双曲线的简单几何性质-高中二年级数学试题练习、期中期末试卷、测验题、复习资料-高中数学试卷-试卷下载

学科：数学

教学内容：双曲线的简单几何性质

【基础知识精讲】

1.双曲线-＝1的简单几何性质

(1)范围：｜x｜≥a,y∈R.

(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x轴、y轴及原点中心对称.

(3)顶点：两个顶点A₁(-a,0),A₂(a,0)，两顶点间的线段为实轴，长为2a，虚轴长为2b，且c²＝a²+b².与椭圆不同.

(4)渐近线：双曲线特有的性质，方程y＝±x，或令双曲线标准方程-＝1中的1为零即得渐近线方程.

(5)离心率e＝＞1，随着e的增大，双曲线张口逐渐变得开阔.

(6)等轴双曲线(等边双曲线)：x²-y²＝a²(a≠0),它的渐近线方程为y＝±x,离心率e＝.

(7)共轭双曲线：方程-＝1与-＝-1表示的双曲线共轭，有共同的渐近线和相等的焦距，但需注意方程的表达形式.

注意：

1.与双曲线-＝1共渐近线的双曲线系方程可表示为-＝λ(λ≠0且λ为待定常数)

2.与椭圆+＝1(a＞b＞0)共焦点的曲线系方程可表示为-＝1(λ＜a²,其中b²-λ＞0时为椭圆，　b²＜λ＜a²时为双曲线)

2.双曲线的第二定义

平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l:x＝的距离之比等于常数e＝(c＞a＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p＝，与椭圆相同.

3.焦半径(-＝1,F₁(-c,0)、F₂(c,0))，点p(x₀,y₀)在双曲线-＝1的右支上时，｜pF₁｜＝ex₀+a,｜pF₂｜＝ex₀-a;

P在左支上时，则　｜PF₁｜-(ex₁+a),

｜PF₂｜＝-(ex₁-a).

本节学习要求：

学习双曲线的几何性质，可以用类比思想，即象讨论椭圆的几何性质一样去研究双曲线的标准方程，从而得出双曲线的几何性质，将双曲线的两种标准方程、图形、几何性质列表对比，便于掌握.

双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切；直线与双曲线的交点问题、弦长间问题都离不开一元二次方程的判别式，韦达定理等；渐近线的夹角问题与直线的夹角公式.三角函数中的相关知识，是高考的主要内容.

通过本节内容的学习，培养同学们良好的个性品质和科学态度，培养同学们的良好的学习习惯和创新精神，进行辩证唯物主义世界观教育.

【重点难点解析】

1.学习双曲线的几何性质，也可以与椭圆的几何性质对比进行，着重指出它们的联系和区别.

2.本节重点是双曲线的几何性质，双曲线的第二定义及其应用，难点是双曲线的渐近线方程，第二定义，几何性质的应用.

例1　(1)求中心在原点，对称轴是坐标轴，一条渐近线方程是y＝-x,且经过点Q(8，6)的双曲线方程.

(2)已知双曲线满足：两准线间的距离为，渐近线方程为y＝±x，求双曲线方程.

分析　(1)据双曲线的渐近线方程，可求出a,b之间的关系，以Q点的坐标代入双曲线方程，即可求a,b的值，亦可据共渐近线的双曲线系方程求出，这样可据焦点所在坐标轴的讨论.即设双曲线方程为-＝λ(λ≠0)，将Q点坐标代入求得　λ＝4

故所求双曲线方程为　-＝1.

(2)当双曲线的焦点在x轴上时，设其方程为

-＝1,依题意有

　解得

故所求双曲线方程为　-＝1

当双曲线焦点在y轴上时，同理求得其方程为：-＝1

综上所述，所求双曲线的方程为

-＝1或-＝1.

例2　过双曲线-＝1的右焦点F₂，作斜率为2的弦AB，求｜AB｜的长.

分析　运用焦半径知识较为简便.

依题意有a＝3,c＝5,e＝,F₂(5,0)

联立方程组

消去y得　5x²-90x+261＝0.

设方程的两根为x₁,x₂.

于是｜AB｜＝e(x₁+x₂)-2a＝×-6＝24.

注：若用弦长｜AB｜＝·解计算量显然大一些，本例中AB为过焦点弦，所以运用焦半径解题就较自然了.

例3　已知直线l和双曲线-=1(a＞0,b＞0)及其渐近线依次交于A、B、C、D四点，求证：｜AB｜=｜CD｜.

分析　若直线l和x轴垂直，结论显然成立；若直线l不与x轴垂直，则可设l的方程为y=kx+m,代入双曲线方程并整理得：

(b²-a²k²)x²-2a²kmx-a²(m²+b²)=0,

设A(x₁,y₁),D(x₂,y₂),则x₁+x₂=再将y=kx+m代入双曲线渐近线方程

b²x²-a²y²=0　并整理得

(b²-a²k²)x²-2a²kmx-a²m²=0.

设B(x₃,y₃),C(x₄,y₄),则x₃+x₄=

∴x₁+x₂=x₃+x₄

表明线段AD的中点和线段BC的中点重合，故问题得到证明.

【难题巧解点拨】

例1　求与双曲线-＝1有共同渐近线且过点(2，3)的双曲线方程.

分析一　只要判断清楚已知点(2，3)与渐近线的位置关系，便可知双曲线方程的表达式，进而可求出方程.

解法一：双曲线-＝1的渐近线方程为：y＝±x

将x＝2代入方程y＝x得y＝·2＝<3

∴点(2，3)在直线y＝x的上方，于是设所求的双曲线方程为：

-＝1

∴　　　　　

由(1)设a＝3k,b＝4k，代入(2)得：-＝1

∴k＝± (舍负)

∴a＝3 b＝2

∴所求方程为： -＝1即-＝1

分析二　与双曲线-＝1有共同渐近线的双曲线方程表示为-＝λ，待定系数λ便可求出双曲线方程.

解法二：设所求双曲线方程为

-＝λ，(1)

将点(2，3)代入(1)得：

-＝λ　∴λ＝-　所求方程为：-＝-

即：-＝1为所求

说明：(1)由渐近线及一点可以确定双曲线的位置，解法一正是利用此性质先定位再求出a、b，进而求出双曲线方程.

(2)方程-＝λ　当λ＝0时，表示两条直线：+＝0和-＝0，正是双曲线的渐近线方程.因此当λ≠0时，方程表示以直线-＝0为渐近线的双曲线系.解法二正是利用了此原理，设方程再代入点坐标便可求出双曲线方程比较简捷.

例2　在双曲线-＝1的一支上不同的三点A(x₁,y₁)、B(,6)、C(x₂,y₂)与焦点F(0，5)的距离成等差数列.

(1)求y₁+y₂;

(2)证明线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求该定点的坐标.

分析　(1)从双曲线的焦半径分析往往用第二定义.

(2)证明过定点可采取求点坐标的方法.

解：(1)∵a＝2,b＝,c＝5,

∴e＝＝＝.

根据双曲线的第二定义，可得：

｜AF｜＝e(y₁-)＝ey₁-a＝y₁-2,

｜CF｜＝e(y₂-)＝ey₂-a＝y₂-2,

｜BF｜＝e(6-)＝6e-a＝6×-2=3.

又｜AF｜、｜BF｜、｜CF｜成等差数列，∴｜AF｜+｜CF｜＝2｜BF｜，即(y₁-2)+( y₂-2)＝2×3,∴y₁+y₂＝12.

(2)证明：设x₁+x₂＝t，则线段AC的中点为(,6).∵-＝1, -＝1.

∴-＝0,

∴＝(x₁+x₂)＝.

∴线段AC的垂直平分线的斜率k＝-，从而其方程为y-6＝- (x-)，即(y-)t+3x＝0，显然它过定点(0，).

点评：涉及焦半径问题往往考虑第二定义，一般来讲，双曲线-＝1上一点P(x₁,y₁)的左、右焦半径长为｜PF₁｜＝±(ex₁+a),｜PF₂｜＝±(ex₁-a)(其中P在右支上取正号，在左支上取负号).

【典型热点考题】

例1　已知双曲线-=1(a＞0,b＞0)左、右焦点分别为F₁和F₂，P是它左支上点，P到左准线距离为d.

问：是否存在这样的点P，使d,｜PF₁｜，｜PF₂｜成等比数列，说明理由.

分析　对于存在性问题，先假设存在满足题意的对象，然后结合题设条件进行判断.

设存在P(x₀,y₀)且x₀≤-a，使d，｜PF₁｜，｜PF₂｜成等比数列，则｜PF₁｜²=d｜PF₂｜，

设d′为P点到右准线的距离，由双曲线第二定义得：

==e　∴｜PF₁｜=ed,

∴(ed)²=d·ed′，∴ed=d′，

∴e(--x₀)=-x₀+,

∴x₀=　∵x₀≤-a,

∴≤-a,∴e²-2e-1≤0，

∴1-≤e≤+1,又e＞1，

∴1＜e≤+1.

故当双曲线的离心率e∈(1, +1)时，存在满足条件的P，而当e∈(+1,+∞)时，不存在满足条件的点P.

注：利用双曲线的第二定义解题是非常有效的方法.本例还可以利用双曲线的两种定义再结合不等式｜PF₁｜+｜PF₂｜≥｜F₁F₂｜求解，请同学们自己完成.

例2　如图，已知梯形ABCD中，｜AB｜=2｜CD｜，点E分有向线段所成的比为λ，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点.当（≤λ≤)时，求双曲线离心率e的取值范围.

分析　如图，以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系，则CD⊥y轴.

因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称.依题意，记A(-C，0)，C(,h),E(x₀,y₀,)其中c=｜AB｜为双曲线的半焦距，h是梯形的高.

由定比分点坐标公式得

x₀==，y₀=

-=1,　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

()²-()²=1　　　　　　　　　　 ②

由①式得=-1　　　　　　　　　　　　　　　③

把③式代入②式，整理得

(4-4λ)=1+2λ

故λ=1-

由题设　≤λ≤得≤1-≤.

解得　≤e≤.

所以双曲线的离心率的取值范围为［,］.

注：本例先求出C点纵坐标，用a、b、c表示，然后将E点坐标用λ表示，并代入双曲线方程，而得到含有e与λ的等式，由λ范围求出e的范围.

例3　已知双曲线的两个焦点分别为M、N，点M的坐标为(-2，-12)，点S(-7，0)、T(7，0)在双曲线.

(1)利用双曲线定义，求点N的轨迹方程；

(2)是否存在过P(1，m)的直线与点N的轨迹有且只有两个公共点A、B，且点P(1，m)恰是线段AB的中点?若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由.

分析　(1)设点N的坐标为(x,y)，它不同于点M(-2，-12).由双曲线定义知

｜｜SM｜-｜SN｜｜=｜｜TM｜-｜TN｜｜≠0

∵S(-7,0),T(7,0),∴｜SM｜=13,｜TM｜=15.

1°当｜SM｜-｜SN｜=｜TM｜-｜TN｜时，有｜TN｜-｜SN｜=2＜14=｜ST｜，

∴点N的轨迹是中心在ST的中点(0，0)，焦点为S、T的双曲线C的左支，除去M(-2，-12)和D(-2，12)两点.

双曲线C的方程：x²-=1(x＜0).

∴点N的轨迹方程为

x²-=1(x＜0,y≠±12).

2°当｜SM｜-｜SN｜=-(｜TM｜-｜TN｜)时，有｜TN｜+｜SN｜=28＞14=｜ST｜，

∴点N的轨迹是中心在ST的中点(0，0)，焦点为S、T的椭圆Q，除去M(-2，-12)和D(-2，12)两点.

椭圆Q方程：+ =1.

∴点N的轨迹方程为+=1(y≠±12).

综合1°、2°，点N的轨迹方程为

x²-=1(x＜0＝和+=1，其中y≠±12.

(2)1°当过点P(1，m)的直线的斜率k不存在时，直线l的方程为x=1，可得m=1.

2°当k存在时，设直线l:y=kx+m-k.若l过点M或点D.

∵两点M、D既在双曲线C上，又在椭圆Q上，但不在点N的轨迹上

∴l与点N的轨迹只有一个公共点，不合题意；若l不过M、D两点.

当-4＜k₂＜4时(双曲线C的渐近线方程为y±4=0)，利用图像知，直线l与点N的轨迹有三个公共点，不合题意.

当-∞＜k≤-4或4＜k≤+∞时，

直线l与点N的轨迹有两个公共点A、B，且点P(1，m)是AB的中点.

设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),则在

3x²₁+4y²₁=12×49,　　　　　　　　　　　　　　 ①

3x²₂+4y²₂=12×49,　　　　　　　　　　　　　　 ②

①-②，得3(x₁+x₂)(x₁-x₂)=-4(y₁+y₂)(y₁-y₂)　　　③

将x₁+x₂=2,y₁+y₂=2m, =k代入③，得k=-.

当4≤k＜+∞，即4≤-＜+∞时，有-≤m＜0.

【同步达纲练习】

A级

一、选择题

1.已知双曲线kx²-2ky²=4的一条准线是y=1，则实数k的值等于(　　)

A.　　　　　　B.-　　　　　 C.-　　　　　 D.

2.双曲线与其共轭双曲线有相同的(　　)

A.顶点　　　　　　B.焦点　　　　　　C.准线　　　　　　D.渐近线

3.过点(2，-2)且与双曲线x²-2y²=2有公共渐近线的双曲线方程是(　　)

A.-+=1　　　　　　　　　 B. -=1

C.- +=1　　　　　　　　　D. +=1

4.已知双曲线的半焦距为C，两准线间的距离为d，且c=d,则双曲线的离心率等于(　　)

A. 　　　　　　　B.　　　　 C.3　　　　　　 D.2

5.当8＜k＜17时，曲线+=1与+=1有相同的(　　)

A.焦距　　　　　　　　B.准线　　　　　　C.焦点　　　　　　D.离心率

二、填空题

6.以y=±x为渐近线，且焦点在坐标轴上，焦距为10的双曲线　　　　　　　 .

7.双曲线-=1的两准线相距　　　　　，两渐近线所夹的锐角等于　　　　　；

8.若双曲线的离心率为2，则其共轭双曲线的离心率为　　　　　　　 .

三、解答题

9.试求以椭圆+=1的右焦点为圆心，且与双曲线-=1的渐近线相切的圆方程.

10.过双曲线-=1的右焦点F作倾斜角为的弦AB，求弦AB的长及AB的中点M到右焦点F的距离.

AA级

一、选择题

1.在下列双曲线中，与双曲线-y²=1的离心率和渐近线都相同的是(　　)

A.3y²-x²=9　　　　　　　　 B.x²-3y²=9

C.3y²-9x²=1　　　　　　　　　D.3x²-y²=3

2.双曲线的两条渐近线方程为y=±x,则双曲线的离心率为(　　)

A.　　　　　　B.2　　　　C.或　　　　　　D. 或

3.过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线-=1的通径的长是(　　)

A. 　　　　　 B. 　　　　　C.9　　　　　　 D.10

4.已知双曲线-=1上的一点P到右焦点的距离为14，则P点到左准线的距离为(　　)

A.22　　　　　　B.24　　　　　　C.26　　　　　　D.28

5.已知双曲线x²-y²=1的左焦点为F，点P为双曲线在第三象限内的任意一点，则斜率k_PF的取值范围是(　　)

A.k≤0或k≥1　　　　　　　　　 B.k＜0或k＞1

C.k≤-1或k≥1　　　　　　　　　D.k＜-1或k＞1

二、填空题

6.双曲线16x²-9y²=144上一点P(x₀,y₀)(x₀＜0)到左焦点距离为4，则x₀=　　　　　　　 .

7.双曲线-y²=1的共轭双曲线的准线方程是　　　　　　　 .

8.双曲线-=1的准线和渐近线的交点到双曲线的中心的距离等于　　　　　 .

三、解答题

9.直线y=kx+1与双曲线x²-y²=1的左支交于A、B两点，直线l过点(-2，0)和AB中点，求直线l在y轴上截距b的取值范围.

10.求证：以过双曲线的一个焦点的弦为直径的圆，必与对应的准线相交，且这条准线截得的劣弧的弧度数为定值.

【素质优化训练】

1.过点A(1，1)且与双曲线x²-y²=2有且只有一个公共点的直线的条数是(　　)

A.1　　　　　　 B.2　　　　　　 C.3　　　　　　 D.4

2.双曲线的两条准线分焦点间的距离成三等分，则双曲线的离心率为(　　)

A.　　　　　B. 　　　　 C.　　　　　 D.2

3.若双曲线的两条渐近线是y=±x，焦点F₁(-，0)，F₂(，0)，那么它的两条准线间的距离是(　　)

A. 　　　　　B.　　　 C. 　　　D.

4.已知双曲线的两个焦点是椭圆16x²+25y²=160的两个顶点，双曲线的两准线分别过椭圆的两个焦点，则此双曲线的方程是(　　)

A. - =1　　　　　　　　　　　B. -=1

C.-=1　　　　　　　　　　　　　　D.- =1

5.已知E、F分别是离心率为的双曲线-=1(a＞0,b＞0)的左顶点与右焦点，记M(0，b)，则∠EMF等于(　　)

A.45°　　　　　　　　B.60°　　　　　　C.90°　　　　　　D.120°

二、填空题

6.已知双曲线-=1和点A(6，2)、B(5，0)，M是双曲线上的一个动点，则｜MA｜+｜MB｜的最小值为　　　　　　　 .

7.双曲线的离心率是e=3，则两渐近线的夹角是　　　　　　　 .

8.渐近线为y=±x,且和直线5x-6y-8=0有且仅有一个公共点的双曲线方程为　　　　　　　.

三、解答题

9.已知点A(，0)和曲线y=(2≤x≤2)上的点P₁，P₂，…，P_n，若｜P₁A｜，｜P₂A｜,…，｜P_nA｜成等差数列并且公差d∈(,),求n的最大值.

10.已知双曲线-=1(a＞0,b＞0)离心率e=，过点A(0，-b)和B(a,0)的直线与原点间距离.

(1)求双曲线方程；

(2)直线y=kx+m(k≠0,m≠0)与双曲线交于不同的两点C、D，且C、D两点都在以A为圆心的同一圆上，求m的取值范围.

【生活实际运用】

1.运用双曲线的光学性质，设计并制作一台灯或吊灯.

2.双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚构旋转所成的曲面，它的最小半径是6米，最小半径处的截口平面到地面距离是5米，底面截口半径是10米，求此双曲线的标准方程.

注：这是一个有实际意义的题目.解这类题目时，首先要确认以下两个问题：(1)选择适当的坐标系；(2)将实际问题中的条件借助坐标系用数学语言表达出来.双曲线的标准方程为-=1.

【知识验证实验】

1.已知双曲线2x²-y²=2，试问过点N(1，1)能否作一直线与双曲线交于C、D两点，且使N为CD的中点?这样的直线如果存在，求出它的方程，如果不存在，则说明理由.

将问题一般化：N(x₀,y₀)，双曲线方程为-=1，若过点N的双曲线的中点弦存在，则N点应在什么位置?其方程又为何?

2.点P是双曲线-=1右分支上任意一点，F₁，F₂分别为左、右焦点，设∠PF₁F₂=α，∠PF₂F₁=β，求证：3tan=tan.

解：在△PF₁F₂中，利用正弦定理及分比定理得===，

∴=，即2sin=sin,展开并简化，得3sincos=sincos，

∴3tan=tan.

【知识探究学习】

舰A在舰B的正东6km处，舰C在舰B的北偏西30°且与B相距4千米处，它们准备围捕海洋动物.某时刻A发现动物信号，4s后B、C同时发现这种信号，A发射麻醉炮弹.设舰与动物均为静止的，动物信号的传播速度是1km/s，炮弹的速度是km/s，其中g为重力加速度.若不计空气阻力与舰高，问舰A发射炮弹的方位角和仰角应是多少?

解：取AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立直角坐标系，则A、B、C舰的坐标分别为(3，0)、(-3，0)、(-5，2).

记动物所在位置为P，则｜PB｜=｜PC｜，于是P在BC中垂线上，其方程为x-3y+7 =0.

又A、C两舰发现信号的时间差为4秒，有｜PB｜-｜PA｜=4,于是P在双曲线-=1的右支上，求得P点坐标是(8，5)且｜PA｜=10.

又k_PA=，∴直线PA的倾斜角为60°，于是舰A发射炮弹的方位角是北偏东30°，

设发射的仰角是θ，初速度为v₀=,则=，

∴sin2θ==,

∴仰角θ=30°

参考答案：

【同步达纲练习】

A级

1.B　2.D 3.A　4.B　5.A 6. -=1或-=-1　7. ,arctan2　8.

9.解：由椭圆+=1的右焦点为(5，0)，∴圆心为(5，0)，又圆与双曲线-=1的渐近线相切，即圆心到直线y=±x的距离为圆的半径.∴r==4　于是圆的方程为(x-5)²+y²=16.

10.解：∵F(5,0),∴AB:y=x-5，将AB的方程代入双曲方程，得7x²+90x-369=0，设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),则x₁+x₂=-,x₁x₂=-,∴｜AB｜===，又x_m==-,∴｜MF｜=｜x_M-5｜=

AA级

1.B　2.C 3.B　4.B　5.B 6.-　7.y=±　8.a

9.解：由消去y得，(1-k²)x²-2kx-2=0,若令f(x)=(1-k²)x²-2kx-2,则直线与双曲线左支相交于A、B两点，等价于方程f(x)=0有两个不大于-1的不等实根，即：解得1＜k＜，又AB中点为(,)，∴直线l的方程为=y=，令x=0,b==，由k∈(1, )知b＜-2-或b＞2，故直线l在y轴上的截距b的取值范围为(-∞,-2-)∪(2,+∞).

10.证明：设PQ是过焦点F的弦，M是PQ的中点，l是与F相应的准线，分别过P、Q、M作l的垂线，垂足为P₁、Q₁、M₁，则｜MM₁｜=｜｜PP₁｜±｜₁｜｜=·｜±｜=｜PQ｜=＜R，当P、Q位于同一支时，取“+”，否则取“-”，∴以PQ为直径的圆必与准线l相交，且截得的劣弧的弧度数θ=2arccos=2arccos为定值.

【素质优化训练】

1.B　2.C 3.A　4.A　5.C 6. 　7.arctan　8. -y²=1

9.解：题设中的曲线是双曲线中的一段，即-y²=1,(2≤x≤2,y≥0),A( ,0)是它的右焦点，其右准线为l:x=,e=,设P_n(x_n,y_n)(2≤x_n≤2,y_n≥0)，则｜P_nA｜=e(x_n-)=x_n-2,∴｜P_nA｜min=-2,｜P_nA｜max=3,依题意，可设等差数列首项a₁＝-2,第n项a_n=3=-2+(n-1)d,得d= (n＞1)，又＜d＜，∴＜＜,得5-4＜n＜26-5,而7＜5-4且26-5＜15，∴7＜n＜15，故n可取最大值为14.

10.解：(1)过AB的直线方程为bx-ay-ab=0，由点到直线距离公式可得=　　①，又e==　　②，由①、②得b=1,a=，即所求双曲线方程为-y²=1

(2)由消去y,得(3k²-1)x²+6kmx+3(m²+1)=0，当3k²-1≠0即k≠±时，△=12(m²-3k²+1)＞0,即m²-3k²+1＞0　　③，设C(x₁,y₁),D(x₂,y₂),CD中点为M(x₀,y₀).则x₀==，y₀=kx₀+m=-，因C、D两点都在以A为圆心的同一圆上，∴AM⊥CD,而k_AM=　k_CD=k，∴=-3k²=4m+1　　④，由④得：4m+1＞0m＞-　　⑤，将④代入③：m²-(4m+1)+1＞0，得m＜0或m＞4，综合⑤得m的取值范围为(-，0)∪(4,+∞)