高二年级教学质量检测数学试题卷1

 

高二年级教学质量检测数学试题卷

考生须知:

1. 本卷满分100分, 考试时间90分钟.

2. 答题前, 在答题卷密封区内填写学校、班级和姓名.

3. 所有答案必须写在答题卷上, 写在试题卷上无效.

4. 考试结束, 只需上交答题卷.

一．选择题 : 本大题共12小题, 每小题3分, 共36分. 在每小题给出的四个选项中, 有且只有一项是符合题目要求的 .

1. 若a>b，c ÎR，则下列命题中成立的是

(A). .　 (B).　　 (C)  .　　　(D).

2. 双曲线的焦点坐标是

(A)（－2，0），（2，0）.　　　 (B)（0，－2），（0，2）.

(C)（0，－4），（0，4）.　　　 (D)（－4，0），（4，0）.

3. 若2 + m 与m – 3 异号，则m的取值范围是  

(A) m > 3.　 (B) –3< m < 3.　 (C) 2 < m < 3.　 (D)　m< –2或– 3 < m < 2, 或m > 3.

4. 设直线2x – y – = 0与y轴交于P点, 则点P将圆 ( x + 1 ) ² + y ² = 25的直径分为两段的长度之比为　

　 (A)或.　 (B)或.　　 (C)或.　　(D)或.

5. 已知q Î[ – p,p], 则点P (1 , 1 )到直线 xcosq + ysinq = 2的最大距离为  

　 (A) 2.　　(B).　  (C)2 – .　　(D) 2 +.

6. 已知实数对 ( x , y ) 满足x ² + y ² £ 1 且y ³ 0, 则y – x的取值范围是　

　 (A) [ – 1 , 1 ]　　(B)[ 0 , 1]　　(C) [– 1 , ]　  (D)[–,]

7．点P (0 , 1 )在直线ax + y – b = 0上的射影是点Q ( 1 , 0 ), 则a , b的值依次是  

　 (A) –1 , 1 .　　(B) –1, –1.　　(C) 1 , 1.　　(D) 1, –1.

8. 抛物线的顶点在原点, 对称轴为坐标轴, 焦点是直线 3x + 5y – 15 = 0与y轴的交点, 那么抛物线的方程是

　 (A) x ² = 12y .　　 (B) y ² = 10x .　　(C) y ² = 20x .　　(D) x ² = 6y.

9. 满足不等式–<的最小正整数x等于

　(A)5.　 (B) 9 .　(C) 24 .　(D) 25.

10. 已知点F (, 0 ), 直线l: x = –, 点B是l上的动点, 若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M, 则点M的轨迹是　

　　(A)双曲线.　　(B) 椭圆 .　　(C) 圆 .　　(D)抛物线.

11. 不论m , n为何实数, 方程x ² + y ² –2mx – 2ny + 4 ( m – n – 2 ) = 0所表示的曲线恒通过的定点坐标是

　 (A) (0 , 0) .　 (B) ( 2 , – 2 ) .　 (C) ( 2 , 2 ) .　　(D) ( 2 , – 2 )和 ( 2 , 2 ).

12. 已知A,B是椭圆=1的左右两个顶点, 若椭圆上存在一点P, 且∠APB = 120°, ，是椭圆离心率e的取值范围是

　　(A) [, 1).　  (B) (0, ].　  (C) [, 1).　  (D) [,].

二．填空题：本大题有5小题, 每小题4分, 共20分. 请将答案填写在答题卷中的横线上.

13．已知a＞c＞0，b＞0，则与的大小关系是　　　　　　  .

14. 购买每个4元的电器开关和每个6元的电器插头若干个， 但总费用不能超过24元，同时每一种电器至少要买一个，则不同的购买方法有  　　　　　　　 种.

15. 动圆C与定圆F ₁: (x – 2) ² + y ² = 100内切, 与定圆F ₂ : (x + 2) ² + y ² = 4 外切, 则动圆的圆心C的轨迹方程是 　　　　　　  .

16. 已知曲线C₁ : y = – x ² + 4x – 2 , C₂ : y ² = x, 若C₁、C₂ 关于直线l对称, 则l的方程是

　　　　　　　　　 　　　　　　 

17．若实数a，b，c同时满足下列条件：

(1) ，　(2) ，　 (3) ，　(4) .

则下列判断中正确的是 　　　　　　　　. (将正确判断的序号都填上)

　(1) ;　　 (2) ;　　(3) ;　 　(4) ;　　(5) .

三．解答题：本大题有4小题, 共44分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.

18．(本小题满分10分)

某单位要建造一个长方体形状的无盖贮水池,其容积为4800 m³ , 深为3 m, 如果池底每1 m²的造价为150元, 池壁每1 m²的造价为120元, 问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？

19. (本小题满分10分)

 在△ABC中，内角B，C的平分线所在的直线方程分别为l ₁: y + 1= 0, l₂ : x + y + 1 = 0, A ( – 1 , – 4 ), 求BC边所在的直线方程.

20. (本小题满分10分)

当0 £ x < 1时不等式x ² + kx > k – 1恒成立, 试求实数k的取值范围.

21.　(本小题满分14分)

在O为原点的直角坐标系中，已知圆锥曲线的一个焦点为F ( 1 , 0 ), 对应这个焦点的准线方程为 x = – 1 , 且这条曲线经过点M ( 3 , 2).

（1）求此圆锥曲线的方程;

（2）已知圆锥曲线与直线 y = k (x – 4)相交于A、B两点, 求证: OA^OB;

(3) 当△OAB的面积等于2时, 求k的值.

22 附加题: (本题满分5分, 但全卷总分不超过100分)

已知a ³ 0 , b ³ 0, c ³ 0 , a + b + c =1, x = – a +2b + 4c, y = 2a + 6b + c , 设点( x , y )所在的区域为R.

(1) 求区域R 的面积;　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(2) 设( x, y )为区域为R上的任意点;

1) 求x ² + y ² 的最小值；

2) 求2x + y 的最大值.

高二年级教学质量检测

数学评分标准

一．选择题 : 本大题共12小题, 每小题3分, 共36分.

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
答案	C	D	B	A	D	C	B	A	D	D	B	A

二．填空题：本大题有5小题, 每小题4分, 共20分.

13.<　 　14. 8　　 15.=1　　  16. x + y –2 = 0　　 17．(1) (4)(5)　　

三．解答题：本大题有4小题, 共44分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.

18．(本小题满分10分)

解： 设水池底面一边的长度为x m，则另一边的长度为 m， 又设水池总造价为y元， 则

y = 150´+ 120(6x +6´) 　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

= 240000 + 720(x + ) ³ 297600　　　　　　　　　　　　　　　 3分

当x = 40时， y_min = 297600元.　　　　　　　　　　　　　　　　　  2分　　

　　 答 当水池的底面是边长为40 m的正方形时, 水池的总造价最低为297600元　　1分

19. (本小题满分10分)

 解： ∵l ₁是∠B的平分线, ∴直线AB与BC关于l ₁:对称 , 　　　　　　

 ∴点A关于l ₁的对称点A₁在直线BC上, 　　　　　　　　　　　　　　

同理, 点A关于l ₂的对称点A₂ 也在直线BC上, 　　　　　　　　　　　3分

由对称定义求得A₁( –1 , 2 ), A₂( 3 , 0 ) ，　　　　　　　　　　　　　　  6分

∴直线BC的方程为x + 2y – 3 = 0　　　　　　　　　　　　　　　　　  1分

20. (本小题满分10分)

解1 设 f ( x ) = x ² + kx – k + 1.　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 2分

要使0 £ x < 1时f ( x ) 恒为正，只需

或或　　　　　　　　　　　　　　　　　　  4分

解得：0 < k < 1或–2 £ k £ 0或k < –2.

综上 k < 1. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

解2设 y = x²,  y – 1 = – k ( x – 1 ), 　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

　作抛物线y = x²及过定点P (1, –1)的直线y + 1 = – k ( x　1 ),

　当0 £ x < 1时不等式恒成立等价于当0 £ x < 1时抛物线图象恒在直线上方　

　由k_OA = –1，∴– k > –1，　　　　　　　　　　　　　　　 　　 

解得k < 1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6分

解3 化成k < ,

∵当 0 £ x < 1时，右边单调递增，

∵x = 0时，右边取最小值1， ∴k < 1.

21.　(本小题满分14分)

　 解: (1) ∵ e ==1,　 ∴ 曲线是抛物线

　　　又∵F ( 1 , 0 ), 准线 x = – 1,　 ∴ 抛物线顶点在原点　 p = 1– (– 1) = 2

　　 ∴ 所求的曲线方程为 y ² = 4x　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  4分

　　 （2）当k = 0时直线与抛物线仅一个交点, 不合题意,

　　∴ k ¹ 0由y = k ( x – 4 )得

　　x = +4 代入y ² = 4 x 整理得: y ² –y – 16 = 0

　 设A (x ₁ , y ₁ ), B ( x ₂ , y ₂ ) 则y ₁ + y ₂ = ,　y ₁y ₂ = – 16

　 ∵A、B在y ² = 4x上, ∴A (, y ₁ ), B (, y ₂ )

　 (或由y = k(x – 4)代入得k²x²– 4(2k² +1)x + 16k² = 0, ∴x₁x₂ = 16 ).

　　∴ k_OA·k_OB ==== – 1， ∴ OA^OB.　　　　  5分

　　(3) 设直线与x轴交于E, 则 E ( 4 , 0 )　∴OE = 4

　　S_△OAB =OE( y ₁ + y ₂ ) =´4 y ₁ – y ₂ =2=2=2

　　解得k = ± 4 .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5分

22 附加题: (本题满分5分, 但全卷总分不超过100分) 　 

解：∵ a ³ 0 , b ³ 0, c ³ 0 , a + b + c = 1, x = – a +2b + 4c, y = 2a + 6b +c ,

　  ∴ a = 1 – b – c ³ 0 ,

　 

∴ x = –1 + 3b + 5c,　y = 2 + 4b – c , ,

　　∴ ( x , y ) = ( – 1,2 ) + b ( 3, 4 ) + c(5, – 1) 且b ³ 0 , c ³ 0, 1 ³ b + c,　

∴ ( x, y )表示由( 3, 4 ), ( 5, – 1)和( – 1,2 ) 所围的三角形区域(如右图所示).

　 ∴ R 的面积为 .　　　　　　　　　　  　　　　　　　　　　　　　　 3分

 ∴x² + y²的最小值即为原点到直线x + 5y – 9 = 0的距离的平方, 为.

　  而x = 2, y = 6时，2x + y 取最大值为10 .　　　　　　　　　　　　　　　　 2分