高二数学第一学期教学质量检测试卷

高二数学第一学期教学质量检测试卷

第Ⅰ卷（选择题）

(本试卷满分150分，在120分钟内完成)

一、选择题：（本题共10小题，每小题6分，满分60分，请将答案直接填在下表中）

　

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
答案

1. 若a，b，c∈R，则下列命题正确的是

（A）如果，那么　　　　（B）如果，那么

（C）如果，那么　　　　　　　　 （D）如果，那么

2. 已知x＞0，则函数的最小值为

（A）6　　　　　　 （B）26　　　　　　　　　　　  （C）2－4　　　　　　 （D）2＋4

3. 已知a、b是不相等的正实数，则下列关系式中值最大的是

（A）　　　　　 （B）　　　　　　　　  （C）　　　　　 （D）

4. 不等式的解集为

（A）　　　　　　　 （B）

（C）　　　　　　　　 （D）

5. 如果经过点A（m，2）、B（－m，2m－1）的直线的倾斜角为，那么m＝

（A）－　　　　　　　 （B）　　　　　　　　　　　 （C）－　　　　　　　　　  （D）

6. 已知x、y满足约束条件，则z＝2x＋y的最小值为

（A）3　　　　　　　　　　 （B）　　　　　　　　　　 （C）－3　　　　　　　　　　　 （D）－4

7. 已知＝1，则x＋y的最大值为

（A）　　　　　　  （B）1　　　　　  　　　　　　　（C）－1　　　　　　　　　　  （D）－

8. 椭圆＝1上一点P到一个焦点的距离等于3，则点P到相对应的准线的距离为

（A）4　　　　　　　　　 （B）5　　　　　　　　　 （C）　　　　　　　　　　　　　 （D）

9. 双曲线的两条准线的距离等于

（A）　　　　　　　　  （B）　　　　　　　　　　 （C）　　　　　　　　  （D）

10. 经过抛物线焦点的直线l交抛物线于A、B两点，且AB＝8，则直线l的倾斜角的大小为

（A）60⁰ （B）45⁰ （C）60⁰或120⁰  （D）45⁰或135⁰

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）

11. 不等式3x－4≤19的解集是 　　　　　　　　　　　　　　　　　.

12. 直线与直线夹角的大小是　　　　　　　　　　　　　　　  .

13. 过点（2，3）且与圆相切的直线方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .

14. 如果直线y＝kx－1与双曲线没有公共点，则k的取值范围是　　　　　　　　　　　　 .

三、解答题（本大题共6小题，满分74分）

15.（本题满分12分）

求证：.

16. （本题满分12分）

已知点P（－1，0）与Q（1，0），且动点M满足，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.

17. （本题满分12分）

已知双曲线的两个焦点为F₁，F₂，点P是双曲线上一点，求使PF₁⊥PF₂的点P的坐标.

18. （本题满分12分）

如图，抛物线形拱桥的顶点距水面2米时，测得拱桥内水面宽为12米，当水面升高1米后，求拱桥内水面的宽度.

19.（本题满分12分）

已知集合A＝，B＝.

（Ⅰ）当a＝2时，求AB；

（Ⅱ）求使BA的实数a的取值范围.

20.（本题满分14分）

直线l：y＝kx＋1与椭圆C：交

于A、B两点，以OA，OB为邻边作平行四边形

OAPB（O为坐标原点）（如图）.

（Ⅰ）当a＝2，k＝－1时，求AB的长；

（Ⅱ）当a＝2时，求点P的轨迹方程.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　参考答案

一、选择题

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
答案	A	D	C	B	B	C	A	B	D	D

二、填空题

11. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 12. 45⁰

13. 3x－4y＋6＝0 和x＝2　　　　　　　　　　　　　　 14.

三、解答题

15. 证明：∵ ………………………………………………………4分

＝

＝≥0…………………………………………………………………10分

∴　……………………………………………………………………12分

16.解：设点M的坐标为（x，y），………………………………………………………2分

由于，

则，……………………………………………………………………6分

整理得：…………………………………………………………8分

即 …………………………………………………………………10分

这就是点M的轨迹方程.图形为以（－，0）为圆心，为半径的圆.……………12分

17.解：设点P（x₀，y₀），因为它在双曲线上，所以

---------------------①………………2分

双曲线的焦点为F₁（－5，0），F₂（5，0），……………………………………………6分

∵ PF₁⊥PF₂，

∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ---------------②………………8分

解由①、②两式组成的方程组，得

或或或…………………10分

∴ 所求的点有四个：A（），B（），C（），

D（）.………………………………………………………………………12分

18. 解：以拱桥的顶点为原点，水平方向为x轴建立直角坐标系，

设拱桥抛物线方程为（p＞0），……………………………………………2分

∵ 拱顶离水面2m时，水面宽12m，即点（6，－2）在抛物线上，

∴ 6²＝－2p·（－2），p＝9，

即抛物线方程为………………………………………………………………6分

又∵水面上升1m，即y＝－1，代入抛物线方程中，得

x²＝－18·（－1），即x＝±3，…………………………………………………10分

故这时水面宽为6m.…………………………………………………………………12分

19. 解：（Ⅰ）当a＝2时，A＝（2，7），B＝（4，5）………………………………2分

∴ AB＝（4，5）.………………………………………………………………………4分

（Ⅱ）∵ B＝（2a，a²＋1），……………………………………………………………5分

当a＜时，A＝（3a＋1，2）

要使BA，必须，此时a＝－1；………………………………………7分

当a＝时，A＝，

使BA的a不存在；……………………………………………………………………9分

当a＞时，A＝（2，3a＋1）

要使BA，必须，此时1≤a≤3.……………………………………11分

综上可知，使BA的实数a的取值范围为[1，3]∪{－1}……………………………12分

20. 解：（Ⅰ）当a＝2，k＝－1时，

联立方程组得，解之得或，…………………………3分

即A、B的坐标分别为（）和（1，0）

∴ AB＝.……………………………………………………6分

（也可利于弦长公式计算）

（Ⅱ）设P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则E（）.

由，两式相减并整理得：，……………………8分

即，

由于l过定点M（0，1），即，

∴  ，…………………………………………………………………………12分

即 ，这就是点P的轨迹方程.…………………………………………14分

注：本参考答案只给出一种解法，其他解法请老师们参考本答案的标准给分.