直线的方程

	学科：数学
	教学内容：直线的方程

【基础知识精讲】

同学们在学习本节知识的过程中，应重视对直线方程的定义的理解，切实掌握直线方程的五种形式，弄清各种形式的适用条件及相互转化.为此应经常性地联想图形位置并实际作图，数形结合、理解、记忆，还应弄清二元一次方程的图象与一次函数的图像间的关系.

直线方程的五种形式及相应的适用范围：

斜截式：y＝kx+b，不含垂直于x轴的直线.

点斜式：y-y₀＝k(x-x₀)，不含直线x＝x₀.

两点式：＝，不含直线x＝x₁(y₁≠y₂)和直线y＝y₁(x₁≠x₂).

截距式：+＝1，不含垂直于坐标轴和过原点的直线.

一般式：Ax+By+C＝0(A²+B²≠0).适用于平面直角坐标系内的任一直线.

1.本节的主要内容是根据给定条件确定直线的方程，以及讨论直线的有关性质.通常求一条直线的方程就是要确定相应的方程中的参数值，这往往是建立目标量的方程不等式条件组求解，而讨论直线的性质常常是要求出参数的值或范围.

2.求解直线的有关问题应充分运用数形结合的思想方法，灵活选用直线方程的形式.

本节学习了直线方程的五种基本形式，应注意体会从特殊到一般，从一般到特殊的思维方法，善于运用转换与化简的思想处理相关的数学问题.

【重点难点解析】

1.直线斜率的求法

一般地说，求直线斜率有三种方法：

(1)利用定义k＝tanα(α≠)；

(2)利用“两点式”

如果直线过两点A(x₁,y₁)、B(x₂、y₂)、(x₁≠x₂)，那么可由公式k＝求直线的斜率；

(3)利用直线的“斜截式”方程.

如果直线l的方程是以一般式给出，即Ax+By+C＝0(B≠0)，

那么，将l的方程化可为斜截式，即

y＝-x-

就可以得到直线l的斜率为-.

2.直线方程的求法

一般地，求直线的方程，应结合条件，先考虑选择直线方程的何种形式为宜.最常用的直线的“点斜式”方程和“斜截式”方程中，都含有直线的斜率k，若把k作为参数引入待定，一定要考察直线的斜率是否一定存在，否则容易漏解(即遗漏直线与x轴垂直的情况).

3.直线过定点的问题与二次方程表示直线的问题.

(1)解决直线系恒过定点的问题常常把字母看作参数处理.

(2)若关于x、y的二次方程表示两条直线，这说明方程可分解为两个因式积的形式.常用的方法是判别式法或待定系数法.

例1　若直线ax+by+c＝0通过第一、二、三象限，则(　　)

A.ab>0,bc>0　　　　 B.ab>0,bc<0　　　　 C.ab<0,bc>0　　　　 D.ab<0,bc<0

解：化直线方程ax+by+c＝0为截距式为+＝1.直线不过第四象限，所以直线在x轴上截距为负，在y轴上截距为正，即有-<0且->0ac>0且bc<0，所以ab<0.故选D.

例2　已知直线过点P(-5，-4)，分别求满足下列条件的直线方程：

(1)倾斜角的正弦为.

(2)与两坐标轴围成的三角形面积为5.

解：(1)设α是其倾斜角，sinα＝,α∈［0，π)，则k＝tanα＝±.

∴　所求直线方程是　y+4＝± (x+5)

即　4x-3y+8＝0或4x+3y+32＝0

(2)设所求直线方程为+＝1，因直线过点(-5，-4)，所以+＝1，即4a+5b＝-ab.又已知｜ab｜＝5，即｜ab｜＝10.

解方程组得 或，故可得所求直线方程为8x-5y+20＝0或2x-5y-10＝0.

例3　求直线ax+by+c＝0(a、b不同时为零)的倾斜角.

分析　考虑变形为斜截式，这里需分b＝0,b≠0讨论：

(1)当b＝0时，方程为x＝-.其倾斜角为90°.

(2)当b≠0时，直线即y＝-x-

斜率k＝-

若≤0即得倾斜角α＝arctan(-)

若>0，可得倾斜角α＝π-arctan.

例4　已知直线过点P(4，-3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线的方程.

分析　先设出方程的形式，再确定相应的参数.

解法一：由题设知，所求直线的斜率存在且不为0，故可设直线方程为y+3＝k(x-4).

令x＝0得y＝-4k-3，令y＝0得x＝.

由题意得｜-4k-3｜＝｜｜

∴k(4k+3)＝±(4k+3)(4k+3)(k+1)(k-1)＝0k＝1或k＝-1或k＝-.

故所求直线方程为x+y-1＝0,x-y-7＝0,3x+4y＝0.

解法二：设直线与两坐标轴的交点分别为(a,0)、(0,b).

(1)当ab≠0时，直线方程为+＝1.由点P在此直线上，有+＝1　①又由已知有｜a｜＝｜b｜  ②联立方程①，②可得a＝b＝1或a＝7,b＝-7.

所以此时直线方程为x+y-1＝0,x-y-7＝0.

(2)当a＝b＝0时，直线过原点与点P(4，-3)，易知直线方程为3x+4y＝0.

综上所述，所求直线方程为x+y-1＝0,x-y-7＝0,3x+4y＝0.

点评：①设斜率参数k时，一定要确定其存在性；使用截距式方程，一定要注意截距非零.②当题设条件不唯一时，通常要对各种情形进行讨论.

【难题巧解点拨】

例1　(1)求证：不论m为何实数，直线(2m-1)x-(m+3)y-(m-11)＝0恒过定点，并求出此定点坐标.

(2)二次方程3x²+2xy-y²+7x-5y+k＝0表示两条直线.

分析　(1)方法(一)：先由m取特值探求，再作一般论证.分别令m＝,m＝-3得两直线.

-(+3)y-(-11)＝0与(-6-1)x-(-3-11)＝0.

易知其交点为(2，3)，检验知：

当x＝2,y＝3时，对m∈R，方程(2m-1)x-(m+3)y-(m-11)＝0成立.

故直线过定点(2，3).

方法(二)：原直线方程变形为(变更主元)

(x+3y-11)-(2x-y-1)·m＝0视为关于m的方程恒成立，于是有

∴　直线恒过定点(2，3).

(2)方法(一)：

①方程变形为3x²+(2y+7)x-(y²+5y-k)＝0

　Δ＝(2y+7)²+12(y²+5y-k)＝16y²+88y+(49-12k)

若方程表示两直线，则x＝中，Δ应为y的完全平方式.于是知方程：

16y²+88y+49-12k＝0

的判别式Δ′＝88²-4×16×(49-12k)＝0k＝-6.

②当k＝-6时，Δ＝(4y+11)².故可知方程3x²+(2y+7)x-(y²+5y-k)＝0x＝3x-y-2＝0或x+y+3＝0.

方法(二)：

由题意可设3x²+2xy-y²+7x-5y+k

＝(3x-y)(x+y)+(7x-5y)+k

＝(3x-y+A)(x+y+B)

展开右边由待定系数法得：

∴　直线方程为x+y+3＝0和3x-y-2＝0.

例2　在直角坐标系中，过直线x-y-1＝0与直线2x-y-5＝0的交点作一直线，使它与两坐标轴围成的面积为24个单位，求这条直线的方程.

分析　根据题意，本题可设所求直线方程为截距式.也可设点斜式求解：

解法一：设所求直线方程为

+＝1，求得两条已知直线的交点为(4，3)

则有

;　　　

故所求直线有三条：3x+4y-24＝0;3(+1)x+4(1-)y-24＝0;

3(1-)x+4(1+)y-24＝0

解法二：设所求直线斜率为k，由点斜式，所求方程可为y-3＝k(x-4).

令x＝0,得y＝3-4k　　令y＝0，得x＝

∴｜(3-4k) ｜＝24;得(4k-3)²＝48｜k｜

若k>0，则(4k-3)²＝48k,∴k＝

若k<0，则(4k-3)²＝-48k,∴k＝-

故所求直线方程是：3x+4y-24＝0;3(1+)x+4(1-)y-24＝0;

3(1-)x+4(1+)y-24＝0

说明：直线在坐标轴上的截距是有向线段的数量而不是长度，故求面积时a,b必须加绝对值.本题也可以用过两直线交点的直线系来解.

例3  过P(3，2)的直线l在两坐标轴上的截距都为正，两交点分别为A，B.

(1)求△AOB的面积的最小值及此时l的方程；

(2)求直线l在两轴上截距之和的最小值(要求用多种方法求解上述问题).

解：(1)△AOB的面积的最小值为12，此时l的方程为2x+3y-12=0；

(2)5+2

【命题趋势分析】

本节考题通常是关于直线方程、倾斜角、斜率、图象的试题，都属于基本要求，以考查基础知识为目的.高考中直线以解答题形式出现的可能性不大，但解答题中关于圆锥曲线的综合题也常考查直线知识，应适当训练一些有关直线知识的小综合题.

【典型热点考题】

例1　过点M(0，1)作直线l，使其夹在两直线l₁:x-3y+10＝0

l₂：2x+y-8＝0之间的线段被M平分，求直线l的方程.

分析　所求直线l经过点M(0，1)，再找一个条件就可以写出方程，那么只要再求出l上一个点或l的斜率等就行了.

解法一：设l₁∩l＝P₁,l₂∩l＝P₂,l₁∩l₂＝P,作MQ∥l₁交于l₂于Q点，则Q为PP₂的中点，

∴由　得

∴P点坐标为(2，4)，又MQ的方程为：y-1＝ (x-0)，即x-3y+3＝0,

∴由得

∴Q点坐标为(3，2)，因此P₂点的坐标为(4，0)，

根据两点式方程可得直线l的方程+y＝1，即x+4y-4＝0.

解法二：设l的方程为y＝kx+1，由得点P₁的坐标为(,)，

由得点P₂的坐标为(,).

∵M(0，1)是P₁P₂的中点，

∴+＝0，解之得k＝-.

根据直线的点斜式方程可得直线l的方程为：y＝-x+1，即：x+4y-4＝0.

解法三：∵P₁∈l₁，设P₁(x₁,y₁)，则x₁-3y₁+10＝0……①

又∵M(0，1)为P₁P₂的中心，

∴P₂的坐标为(-x₁,2-y₁)，由于P₂∈l₂，所以-2x₁+2-y₁-8＝0，即2x₁+y₁+6＝0……②

由　　

解之得根据直线的两点式方程可得直线l的方程为：＝，即x+4y-4＝0.

例2　直线l过点M(2，1)且与x轴、y轴的正方向分别交于A、B两点.

(1)求使△AOB的面积最小时的直线l的方程；

(2)求使｜MA｜·｜MB｜最小时的直线l的方程；

分析　认真审题，弄清题意，挖掘隐含条件，选择设立合适的直线方程形式是顺利解决综合题的关键.本题考查直线方程、基本不等式、函数最值等知识点.

解：(1)根据意设所求直线方程为+＝1，显然，a>0,b>0,∵l过点M(2，1)　∴+＝1

解得b＝，由b>0,a>0可知a>2

S_△AOB＝｜a｜·｜b｜＝ab＝a·＝

化简得a²-2as+4s＝0　　　　　　　　　　　①

∵a>0，故以上方程有实根.

∴△＝4S²-16S≥0，解得S≥4或S≤0(舍去).

∴S＝4为面积的最小值，将它代入①式，

得a²-8a+16＝0，解得a＝4,∴b＝＝2.

∴l: +＝1.即x+2y-4＝0.

(2)设所求直线方程为+＝1,

由(1)知b＝，且b>0,a>2

｜MA｜·｜MB｜＝·

＝·

＝2≥2＝4

当且仅当(a-2)²＝时，｜MA｜·｜MB｜取得最小值，由(a-2)⁴＝1可解得a＝3或a＝1(舍去，∵a>2)，当a＝3时，b＝＝3，故所求直线方程为：

+＝1，即x+y-3＝0

【同步达纲练习】

A级

一、选择题

1.下列四个命题中真命题是(　　)

A.经过定点P₀(x₀,y₀)的直线都可以用方程y-y₀＝k(x-x₀)表示；

B.经过任意两个不同点P₁(x₁,y₁)、P₂(x₂,y₂)的直线都可以用方程(y-y₁)(x₂-x₁)＝(x-x₁)(y₂-y₁)表示；

C.不经过原点的直线都可以用方程+＝1表示；

D.经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx+b表示.

2.直线3x+4y-5＝0的倾斜角是(　　)

A.arctan　　　　　　　　　  　B.arctan(-)

C.π-arctan　　　　　　　　　 D.π+arctan

3.若点P(x₀,y₀)在直线Ax+By+C＝0上，则直线方程可表示为(　　)

A.A(x-x₀)+B(y-y₀)＝0　　　　　　 B.A(x-x₀)-B(y-y₀)＝0

C.B(x-x₀)+A(y-y₀)＝0　　　　　　 D.B(x-x₀)-A(y-y₀)＝0

4.若直线4x-3y-12＝0被两坐标轴截得的线段长为，则c的值为(　　)

A.1　　　　　　 B. 　　　　　 C.±　　  　　　　D.±1

5.过点P(1，1)作直线l，与两坐标轴相交所得三角形面积为10，则直线l有(　　)

A.1条　　　　　 B.2条　　　　　 C.3条　　　　　　　 D.4条

二、填空题

6.与直线x-y+＝0关于原点成中心对称的直线方程是　　　　　　 .

7.将直线y＝x+-1绕它上面一点(1，)沿逆时针方向旋转15°，则所得直线方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　　.

8.直线ax-6y-12a＝0(a≠0)在x轴上的截距是它在y轴上的截距的3倍，则a等于　　　　　　 .

三、解答题

9.过点A(8，6)引三条直线l₁、l₂、l₃，它们的倾斜角之比为1∶2∶4，若直线l₂的方程是y＝x，求直线l₁、l₃的方程.

10.直线l与两坐标轴围成一个面积为18的等腰直角三角形，求直线l的方程.

参考答案：

【同步达纲练习】

A级

1.B　2.C  3.A　4.B　5.D  6.x-y-=0　7.y= x　8.-2

9.解：设直线l₂的倾斜角为α，则tanα=,于是tan===,tan2α===.故所求直线l₁的方程为y-6=(x-8),即x-3y+10=0，l₃的方程为y-6=(x-8),即24x-7y-150=0.

10.x+y+6=0,x+y-6=0，x-y+6=0,x-y-6=0.