圆锥曲线练习

专题十 圆锥曲线练习

跟踪练习

一、选择题

1．到定点的距离与到定直线的距离之比等于log₂3的点的轨迹是（　　）

A．圆　　　　　　　　　　　　　B．椭圆　　　　　　　　　　　 C．双曲线　　　　　　D．抛物线

2．椭圆x²+5y²-4x+10y+4=0的准线方程是（　　）

A．x=±　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．x= -,x=

C．x= -,x=　　　　　　　　　　　　　　　　D．x= -,x=

3．双曲线-=1的渐近线方程是（　　）

A．y=±2x　　　　　　　　　 B．y=±x　　　 C．y=±2(x-1)　　　　D．y=± (x-1)

4．以原点为顶点，椭圆C：+=1的左准线为准线的抛物线交椭圆C的右准线于A、B两点，则AB等于（　　）

A．2　　　　　　　　　　　　　　B．4　　　　　　　　　　　　　　C．8　　　　　　　　　　 D．16

5．方程y²=ax+b与y=ax+b(a≠0)表示的图形可能是（　　）

6．中心在原点，焦点坐标为(0, ±5)的椭圆被直线3x-y-2=0截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为（　　）

A．+=1　　　　　　　　　　　　　　B．+=1

C．+=1　　　　　　　　　　　　　　　　D．+=1

7．抛物线y²=2px与y²=2q(x+h)有共同的焦点，则p、q、h之间的关系是（　　）

A．2h=q-p　　　　　　　　　 B．p=q+2h　　　　　　　　　 C．q>p>h　　　　　　　　　　D．p>q>h

8．过定点P(0,2)作直线l，使l与曲线y²=4(x-1)有且仅有1个公共点，这样的直线l共有（　　）

A．1条　　　　　　　　　　　 B．2条　　　　　　　　　　　　C．3条　　　　　　　　　　　 D．4条

9．已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（　　）

A．m<2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B．1<m<2

C．m<-1或1<m<2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．m<-1或1<m<

10．过椭圆+=1（0<b<a）中心的直线与椭圆交于A、B两点，右焦点为F₂(c,0)，则△ABF₂的最大面积是（　　）

A．ab　　　　　　　　　　　　　B．ac　　　　　　　　　　　　　C．bc　　　　　　　　　　　　　D．b²

11．将曲线C向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到曲线C′，若曲线C′的方程为-=1，则曲线C的焦点坐标为（　　）

A．(6,-1)(0,-1)　　　　　　　　　　B．(-6,1),(0,1)　　　　　　 C．(-3,2)(-3,-4)　　　　　　D．(3,2)(3,-4)

12．已知双曲线-=1和椭圆+=1(a>0,m>b>0)的离心率互为倒数，那么以a、b、m为边长的三角形是（　　）

A．锐角三角形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B．直角三角形

C．钝角三角形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D．锐角或钝角三角形

二、填空题

13．圆锥曲线的焦点坐标是　　　　　　　　　　  。

14．某桥的桥洞呈抛物线形(如图10-9)，桥下水面宽16米，当水面上涨2米后达到警戒水位，水面宽变为12米，此时桥洞顶部距水面高度约为　　　　　 米（精确到0.1米）

15．椭圆+=1的一个焦点为F₁，点P在椭圆上，如果线段PF₁的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是　　　　　　　 。

16．已知椭圆+=1与双曲线-=1(m,n,p,q∈{xx是正实数集})有共同的焦点F₁、F₂，P是椭圆和双曲线的一个交点，则PF₁·PF₂=　　　　　　　　　　　 。

三、解答题

17．已知椭圆C的焦点分别为F₁(-2,0)和F₂(2,0)，长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标。

18．如图10-10，线段AB过x轴正半轴上一定点M(m,0)，端点A、B到x轴的距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，求该抛物线的方程。

19．把椭圆(x-1)²+=1绕它的中心旋转90°后再沿x轴方向平行移动，使变换后的椭圆截直线y=x所得的线段长为，试写出变换后的椭圆方程。

20．已知椭圆的两个焦点分别为F₁(0,-2)，F₂(0,2)，离心率e=。

（1）求椭圆方程；

（2）一条不与坐标轴平行的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN中点的横坐标为-，求直线l倾斜角的取值范围。

21．椭圆中心是坐标原点O，焦点在x轴上，e=，过椭圆械焦点F的直线交椭圆于P、Q两点，PQ=且OP⊥OQ，求此椭圆的方程。

22．已知圆C₁的方程为(x-2)²+(y-1)²=，椭圆C₂的方程为+=1（a>b>0），C₂的离心率为，如果C₁与C₂相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C₁的直径，求直线AB的方程和椭圆C₂的方程。

参考答案

1.C　2.B　3.D  4.D　5.C　6.C  7.A　8.C　9.D  10.C　11.B　12.B

13.(-4,0)　(6,0)　14.2.6　15. ±　16.m-p

17.[解]　设椭圆C的方程为+=1，

由题意a=3,c=2，于是b=1。

∴椭圆C的方程为+y²=1。

由　得10x²+36x+27=0

因为该二次方程的判别式△>0，所以直线与椭圆有两个不同交点。

设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)

则x₁+x₂= -,

故线段AB的中点坐标为(-,)。

18.[解]　设所求抛物线方程为 y²=2px(p>0)　　①

若AB不垂直于x轴，设直线AB方程为：y=k(x-m)(k≠0)　　　　　 ②

由①，②消去x，得y²-y-2pm=0　　　　 ③

设A、B的坐标分别为A(,a),B(,b)。

则a,b是方程③的两个根。

∴ab= -2pm，

又a·b=2m，即ab=-2m，

由-2pm= -2m(m>0)得p=1,

则所求抛物线方程为y²=2x。

若AB垂直于x轴，直线AB的方程为x=m,A、B两点关于x轴对称，

故m²=2pm,2m=2pm,

又m≠0，∴p=1。

则所求抛物线方程为y²=2x。

综上，所求抛物线方程为y²=2x。

19.[解]　旋转后的椭圆方程为(y-1)²+=1。

设平移后的椭圆方程为(y-1)²+=1。

解方程组

将②代入①后，得(x-1)²+=1。化简后,得2x²-2(a+)x+a²=0　　③

由椭圆截直线所得线段长为有·=

解得a=0或a=2，并且都使方程③有实根。

∴变换后的椭圆方程为：+(y-1)²=1

或+(y-1)²=1。

20.[解]　（1）设椭圆方程为+=1。由已知，c=2，由e=解得a=3，∴b=1。∴+x²=1为所求椭圆方程。

（2）设直线l的方程为y=kx+b(k≠0)

解方程组

将①代入②并化简，得(k²+9)x²+2kbx+b²-9=0。

∴　由于k≠0

则化简后，得

将④代入③化简后，得k⁴+6k²-27>0

解得k²>3

∴k< -或k>

由已知，倾斜角不等于，

∴l倾斜角的取值范围是(,)∪(,)。

21.[解]　+=1,(a>b>0)

当PQ⊥x轴时，F(-c,0)，

FP=，又FQ=FP且OP⊥OQ，∴OF=FP。

即c=　　∴ac=a²-b²,

∴e²+e-1=0　∴e=与题设e=不符。所以PQ不垂直x轴。

设PQ∶y=k(x+c),P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂),

∵e=　∴a²=c²,b²=c²,

所以椭圆方程可化为:3x²+12y²-4c²=0。

将PQ方程代入，得(3+12k²)x²+24k²cx+12k²c²-4c²=0

x₁+x₂=,x₁x₂=

由PQ=得·=　 ①

∵OP⊥OQ　∴·= -1即x₁x₂+y₁y₂=0,

∴(1+k²)x₁x₂+k²c(x₁+x₂)+c²k²=0　 ②

解②得k²=代入①解得c²=3

∴a²=4,b²=1，则所求椭圆方程为+y²=1。

22.[解]　由e=，得=，a²=2c²,b²=c²。

设椭圆方程为+=1。

又设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)。由圆心为(2,1)，

x₁+x₂=4,y₁+y₂=2,

又+=1，+=1

两式相减，得　+= -1。

直线AB的方程为y-1= -(x-2)，即y= -x+3。

将y= -x+3代入+=1，得

3x²-12x+18-2b²=0

直线AB与椭圆C₂相交，∴Δ=24b²-72>0。

由AB=x₁-x₂==,

得·=。

解得　b²=8，故所求椭圆方程+=1。