试卷类型：A

高二数学调研测试题2

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页，共150分，考试时间120分钟．

第 Ⅰ 卷 (选择题，共60分)

注意事项：

1．请考生将自己的姓名、学号、班级填写在第Ⅱ卷的密封线内．

2．每小题选出答案后在第Ⅱ卷前的答题栏内用2B铅笔把对应题目的答案代号涂黑，不能答在试题卷上．

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.　设a = (1，0，－1)，b = (2，3，x)，且a⊥b，则x的值是
　　A．0　　　　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　　 C．2　　　　　　　　　　　　　D．－2

2.　 4×5×6×……×(n－1)×n =
　　A．　　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　C．n！－3！　　　　　　　D．

3.　已知，则n的值为
　　A．8　　　　　　　　　　　　　B．6　　　　　　　　　　　　　C．4　　　　　　　　　　　　　D．3

4.　两个事件互斥是这两个事件对立的
　　A．充分不必要条件　　　　　　　　　　　　　　　　　　B．必要不充分条件
　　C．充要条件　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．既不充分又不必要条件

5.　两平行直线x－y＋1 = 0，x－y－1 = 0间的距离是
　　A．　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　 C．2　　　　　　　　　　　　　D．

6.　空间四边形ABCD中，M、N是BC、CD的中点，则等于
　　A．　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　　 D．

7.　已知a、b、c是空间三条直线，是两个平面，则下列命题中正确的是
　　A．若，则a∥b
　　B．若，b⊥，则
　　C．若c是a在内的射影，且b⊥c，则a⊥b
　　D．若，c∥，则b∥c

8.　若a、b是任意实数，且a＞b，则
　　A．a²＞b²　　　　　　　　　B．　　　　 C．lg(a－b)＞0　　　　　D．

9.　以一个三棱柱的顶点为顶点的四面体共有
　　A．6个　　　　　　　　　　　B．8个　　　　　　　　　　　C．12个　　　　　　　　　　D．15个

10. 有以下三个命题：
　　①三个非零向量a、b、c不能构成空间的一个基底，则a、b、c共面
　　②若两非零向量a、b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a、b共线
　　③若a、b是两个不共线的向量，而 (∈R且≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底
　　其中真命题的个数是
　　A．0　　　　　　　　　　　　　B．1　　　　　　　　　　　　　C．2　　　　　　　　　　　　　D．3

11. 已知圆C：x²＋y² = 1，点A(－2，0)及点B(2，a)，从A点观察B点，要使视线不被圆C挡住，则a的取值范围是
　　A．(－∞，－1)∪(－1，＋∞)　　　　　　　　　　 B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
　　C．(－∞，－)∪(，＋∞)　　　　D．(－∞，－4)∪(4，＋∞)

12. 在正四面体P－ABC中，G是△ABC的重心，F是△PAB的重心，D为PB上一点，E为BC的中点，若，则数的值为
　　A．　　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　　 D．

第Ⅰ卷答题栏

[ A ]

[ B ]

[ C ]

[ D ]

高中调研测试题

高二数学

第 Ⅱ 卷 (非选择题，共90分)

注意事项：

第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中，答卷前将密封线内的项目填写清楚．

题号	一	二	三						总　分
题号	一	二	17	18	19	20	21	22	总　分
得分

得分	评卷人

二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上．

13. 球面面积膨胀为原来的4倍，则体积膨胀为原来的　　　　倍．

14. 不等式的解集是　　　　　　　　　　　　．

15. 甲、乙两人独立地解同一问题，甲解对的概率是p₁，乙解对的概率是p₂，那么至多有一人解对这个问题的概率是　　　　　　　．

16. (a₁＋a₂)(b₁＋b₂＋b₃)(c₁＋c₂＋c₃＋c₄)展开式中，形如a_xb_xc_x的项称为标准项，形如a_xb_xc_y、a_xb_yc_x、a_yb_xc_x (x≠y) 的项称为次标准项，如a₂b₂c₂是一个标准项，a₁b₁c₃是一个次标准项．从展开式中任取两项，恰有一个标准项和一个次标准项的概率为　　　　　　　　　　．

三．解答题：本大题共6小题，满分74分．

得分	评卷人

17.　 (本大题满分12分)求的展开式中，系数的绝对值最大的项和系数最大的项．

得分	评卷人

18.　 (本大题满分12分)正三棱锥S－ABC的底面边长为2，侧棱与底面所成的角为60°，求它的高和斜高．

19.　 (本大题满分12分) 如图，一空间四边形ABCD的对边AB与CD互相垂直，AD与BC互相垂直，证明对角线AC与BD也互相垂直．

得分	评卷人

20.　 (本大题满分12分)××市政府实施“景观工程”，对现有平顶的民用多层住宅进行“平改坡”，计划将平顶房屋改为尖顶，并铺上彩色瓦片．现对某栋房屋有如下两种改造方案：
　　方案一：坡顶如图1所示，为顶面是等腰三角形(AB = AC)的直三棱柱，尖顶屋脊AA₁与房屋长度BB₁等长，有两个坡面需铺上瓦片．
　　方案二：坡顶如图2所示，为由图1消去两端相同的两个三棱锥D－ABC、D₁－A₁B₁C₁而得，尖顶屋脊DD₁比房屋长度BB₁短，有四个坡面需铺上瓦片．
　　若房屋长度BB₁ = 2a，宽BC = 2b，屋脊高(即直线AA₁到平面BCC₁B₁的距离)为h，试问哪种方案铺设的瓦片比较省？说明理由．

得分	评卷人

　　　图1　　　　　　　　图2

21.　 (本大题满分12分)在一次三人象棋对抗赛里，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛顺序如下：第一局：甲对乙；第二局：第一局的胜者对丙；第三局：第二局的胜者对第一局的负者；第四局：第三局的胜者对第二局的负者．求：
　　(1)乙连胜四局的概率；
　　(2)丙连胜三局的概率．

得分	评卷人

22.　 (本大题满分14分)如图，在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AC、BD相交于O点，AB = BC = 2，异面直线DB与D₁C所成的角为arccos．
　　(1)求此长方体的体积；
　　(2)求截面D₁AC和底面ABCD所成二面角(锐角)的大小；
　　(3)在棱B₁B上找一点P，使得PD⊥平面D₁AC．

得分	评卷人

高二数学调研测试题参考答案及评分标准

一．选择题：CBCBB　　ABBCC　　CD

二．填空题：13．8　　14．{x｜－2≤x＜2}　　15．1－p₁p₂　　 16．

三．解答题：

17．解：展开式的通项是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分
　　系数的绝对值是，若它最大，则
　　　　　　即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6分
　　解得：
　　∵r∈N　∴r = 3
　　故系数绝对值最大的项是第4项，即　　　　　　　　　　　　　　　　 8分
　　系数最大的项应在项数为奇数的各项之内，即r取偶数0，2，4，6，8时的各项系数
　　分别为
　　即1，
　　∴系数最大的项是第5项，即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12分

18．解：过S作SO⊥底面ABC于点O，则点O是△ABC的中心，∠SAO是侧棱SA与底面ABC所成的角　　　　　　　2分
　　∴∠SAO = 60°
　　连结AO交BC于D，连结SD，则SD⊥BC
　　在正△ABC中，
　　∴
　　故SO = AO×tan 60°= 2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6分
　　
　　
　　∴正三棱锥的高为2，斜高为．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12分

19．证法一：∵AB⊥CD，∴0
　　即0
　　Þ　　　①　　　　　　　4分
　　∴AD⊥BC，∴0
　　即
　　Þ　　　②　　　　　　　8分
　　由①、②得：　Þ　
　　即0　　∴AC⊥BD．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

证法二：过点A作AO⊥平面BCD于点O，连结BO、DO、CO并延长分别交CD、BC、BD于E、F、G，则BE、DF、CG分别是AB、AD、AC在底面BCD上的射影　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分
　　∵AB⊥CD，由三垂线定理得：BE⊥CD
　　同理DF⊥BC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分
　　∴点O是△BCD的垂心，故CG⊥BC
　　由三垂线定理的逆定理知：AC⊥BD．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

20．解：要比较两种尖顶铺设的瓦片量，只要比较△ABD和△ACD的面积之和与△BCD的面积的大小． 2分
　　作AE⊥BC于E点，则AE⊥平面B₁BCC₁，故AE = h
　　∴AB =
　　设AD长为x，则DE =
　　∴
　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分
　　当x＞b，即AD之长大于房屋宽度的一半时，图2尖顶铺设的瓦片较省
　　当x＝b，即AD之长等于房屋宽度的一半时，两种尖顶铺设的瓦片相同
　　当x＜b，即AD之长小于房屋宽度的一半时，图1尖顶铺设的瓦片较省．　　　　12分

21．解：(1)乙连胜4局，必须每局乙都是胜者
　　故四局的胜负情况为：第一局乙胜，甲负；第二局乙胜，丙负；第三局乙胜，甲负；第四局乙胜，丙负；　　　 2分
　　∴乙连胜4局的概率为(1－0.4)×0.5×(1－0.4)×0.5 = 0.09　　　　　　　　　　　　　　　4分
　　(2)丙连胜三局的情况有两种情形
　　①第一局甲胜，乙负；第二局丙胜，甲负；第三局丙胜，乙负；第四局丙胜，甲负
　　其概率为0.4×0.6×(1－0.5)×0.6　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　7分
　　②第一局乙胜，甲负；第二局丙胜，乙负；第三局丙胜，甲负；第四局丙胜，乙负
　　其概率为(1－0.4)×(1－0.5)×0.6×(1－0.5)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　10分
　　∴丙连胜三局的概率为
　　0.4×0.6×(1－0.5)×0.6＋(1－0.4)×(1－0.5)×0.6×(1－0.5) = 0.162．　　　　　　12分

22．方法一：
　　(1)解：设i，j，k (h＞0)，以i，j，k为坐标向量建立空间直角坐标系D－xyz．
　　则A(2，0，0)，B (2，2，0)，C (0，2，0)，
D₁(0，0，h)　　　　　　　　　　　　　　　3分
　　∴(2，2，0)，(0，2，－h)
　　
　　∴，解得：h = 4
　　故V = 2×2×4 = 16　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分
　　(2)由于底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
　　由三垂线定理知，D₁O⊥AC
　　∴∠D₁OD是所求二面角的平面角　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分
　　(－1，－1，4)，(－1，－1，0)
　　
　　∴所求二面角的大小为．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10分
　　(3)解：设P(2，2，z)，则(2，2，z) ，(2，0，－4)，(0，2，－4)
　　令，即2×2＋0×2＋(－4)×z = 0，得z = 1
　　∴当BP = 1时，DP⊥平面D₁AC．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　14分

方法二：
　　(1)连结A₁B，则A₁B∥CD₁，故∠A₁BD是异面直线DE与D₁C所成的角　　　　　2分
　　设DD₁ = x，则A₁D = A₁B = ，BD =
　　∴cos∠A₁BD = 　　　　　　　 4分
　　∴　Þ　x = 4
　　故V = 2×2×4 = 16 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分
　　(2)由于底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
　　由三垂线定理知，D₁O⊥AC
　　∴∠D₁OD是所求二面角的平面角　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分
　　在Rt△D₁DO中，
　　∴所求二面角的大小为．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10分
　 (3)设BP = x，由于BP⊥AC，故要PD⊥平面D₁AC ，只需PD⊥D₁O
　　这时，Rt△D₁DO∽Rt△DBP，∴　　　　　　　　　　 12分
　　解得：x = 1
　　∴当BP = 1时，DP⊥平面D₁AC．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　14分

高二数学调研测试题2

试卷类型：A