高二数学（下）期末质量检查（理科）试卷

高二数学（下）期末质量检查（理科）试卷

命题人：厦门六中 徐福生　　 审定：厦门教育学院数学科

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。全卷满分为150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题　共60分）

一、选择题：（每小题5分，共60分）

1、在正方体ABCD-ABCD中，与对角线AC异面的棱有（　　）

A.12条　　　　B.6条　　　　 C.4条　　　　 D.2条

2、(a+b)(nN)的展开式中二项式系数最大的项是（　　）

A.第n项　　　B.第n+1项　　 C.第n+2项　　D.第n+1或n+2项

3、“直线m、n与平面所成的角相等”是“m∥n”的（　 ）

A.必要不充分条件　　　　　　 B.充分不必要条件

C.充要条件　　　　　　　　　 D.既不充分也不必要条件

4、A+A+A+A+…+A+A等于（　　）

A.2C　　　　B.2C　　　　C.2C　　　　D.2C

5、已知直线m、n和平面、，则⊥的一个充分条件是（　　）

A.m⊥n，m∥，n∥；　　　 B. m⊥n，=m，n；

C.m∥n，n⊥，m；　　　 D. m∥n，m⊥，n⊥.

6、在北纬60°圈上有甲、乙两地，它们在纬度圈上的弧长等于(R是地球的半径)，则这两地的球面距离为（　　）

A.R　　　 B.R　　　　C.R　　　　D.R

7、AC是平面内的一条直线，P为外一点，PA=2,P到的距离是1，记AC与PA所成的角为，则必有（　　）

A.　　 B.cos≤　　 C.sin≥　 D.tan≥

8、有5条线段其长度分别为3、5、6、9、10，任取其中的三条线段头尾相连组成三角形，则最多可组成三角形的个数是（　　）

A．4　　　 　 B．8　　　　　 C．10　　　　  D．6

9、某人对同一目标进行射击，每次射击的命中率都是0.25，若要使至少命中一次的概率不小于0.75，则至少应射击（　　）

A.4次　　　　  B.5次　　　　  C.6次　　　　  D.8次

10、正方体的全面积是a，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是（　　）

A. 　　　　 B. 　　　　C.2　　  　 D. 3

11、在100，101，……，999这些数中，各数位的数字按严格递增或严格递减顺序排列的数的个数是（　　）

A.120　　　　　 B.168　　　　　 C.204　　　　　 D.216

12、平面M与平面N相交成锐角，M内一个圆在N内的射影是离心率为的椭圆，则cos等于（　　）

A.　　　　　　B.　　　　  C.　　　　  D.

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：(每小题4分，共16分)

13、若A、B为两相互独立事件，且P(A)=0.4，P(A+B)=0.7，则P(B)=_________；

14、若(3x-1)=ax+ax+……+ax+a，则a+a+……+a=_________；

15、若一个简单多面体的面都是三角形，顶点数V=6，则它的面数F=______；

16、已知二面角—l—为60，点A，点A到平面的距离为，那么点A在面上的射影A 到平面的距离为_________。

三.解答题：（本大题共74分）

17、（本小题满分12分）

某小组有男、女学生共13人，现从中选2人去完成一项任务。设每人当选的可能性相同，若选出的两人性别相同的概率为，求

⑴选出的两人性别不同的概率；

⑵该班男、女生各有多少人。

18、（本小题满分12分）

四面体ABCD中，对棱AD⊥BC，对棱AB⊥CD，试证明：AC⊥BD.

19、（本小题满分12分）

甲、乙两人独立地破译一份密码，甲能破译出密码的概率是1/3，乙能破译出密码的概率是1/4，试求：

①甲、乙两人都译不出密码的概率；

②甲、乙两人中恰有一人能译出密码的概率；

③甲、乙两人中至多有一人能译出密码的概率.

20、（本小题满分12分）

设a₁=1，a₂=1+q，a=1+q+q，……，a=1+q+q+…+q　(nN，q≠±1)，

记A=Ca+Ca+…+Ca

⑴用q和n表示A；

⑵又设b+b+…+b=，求证：{b}为等比数列.

21、（本小题满分12分）

直三棱柱ABO-ABO中，∠AOB=90°，D为AB的中点，AO=BO=BB=2.

①求证：BO⊥AB；

②求证：BO∥平面OAD；

③求点B到平面OAD的距离。

22、（本小题满分14分）

海岛O上有一座海拔1000米的山，山顶上有一个观察站A。上午11点该观察站测得一轮船在海岛O的北60°东C处，俯角为30°；上午11点10分又测得该船在海岛的北60°西D处，俯角60°，问：

⑴这船的速度是每小时多少公里？

⑵如果船的航向及船速不变，它何时到达岛的正西方向？到达正西方向时所在点E离岛多少公里？

高二数学（下）期末质量检查（理科）答案

第Ⅰ卷（选择题　共60分）

一、选择题：（每小题5分，共60分）

1、B　　　 2、D　　　3、A　　　4、C　　　5、C　　　 6、C

7、D　　　 8、D　　　9、B　　　10、A　　 11、C　　　12、B

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：(每小题4分，共16分)

13、0.5　　 14、129　　 15、8　　　16、

三.解答题：（本大题共74分）

17、（本小题满分12分）

解：⑴记事件A为从男、女学生13人中任选出两人的性别相同，

即P（A）=，

　则事件为从男、女学生13人中任选出两人的性别不同，…………3分

则P（）=1- P（A）=1-=。……………………………………5分

⑵设该班男生有x人，则女生有(13-x)人，（　0£x£13，xÎN）………6分

则=，………………………………………………………9分

得x²-13x+40=0，解得x=8或x=5，………………………………………11分

故该班男生有8人，女生有5人；或该班男生有5人，女生有8人。…12分

18、（本小题满分12分）

证法1：作AO⊥平面BCD于O，则BO、CO、DO分别为AB、AC、AD在平面BCD内的射影.……………………………………………………3分

　　　　∵CD⊥AB,CD平面BCD

　　　  ∴CD⊥BO（三垂线定理的逆定理）…………6分

　　　　同理BC⊥DO

　　　　∴O为△BCD的垂心…………………………9分

　　　　从而BD⊥CO

　 ∴BD⊥AC（三垂线定理），即AC⊥BD…………12分

证法2：作出向量、、、、、.

∵⊥，⊥

∴·=0，·=0…………………………………4分

又=+，=+

∴·=·+·++·…………8分

　　　　　 =·+ (++)

　　　　　 =·+·=0

∴⊥　　  ∴AC⊥BD……………………………………12分

19、（本小题满分12分）

解：记甲、乙两人独立地破译出密码的事件分别是A、B，则P(A)=,

P(B)=…………………………………………………………3分

（1）甲、乙两人都译不出密码的概率为：

P(·)=P()·P()=(1-)(1-)=…………………………6分

（2）甲、乙两人中恰有一人能译出密码的概率为：

　P(A·+B·)=P(A·)+P(B·)=(1-)+(1-)=……9分

（3）甲、乙两人中至多有一人能译出密码的概率为：

　1- P(A·B)=1-×=……………………………………………12分

20、（本小题满分12分）

解：(1)∵q≠1　　　∴a=…………………………………………2分

于是A=C+C+…+C

=[(C+C+…+C)-(Cq+Cq+…+Cq)]……………4分

=[(C+C+…+C)-(C+Cq+…+Cq)]

=[2-(1+q)](q≠1).……………………………………………6分

　　(2)b+b+…+b=[1-()]

b+b+…+b=[1-()] （nN，n³2）

相减得:b=[()-()]……………………………8分

=()()

=()（nN，n³2）

又b₁=，则:b()（nN）…………………………10分

∴=(q≠-1)　 

∴{b}是等比数列.…………………………………………………12分

21、（本小题满分12分）

证法1：（1）连结OB，　

∵OO⊥平面AOB,∴OO⊥AO

即AO⊥OO，又AO⊥OB　

∴AO⊥平面OOBB

∴O B为A B在平面OOBB内的射影…2分

又OB=B B　∴四边形OOBB为正方形

∴B O⊥OB

∴B O⊥A B（三垂线定理）………………………………4分

（2）连结A O交OA于E，再连结DE.

∵四边形AAOO为矩形 ,∴E为A O的中点.

又D为AB的中点，∴BO∥DE…………………………6分

又DE平面OAD，BO平面OAD

∴BO∥平面OAD…………………………………………8分

(3)令B点到平面OAD的距离为h

∵OA=2，AD=，OD=　　　　∴OD+ AD= OA

∴△ADO为Rt△　　　　  ∴S=·AD·OD=

∴V=·S·h=h………………………………10分

又S=·S=1

∴V=·S·AA=×1×2=

又V=V　　　　∴h=　　 ∴h=

即B点到平面OAD的距离为.……………………12分

证法2：以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则:

O(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),A(2,0,2),

B(0,2,2), O(0,0,2), D(1,1,2).…………………………………2分

⑴∵=(-2,2,-2),=(0,-2,-2)

∴·=(-2) ·0+2·(-2)+(-2) ·(-2)=0

∴⊥　　∴B O⊥A B……………………4分

⑵取OA的中点为E，则E点的坐标是(1,0,1)，

∴=(0,-1,-1),　　　　又=(0,-2,-2)

∴=2　 又BO、DE不共线，　

∴BO∥DE……………………………………………………6分

又DE平面OAD，BO平面OAD

∴BO∥平面OAD……………………………………………8分

⑶令平面OAD的法向量为=(x，y，z)，

则⊥，⊥　 ∴·=0, ·=0

又=(-2,0,2)　　　　=(-1,1,2)

∴

取=(1,-1,1)　  ………………………………………………10分

 又=(-2,2,2)

∴B点到平面OAD的距离为:== …………12分

22、（本小题满分14分）

解：(1)如图所示，利用Rt△AOC和Rt△AOD可求得OC=(公里)，

OD=(公里)…………………………………………2分

在△ODC中，由余弦定理，得

CD=OC+OD-2·OC·ODcos120°

=()+()-2·(-)=

∴DC= (公里)……………………………………4分

∴v==6·DC=6=2(公里/小时)…………6分

(2) 如图所示，过C作CF∥OD，则∠CFE=∠DOE=30°

∴CO=CF=……………………8分

而△OED∽△FEC

∴=，即=　　  ∴OE=EF

作CM⊥OF，则OM=OF

于是　　OE=OM=MF

在Rt△OMC中，OM=OC·cos30°

∴OE=OF=OM=OC·cos30°=·=(公里)…………10分

在△EOC中，由余弦定理，得

　　CE=OE+OC-2·OE·OCcos150°

　　　 =()+()-2··(-)=

∴CE=…………………………………………………………12分

∴t===(小时)

因此，若船的速度不变，11点15分船可到达岛的正西方向，此时所在点E距岛1.5公里。……………………………………………………………………14分