高二数学期初测试

高二数学期初测试

（满分：150分　 考试时间：120分钟）

第Ⅰ卷（选择题　共60分）

一、选择题

1．已知直线与平行，则实数的取值是

　　 A．－1或2　　　　　 B．0或1　　　　　　 C．－1　　　　　　　 D．2

2.已知两点A(-2,0),B(0,2)，点C是圆x²+y²-2x＝0上的任意一点，则

△ABC面积的最小值是

A． 6 B．3+　　　C．　　　　　　D．3-

3.已知点P是以、为焦点的椭圆上一点，，则点P与坐标原点O的距离为

A. 5　　　　 B.4　　　　　 C.　 　　 D.

4.抛物线的顶点在坐标系原点，焦点是椭圆4x²+y²＝1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为

A. 　　B. 　　　　C. 　　　D.

5.设有不同的直线a、b和不同的平面α、β、γ，给出下列三个命题：

①若a∥α,b∥α,则a∥b;　　 ②若a∥α,a∥β,则α∥β;

③若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β.

其中正确的命题个数是

A.0　　　　B.1　　　　　 C.2　　　　　 D.3

6.设△ABC和△DBC所在两平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝a,∠CBA＝∠CBD＝120°,则AD与平面BCD所成的角为

A.30°　　　B.45°　　 C.60°　　  D.75°

7.已知双曲线中心在原点且一个焦点F（，0），直线y＝x-1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则双曲线方程为

A. 　　　　B.  

C. 　　　　D.

8. 设₁是曲线y²＝2px(p≠0)与ax²＋by²＝1(a＞b＞0)的离心率的比值，₂是曲线ax²－by²＝1上一点到右准线和右焦点的距离之比，则

　A 　　 B 　　 C 　　 D 以上都不对

9.已知平面内有一条线段AB，其长度为4，动点P满足PA-PB＝3，O为AB的中点，则PO的最小值为

A　．　　 B． 2　　　　　　　C．1　　　　　D．3

10.正方形ABCD边长为2，E、F分别是AB和CD的中点，将正方形沿EF折成直二面角(如图)，M为矩形AEFD内一点，如果∠MBE＝∠MBC，MB和平面BCF所成角的正切值为，那么点M到直线EF的距离为　　 　　　　　　　　　　 

11．如果直线与圆交于M、N两点，且M、N关于直线对称，则不等式组　表示的平面区域的面积是

A．1　　　　　　　　　　B．　　　　 　　　C．2　　　 　　　　　 D．

12．斜率为1的直线l与椭圆+y²＝1相交于A、B两点，则AB的最大值为

A.2　　　　　　B. 　　　　　 C.　　　　　D.

第Ⅱ卷（非选择题　共90分）

二、填空题

13．直线l经过抛物线y²＝4x的焦点，且与准线成60°角，则直线l的方程是　　　　　　　 .（注：填上你认为正确的一个方程即可，不必考虑所有可能的情况）

14．已知a、b、c、d是四条互不重合的直线，且c、d分别为a、b在平面上的射影，给出下面两组四个论断：

第一组：①a⊥b,②a∥b;

第二组：③c⊥d,④c∥d.

分别从两组中各选一个论断，使一个作条件，另一个作结论，写出一个正确的命题：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 .

15．以椭圆+＝1的中心O为顶点，以椭圆的左准线l₁为准线的抛物线与椭圆的右准线l₂交于A、B两点，则AB的值为　　　　 .

16.已知∠AOB＝90°,过O点引∠AOB所在平面的斜线OC，与OA、OB分别成45°、60°，则以OC为棱的二面角A—OC—B的余弦值等于　　　　 .

三、解答题

17．（本小题满分12分）

已知x,y满足不等式组求的最大值和最小值。

18．（本小题满分12分）

如图，在棱长为1的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是D₁D、DB的中点，在棱CD上．，H是C₁的中点.

（Ⅰ）求证：EF⊥B₁C；（Ⅱ）求EF与C₁所成角的余弦值；（Ⅲ）求FH的长．

19．已知点F（1，0），直线，点B是l上的动点，若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M。

　（1）求点M的轨迹C的方程；

　（2）设与x轴相交于H，直线BF与曲线C相交于P、Q两点，求证：直线HP、HQ与直线HF的夹角相等。

20．（本小题满分12分）

已知双曲线的一个集点为，且渐近线为。过点A（2，1）的直线与该双曲线交于两点。

（Ⅰ）求线段的中点P的轨迹方程；

（Ⅱ）过点B（1，1）能否作直线^，，使^，与已知双曲线交于两点，且B是线段的中点，请说明理由。

21．（本小题满分12分）如图，在立体图形P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°，且边长为a的菱形。侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD。

（Ⅰ）若G为AD边的中点，求证BG⊥平面PAD；（Ⅱ）求证AD⊥PB；

（Ⅲ）求二面角A-BC-P的在小；

（Ⅳ）若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论。

22．（本小题满分14分）

 如图所示，在Rt△ABC中,∠CAB＝90°, AB＝2, AC＝, D是线段AB的垂直平分线上的一点, D 到AB的距离为2, 过点C的曲线E上任一点P满足为常数.

　　①建立适当的坐标系,并求出曲线E的方程.

　　②过点P的直线 l与曲线E相交于不同的两点M , N , 且M点在D, N 之间,若, 求的取值范围.

高二数学期末测试参考答案

一、选择题：5×12＝60分

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
答案	C	D	B	D	A	B	C	C	A	C	D	C

二、填空题：4×4＝16分　　

　13、 14、若a∥b，则c∥d　15、  16、

三、解答题：共74分

17. （本题满分12分）如图不等组为不等式所表示的可行域　　

令u＝x－2y

作出

在可行域内平行移动得，可知A、B为满足条件的最优解。

由得A（1，0），

由

得B（3，－2），

∴。

18．（本题满分12分）

（Ⅰ）证明：选取DA1、DC、DD1，分别为Ox、Oy、Oy轴建立空间直角坐标，易知E（0，0，），F（，，0），B1（1，1，1），C（0，1，0），

，

＝0，

．

（Ⅱ）解：G（0，，－1），C_l（0，1，1），

．

（Ⅲ）解：，

19解：（1）由已知易得MF＝MB由抛物线定义得点M的轨迹方程为

（≥0）

（2）设直线方程设P

则消去得 ∴

而　 

 ∴

同理

∵向量所成角范围在[0，]上　∴结论成立。

20.（本题满分12分）

解：（Ⅰ）双曲线的方程为　

设的坐标分别为、，中点P（x，y）

则

①②得，

当时，　　③

∵四点共线　　　∴　　 ④

由③、④得，即

当时，x＝2，y＝0满足此方程。

∴中点P的轨迹方程是　 　

（Ⅱ）假设存在直线L′同（1）可得L′的斜率为2，L′的方程为y＝2x－1。

∵无解，与假设矛盾，∴满足条件的直线L′不存在。

21．（本题满分12分）

（Ⅰ）证明　 ∵在菱形ABCD中，∠DAB＝60°,G为AD的中点，BG⊥AD，

又平面PAD⊥平面ABCD的，平面PAD∩平面ABCD＝AD

∴BG⊥平面PAD。

（Ⅱ）证明　 连结PG，因为△PAD为正三角形，G为AD的中点，得PG⊥AD。

由（Ⅰ）知BC⊥AD,PG∩BG＝G,PGBG＝G,PG平面PGB，BG平面PGB。

∴AD⊥平面PGB。

∵PB平面PGB。

∴AD⊥PB。　

（Ⅲ）解　 由（Ⅱ），AD⊥平面PGB，

∵在菱形ABCD中，AD∥BC，

∴BC⊥平面PGB。，

而PB平面PGB，BG平面PGB

∴BC⊥PB，BC⊥BG。

∴∠PBG为二面角A－BC—Ｐ的平面角。

∵在△PAD中，，在菱形ABCD中，，

∴在Rt△PGB中，∠PGB＝45°

∴二面角A－BC－P为45°。

（Ⅳ）当F为BC中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD。

证明　 取PC的中点F，连结DE，EF，DF，则由平面几何知识，

在△PBC中，FE∥PB，

在菱形ABCD中，GB∥DE，

而FE平面DEF，DE平面DEF，FE∩DE＝E，

∴平面DEF∥平面PGB。

由（Ⅰ），PG⊥平面ABCD，而PG平面PGB，

∴平面PGB⊥平面ABCD。

∴平面DEF⊥平面ABCD。　

22．（本题满分12分）

解：①以AB、OD所在直线分别为X轴、Y轴建立直角坐标系

∴动点的轨迹为以A、B为焦点的椭圆

②l与y轴重合，DM＝1，DN＝3，，

　l不与y轴重合，D（0，2）令直线MN的方程为：y＝kx+2与曲线C的方程联立得

　

　△=