）由（2）知Rt△EGF中EG＝1，GF＝1，∠EGF＝90°，∴ EF＝
．
4．（1）∵ ∥AC，∴
与AC所成的锐角或直角就是与所成的角，连结、，在△
和△
，∵ ＝，
，
，∴△≌△，∴
．∴△
是等腰三角形．∵ O是底边AC的中点，∴
，故与所成的角是90°．
（2）∵
E、F分别是AB、AD中点，∴
EF∥BD，又∵
∥AC，∴
AC与BD所成的锐角或直角就是EF与所成的角．∵ 四边形ABCD是正方形，∴
AC⊥BD，∴
EF与所成的角为90°．
（3）∵
EF∥BD，∴
为异面直线EF与所成的角．∵ 四边形是正方形，∴ 
，∴ 在Rt△
中，
，
＝
＝
，∴ 
，即EF与所成角的正切值为．
（4）∵
EF∥BD，BD⊥AC，∴
EF⊥AC，设交点为G．∵ ⊥AC（由（1）知）于O，则AC是异面直线EF与的公垂线，OG的长即为EF与间的距离，由于G是OA中点，O是AC中点，且
，∴ 
，即EF与间的距离为
．
5．②．①的逆命题为：空间四点中若任何三点都不共线，则这四点不共面．此命题是假命题．平行四边形的四个顶点是其反例．
②的逆命题为：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点，可知此命题为真命题．