高二数学竞赛试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题6分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、满足条件
的集合
的个数是
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
2、在直角三角形中两锐角为A和B，则sinAsinB
（A）有最大值
和最小值0 （B）既无最大值也无最小值
（C）有最大值，但无最小值 （D）有最大值1,但无最小值
3、已知
，则下列不等式一定成立的是
（A）a2＞b2 （B）ln a＞ln
b （C）
（D）
＞
4设
、
是两个非零向量，则(+)2=()2+()2是⊥的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
5、已知数列{
}的通项公式为an=2n－5，则a1+a2+…+a10=
（A）68 （B）65 （C）60 （D）56
6、方程
=
的解集是
（A）（－1，0）∪（3，+∞） （B）（－1，0
∪[3，+∞
（C）（－∞，－1）∪（0，3） （D）（－∞，－1）∪[0，3]
7、已知直线l1，l2关于直线y=x对称，且l1：y=ax＋b（ab≠0），则l2的方程是
（A）
（B）
（C）
（D）
8、已知cos(α－β)=
，sinβ=－
，且α∈(0，
)，β∈(－，0)，则sinα=
（A）
（B）
（C）－ （D）－
9、已知x、y满足
，则z=x+y的最大值为
（A）
（B）4
（C）1
（D）2
10、计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢2进
）2转换成十进制形式是
（A）217－2 （B）216－2 （C）216－1 （D）215－1
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．
11、等比数列{}中，a4+a6=3，则a5（a3+
12、设函数f（x）=
，则满足f（x）≥
的x的取值范围为 .
13、椭圆
的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么PF1－PF2＝
.
14、已知两个圆：x2+y2=1 ①；x2+（y-3）2=1 ②，则由①式减去②式可得上述两个圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例，推广的命题为 .
高二数学竞赛试题
一、选择题
| 题 号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答 案 |
二、填空题
11、 ； 12、 ； 13、 ；
14、
.
三、解答题：本大题共6小题共74分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．
15、（本小题满分12分）
解关于x的不等式：
.
16、（本小题满分12分）
已知向量
＝（
x，x－4），向量
＝（x，
x），x∈[－4，5]
（Ⅰ）试用x表示·；
（Ⅱ）求·的最大值，并求此时的cos<、>.
17、（本小题满分12分）
已知点
到两个定点
、
距离的比为
，点
到直线
的距离为，求直线
的方程.
18、（本小题满分12分）
某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个，出厂价为60元/个，日销售量为1000个，为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本.若每个蛋糕成本增加的百分率为x (0＜x＜1)，则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为0.5x，同时预计日销售量增加的百分率为0.8x，已知日利润=（出厂价—成本）×日销售量，且设增加成本后的日利润为y.
（Ⅰ）写出y与x的关系式；
（Ⅱ）为使日利润有所增加，问x应在什么范围内？
19、（本小题满分12分）
已知f（x）=
。是否存在实数p、q、m，使f（x）同时满足下列三个条件：①定义域为R的奇函数；②在[1，+∞上是减函数；③最小值是－1.若存在，求出p、q、m；若不存在，说明理由.
20、（本小题满分14分）
已知某椭圆的焦点是
、
，过点F2并垂直到x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且
，椭圆上不同的两点
、
满足条件：
、
、
成等差数列。
（Ⅰ）求该椭圆的方程；
（Ⅱ）求弦AC中点的横坐标；
（Ⅲ）设弦AC的垂直平分线的方程为
，求m的取值范围。
高二数学竞赛试题
参 考 答 案
一、选择题
| 题 号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答 案 | B | C | D | C | A | B | B | A | D | C |
二、填空题
11、9
12、
13、3
14、设圆方程(x－a)2+(y－b)2=r2 ① (x－c)2+(y－d)2=r2 ②（a≠c或b≠d），
由①－②，得两圆的对称轴方程.
三、解答题
15、
，---------------------------------------------3分
当a＝0时，原不等式
x＜1，------------------------------------6分
当a≠0时，原不等式
.---------------11分
综上可知，当a＝0时，原不等式的解为
；当a≠0时，原不等式的解为{x}.-------------------------------------------------------------------12分
16、（Ⅰ）·=2x2－6x
-----------------------------------------------------------3分
（Ⅱ）设f（x）=2x2－6x＝2(x－
)2－
，
∵x∈[－4，5]
∴当x=－4时，·的最大值为56
--------------------------------------9分
此时，=（－2，－8），=（－4，－6），=
，=2
设、的夹角为θ，则cosθ=
. ------------------12分
17、设点的坐标为
，由题设有
即
整理得
---------------------------------①--------------------4分
因为点到的距离为，
所以∠
450，直线的斜率为±1
直线的方程为
---------------------------②--------------------8分
将②式代入①式整理得
解得
代入②式得点的坐标为
（1，2）或（1，－2）--------------------------------------------------------------10分
故直线的方程为----------------------------------------------------------12分
18、（Ⅰ）由题意得
，
整理得 
．------------------------------5分
（Ⅱ）要保证日利润有所增加，当且仅当
--------------------------------------------7分
即 
----------------------------------------------------9分
解不等式得 
．--------------------------------------------------------11分
答：为保证日利润有所增加，投入成本增加的比例
应满足．
-----------------------------------------------------------------------12分
19、∵f（x）是奇函数 ∴f（0）=0 得q=1 -------------------------------------1分
又f（－x）=－f（x） ∴
=－
=
即(x2+1)2－p2x2=(x2+1)2－m2x2
∴p2=m2
若p=m，则f（x）=0，不合题意。故p=－m≠0
∴f（x）=
-----------------------------------------------------5分
由f（x）在[1，+∞上是减函数，令g（x）=
=1－
=1－
∵
在[1，+∞上递增，在（－∞，－1）也递增，只有m＞0时，在[1，+∞上g（x）递增，从而f（x）递减.--------------------------------------------------------7分
∴x=－1时，在（－∞，－1上取得最大值－2，此时由f（x）的最小值为－1得g（x）的最大值为3.
1－
=3 得m=1， --------------------------------------------------------10分
从而p=－1
综上可知，存在p=－1，q=1，m=1. ------------------------------------------------12分
20、（Ⅰ）∵椭圆的焦点是、，又点B在椭圆上，且，
∴
故所求椭圆方程为
=1；-----------------------------------------------------4分
（Ⅱ）由于在椭圆上，则
，即
，
∴ 
＝
＝
＝
＝
＝
＝
（∵－5≤
≤5）
同理 ＝
＝
，＝
∵ 、、成等差数列，
∴ 2＝＋，
即 
＝（）＋（）
∴ ＋
＝8，
故弦AC中点的横坐标为4；--------------------------------------------------------8分
（Ⅲ）∵ 点A、C都在椭圆＝1上，
∴ ，
，
两式相减并整理得，
，
由于弦AC的垂直平分线的方程为，
∴ 
，又＋＝8，
∴ 
＝
，
即AC中点坐标为M（4，
），点M在直线上，
∴ k＝－
，
又点M在椭圆内，因此
，
则
，即(－)2＜
，即
，
故m的取值范围为（—
，）.------------------------------------------14分