高二数学期末试卷

高二数学期末试卷

一．选择题：（512）

1．  A={xx²-20}, B={xx²-4x+30},则AB=　　　　　　　  （　C　　）

（A）{xx或x  1}　　　(B){xx或x3}

(C){xx -或x 1}　　　(D)　 R

2 .a=1是直线x+ay=a+2与直线ax+y=2a+1平行的　　　　　　　 （　D　　）

（A） 充要条件　　　（B）　　充分不必要条件

（C） 必要不充分条件（D）既不充分也不必要条件

3. 奇函数y=f(x)在x (0, +)时，f(x)=x-1,则f(x-1)<0的解集为 （　B　　）

（A）{x-1<x<0}　  （B）{xx<0,或1<x<2}

（C）{x0<x<2}　　 （D）{x1<x<2}

4. 过抛物线y²=4x的焦点作直线交抛物线于A（x­_{1 , ,}y₁）B（x­_{2, ,}y₂）两点，

若AB与x轴成45，则AB的长为　　　　　　　　　　　 （　B　　）

（A）10　（ B）　8　 （ C）　6　 （ D）　　4

5 .定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+4)= -f(x)，在[0，4]上

为减函数 ，则　　　　  　　　　　　　　　　　　　　　　（　B　　）

　　（A）f(10)<f(13)<f(15),　　　（B）f(13)<f(10)<f(15)　　　　　　　　　　　　　　　　　

（C）f(15)<f(10)<f(13)　　　 （D）f(15)<f(13)<f(10)

6 .设椭圆 (a>b>0)的离心率为，F，A分别是椭圆的左焦点，右顶点，B是它短轴的一个端点，则ABF 为　　　　　　　　　　  （　C　　）　　　　　

（A） 30 ° （B）　 75°　（C）90° （D） 120°

7.如果存在实数a，使cosa=成立，那么实数x的集合是　（　 A　 ）

（A）{-1.1}（B）{xx<0或x=1}（C） { xx>0或x=-1}（D）{xx-1 或x1}

8.若抛物线y²=2px (p>0)上三点的纵坐标的平方成等差数列，那么

这三点的焦半径的关系为　　　　　　　　　　　　　　　　 （　A　　）

（A）　成等差数列　　　　　　  （B）成等比数列

（C） 既成等差数列又成等比数列 （D）既不成等差数列又不成等比数列

9．已知双曲线的半焦距为c，顶点A（a,0）到渐近线

的距离为c,则双曲线的离心率为　　　　　　　　　  （　B　 ）

（A）　　 （B）　　（C）， （D）

10.已知函数f(x)=x G(x)(xR)在区间（-，0）上为减函数，又G(x)为奇函数，

则对任意实数，下列不等式成立的是　　　　　　　　　　　 （　A　　 ）

（A）　f(a²±a+1) f(-)　　　（B）　f(a²+a+1) >f(-)

（C）　f(a²±a+1) f(-)　　　（D）　f(a²+a+1) <f(-)

11按向量a平移将x²+y²+4x+2y+1=0化简为标准方程

，则向量a的坐标为　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 （　D　　）

（A）（-2，1）　　 （B）（2，-1）（C）（－２，－１）（Ｄ）（２，１）

12.设F_1，，F₂为椭圆的两焦点，M是椭圆上的任一点，从任一焦点向

F₁MF₂的顶点M的外角平分线作垂线，垂足为P，

则P点的轨迹为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  （　A　　）

（A） 圆　 （B） 椭圆　 （C） 双曲线　（D） 抛物线

二．填空题　（每题4分 ）

13.若x,y 满足则2x+y的最大值为　 18　　　　

14．设F_1，，F₂为双曲线的两焦点 ，点P在双曲线上，且 F₁PF₂ =60，则F₁PF₂ 的面积为　　　 　　 

15．已知不等式2x-t+t-1<0的解集为（-）则t为　　 0　　　　

16．1．x+x-1>m的解集为R　

2．函数f(x)= - (7-3m)^x为减函数

若这两个命题中有且仅有一个为真命题，则实数m的范围为　　1m<2　　　

三．解答题：（12+12+12+12+12+14）

17　　　  已知函数f(x)=lg ,

(1)　  求函数f(x)的定义域

(2)　  当a= -1,x（3，+）时, 求函数f(x)的值域

(1)解：原函数的定义域等价于 (x-a)(x-1)>0

1．  当a=1 时，；

2．  当a>1时，x>a或x<1;

3．  当a<1时，x>1或x<a

所以原函数的定义域为

当a=1 时，{x}

当a>1时，{xx>a或x<1};

当a<1时，{xx>1或x<a}

(2) 当a=-1 时，已知函数f(x)=lg ,

x（3，+）时,函数的值域为（0，lg2）

19.设x₁,x₂R,常数a>0,定义运算“”：x₁  x₂=(x₁+x₂₎² ,定义运算“　”：x₁ x₂=(x₁-x₂₎²

（1）若,求动点P（）的轨迹C的方程

（2）已知直线L：y=x+1与（1）中的轨迹交于A（x­₁,y₁）,B(x₂,y₂),若

=8，试求a的值。

解：（1）y=4ax(y0)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  4分

　　　 得x²+4(1-4a)x+4=0得x₁+x₂=-4(1-4a);x₁x₂=48分

AB=

解得 a=2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  12分

19．设圆C的圆心在直线x-y-1=0上，且与直线4x+3y+14=0相切，又圆C截直线3x+4y+10=0所得的弦长为6，求圆方程

因为圆心在直线x-y-1=0上，所以设圆C的圆心坐标为（a,a-1）;

圆方程为(x-a)²+(y-a+1)² = r ²

因为圆与直线4x+3y+14=0相切，所以;　　　　

又圆截直线3x+4y+10=0所得的弦长为6，所以

解得a=2,r=5, 所以圆方程为（x-2）²+(y-1)²=25　　　　　  12分

 

20．某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，售量为1000辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x（0<x<1),则出厂价相应的提高比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润=（出厂价-投入成本）年销量。

（1）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x 关系式。

（2）为使本年度的年利润比上一年有所增加，问投入成本的比例x应在什么范围内？

（1）y=[1.2(1+0.75x)-1(1+x)](1+0.6x)1000  (0<x<1) 不写条件扣1分　　6分

  （2）解得0<x<

答：　（不答扣1分）

21．双曲线（a,b>0）,一焦点到其相应准线的距离为,过点A（0，-b）B（a,0）的直线与原点的距离为

（1）　　　 求该双曲线的方程

（2）　　　 是否存在直线y=kx+5(k0,)与双曲线交于相异两点C，D，使得 C，D两点都在以A为圆心的同一个圆上，若存在，求出直线方程 ；若不存在说明理由。

解：因为焦点到其相应准线的距离为，所以； 又因为过点A（0，-b）B（a,0）的直线与原点的距离为；可设直线方程为，由点到直线的距离公式得，解得a=,b=1,所以双曲线方程为　　　　　  5分

（3）　　　 假设存在直线y=kx+5(k0,)与双曲线交于相异两点C，D，使得 C，D两点都在

以A为圆心的同一个圆上

得（1-3k²）x²-30kx-78=0;可得

因为C，D两点都在以A为圆心的同一个圆上；所以有AC=AD，

所以直线CD的中点坐标为M因为AMCD，

所以，解得k=,所以直线方程为y=x+5　　　　　 12

22．在直角坐标系中，三角形ABC的两个顶点C，A的坐标为（-，0），（，0），

三内角A，B，C满足2sinB=(sinA+sinC)

（1)　 求顶点B的轨迹方程

（2）过顶点C作直线与顶点B的轨迹交于P，Q两点当倾斜角在（0，90°）时

求三角形APQ面积的最大值　

设三角A、B、C 所对三边为a、b、c，由2sinB=(sinA+sinC)得2b=a+c,

b=2得a+c=4即BC+CA=4，由椭圆的定义知B的轨迹为以C，A为焦点长轴长为 4，中心在原点的椭圆。

所以椭圆的方程为（y0）

（2）设直线方程为x=ky-,与椭圆方程联列得

(k²+4)y²-2ky-1=0,所以y₁₊y_2=,

所以=　 当且仅当k=时取“=”，所以S=