6.1不等式的性质-高中二年级数学试题练习、期中期末试卷、测验题、复习资料-高中数学试卷-试卷下载

学科：数学

教学内容：6.1 不等式的性质

学习目的：

1.重视实数的运算性质与大小顺序之间的关系.

2.明确比较两个实数a与b的大小，就是判断它们的差a-b的符号.

3.掌握不等式的每一个性质及每一个性质的条件.

4.注意将不等式的性质与等式的性质进行类比，特别要搞清楚它们之间的区别.

方法导引：

1.比较两个实数的大小，常常利用作差法，作商法，平方作差法.

2.证明不等式的性质，常常利用比较实数大小的方法.

3.证明简单的不等式(或判断一个不等式是否正确)，常常利用不等式的性质，特别要注意不等式成立的条件.

4.不等式的应用，常常将实际问题转化为不等式的相关问题，然后利用不等式的性质求解.

例题精讲：

例1　若a,b∈R⁺，比较+与+的大小.

分析：作差法，作商法，平方作差法是比较两数大小的常用方法，我们在解题中要时刻记住这一条.

解法一：(作差法).　∵　a,b∈R⁺

∴　〔+〕-(+)＝+--

＝+＝(a-b)(- )

＝＝≥0

∴　 +≥+.

解法二：(作商法).　∵　a,b∈R⁺

∴　＝

＝＝

＝≥＝1

∴　 +≥+.

解法三：(平方作差法).

∵ 〔+〕²-(+)²

　＝(++2)-(a+b+2)

　＝-(a+b)

　＝(a²+b²-ab-ab)

　＝≥0

∴　 +≥+.

例2　设2<a<3,-4<b<-3,求a+b,a-b,,ab,的取值范围.

分析：运用不等式的性质解题的关键是弄清性质成立的前提条件.

解：(1)∵ 2<a<3,-4<b<-3　∴　-2<a+b<0　(加法法则)

(2)∵　-4<b<-3　∴　3<-b<4　(乘法单调性)

∵　2<a<3　∴　5<a-b<7　(加法法则)

(3)∵　-4<b<-3　∴　-<<-　(倒数法则)

∴　<-<　(乘法单调性)　∴　<-<1　(乘法法则)

∴　-1<<-　(乘法单调性)

(4)∵　3<-b<4　∴　6<-ab<12　(乘法法则)

∴　-12<ab<-6　(乘法单调性)

(5)∵　3<-b<4　∴　9<b²<16　(乘方法则)

∵　2<a<3　∴<<　(倒数法则)

∴　3<<8　(乘法法则)

点评：在求解过程中要避免犯如下错误：

　　 2<a<3

由　　　　　得-8<ab<-9.这是因为在运用乘法法则时不符合其前提条件.

　　 -4<b<-3

例3　如果a>b，则下列不等式中正确的是(　　)

A.algx>blgx　(x>0)　　　B.ax²>bx²

C.a²>b²　　　　　　　　 D.2^xa>2^xb

分析：在进行不等式变形时，要注意每一步骤的理论依据是什么，切忌“随心所欲”.

解：∵　lgx∈R，当lgx<0时，由a>b

得　algx<blgx,∴　algx>blgx不成立.

x＝0时，ax²＝bx²＝0　∴ax²>bx²不成立.

∵　a²-b²＝(a+b)(a-b)　由a>b得a-b>0，但a+b的符号不确定，∴a²>b²不成立.

∵　2^x>0　∴2^xa>2^xb成立.

因此应选D.

点评：在运用不等式的性质时，乘以“数(式)”时要当心，进行“放、缩”时要当心，在“取倒”时要当心.

疑难解析：

例　已知f(x)＝ax²-c　且-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围.

分析一：要求f(3)的取值范围，因为f(1),f(2)的范围已知，故应建立f(3)关于f(1)和f(2)的关系，可通过a、c将f(3)用f(1)和f(2)表示.

解法一：∵　f(1)＝a-c,　　f(2)＝4a-c

　　　　a＝

∴　

　　　　c＝

∴　f(3)＝9a-c＝9×-

＝-f(1)+f(2)

∵　-4≤f(1)≤-1　　　 ∴　≤-f(1)≤

∵　-1≤f(2)≤5　　　　∴　-≤f(2)≤

∴　-1≤-f(1)+ f(2)≤20

即　-1≤f(3)≤20

分析二：建立f(3)关于f(1)和f(2)的关系时，也常用待定系数法.

解法二：令f(3)＝mf(1)+nf(2)

则　9a-c＝m(a-c)+n(4a-c)

即　9a-c＝(m+4n)a-(m+n)c

　　　 m+4n＝9　　　　　　 m＝-

∴　　　　　　　　解得

　　　 m+n＝1　　　　　　　 n＝

∴　f(3)＝-f(1)+ f(2)

下面解法同解法一.

分析三：运用数形结合的思想方法，让问题变得直观明了.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 -4≤x-y≤-1

解法三：依题意，问题转化为当动点P(x,y)在满足条件　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 -1≤4x-y≤5

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 -4≤x-y≤-1

的区域上变化时，求b＝9x-y的取值范围.而满足条件

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 -1≤4x-y≤5

的区域是由直线x-y＝-1，x-y＝-4及直线4x-y＝5，4x-y＝-1围成的平行四边形区域(图6-1中阴影部分).

图6-1

下面考虑在直线9x-y＝b平行移动过程中，当它与图6-1中阴影部分有公共点时，求b的取值范围.易知，当直线9x-y＝b经过点A(0，1)时，b＝9x-y取最小值9×0-1＝-1，当直线9x-y＝b经过点c(3,7)时，b＝9x-y取最大值9×3-7＝20.

∴　-1≤b≤20　即-1≤9x-y≤20

∴　-1≤f(3)≤20

注意：本题在求解过程中，常常犯这样的错误.

　　 -4≤a-c≤-1　　　　 0≤a≤3

由　　　　　　　　求得

　　 -1≤4a-c≤5　　　　 1≤c≤7

从而-7≤9a-c≤26

即　-7≤f(3)≤26.

显然，f(3)的取值范围扩大了，其扩大的原因是由满足条件形成的区域(图6-2中阴影部分)比图6-1中所示的区域要大，所以它们表示的范围不同.

事实上，在图6-2中，当直线9x-y＝b经过点D(0，7)时，b＝9x-y取最小值9×0-7＝-7.当直线9x-y＝b经过点B(3，1)时，b＝9x-y取最大值9×3-1＝26.从而得到-7≤9x-y≤26.即-7≤f(3)≤26.

考点预测：

本节考点：

1.利用作差法，作商法比较两个实数的大小.

2.利用不等式的性质判断不等式的正误.

3.利用不等式的性质求变量的取值范围.

综合实践：

1、已知等比数列｛a_n｝的首项与公比均为a(-1<a<0)，若b_n＝a_nlg｜a_n｜(n∈N)，问是否存在自然数n₀，使得对于任意n∈N都有b_n≥?若存在，求出n₀的值；若不存在，请说明理由.

解：∵a_n＝a·a^n-1＝aⁿ，∴b_n＝naⁿlg｜a｜.

∵-1<a<0，∴n为偶数时，b_n<0,n为奇数时，b_n>0,假设符合条件的n₀存在，则n₀必为正偶数.

∵b_2k+2-b_2k＝(2k+2)a^2k+2lg｜a｜-2ka^2klg｜a｜＝a^2klg｜a｜［(2k+2)a²-2k］＝2a^2klg｜a｜［(a²-1)k+a²］＝2a^2klg｜a｜(a²-1)［k-］，取的整数部分为k₀，则k<k₀时，b_2k+2<b_2k,k＝k₀时，b_2k+2≤b_2k,k>k₀时，b_2k+2>b_2k,∴b₂>b₄>…>-2>≥+2,且+2<+4<+b<…，∴存在n₀＝2k₀+2，

使得n取所有正偶数时，b_n≥，又n取奇数时，b_n>0，∴b_n>，从而，对任意n∈N，有b_n≥.

2、设0<x<1，且a>0,a≠1，试比较｜log_a(1-x)｜与｜log_a(1+x)｜的大小.

分析：因为a的值不确定，在解题过程中可运用换底公式去掉绝对值，也可通过平方去掉绝对值.本题可采用作差法，作商法，平方作差法比较大小.

解法一：(作差法)｜log_a(1-x)｜-｜log_a(1+x)｜

＝-＝［｜lg(1-x)｜-｜lg(1+x)｜］

＝［-lg(1-x)-lg(1+x)］＝->0

∴　｜log_a(1-x)｜｜log_a(1+x)｜

解法二：(作商法)

＝｜log_(1+x)(1-x)｜＝-log_(1+x)(1-x)

＝log_1+x＝log_(1+x)

＝log_(1+x)(1+x)-log_(1+x)(1-x²)

＝1-log_(1+x)(1-x²)>1

∴　｜log_a(1-x)｜>｜log_a(1+x)｜

解法三：(平方作差法)

∵　｜log_a(1-x)｜²-｜log_a(1+x)｜²

　＝［log_a(1-x)］²-［log_a(1+x)］²

　＝［log_a(1-x)+log_a(1+x)］［log_a(1-x)-log_a1+x］

　＝log_a(1-x²)log_a

　＝lg(1-x²)lg·()²

∵　0<1-x²<1　　∴ lg(1-x²)<0

又　0<<1　 ∴lg<0

∴　lg(1-x²)lg·>0

∴　｜log_a(1-x)｜>｜log_a(1+x)｜

3、若对于某区间D内任意x₁,x₂，恒有f()≥，则称函数f(x)是区间D上的上凸函数，证明函数f(x)＝log_ax (a>1)在区间(0，+∞)上是上凸函数.

分析：只需证明函数f(x)＝log_ax满足条件.

证明：设x₁,x₂∈(0,+∞)

则　f()-

　＝log_a-(log_ax₁+log_ax₂)

　＝log_a

　＝log_a［1+］≥log_a1＝0

∴　f(x)＝log_ax　(a>1在区间(0，+∞)上是上凸函数.

4、有甲、乙、丙三种食物的维生素A、D含量及成本如下表：

	甲	乙	丙
维生素A(单位/千克)	600	700	400
维生素D(单位/千克)	800	400	500
成本(元/千克)	11	9	4

某食物营养研究所想用x千克甲种食物，y千克乙种食物，z千克丙种食物配成100千克混合物，并使混合物至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素D.

(1)用x,y,z表示混合物的成本C(元)

(2)确定x,y,z的值，使成本最低.

解：(1)依题意：C＝11x+9y+4z　且x+y+z＝100

∴　C ＝11x+9y+4(100-x-y)

＝400+7x+5y

　　　　　 600x+700y+400z≥56000

(2)依题意

　　　　　 800x+400y+500z≥63000

将z＝100-x-y代入上方程组化简得

　　2x+3y≥160

　 3x-y≥130

令　C＝400+m(2x+3y)+n(3x-y)

　　 2m+3n＝7　　　　　m＝2

则　　　　　　　 ∴

　　 3m-n＝5　　　　 n＝1

∴　C＝400+2(2x+3y)+(3x-y)≥400+2×160+130＝850

　　　　 2x+3y＝160　　　　 x＝50

当且仅当　　　　　　　　即　　　　时等号成立.

　　　　 3x-y＝130　　　　 y＝20

此时　z＝100-50-20＝30

因此，当x＝50千克，y＝20千克，z＝30千克时成本最低，为850元.

【同步达纲练习】

知识强化：

一、选择题

1.下列命题正确的是(　　)

A.若a>b,则ac²>bc²　　　　　　　 B.若a>b,c>d，则ac>bd

C.若>，则a>b　　　　　　 D.若a>b,ab>0，则<.

2.设a<b<0，则下列不等式中不成立的是(　　)

A. >　　　　　　　　　　　　 B.>

C.｜a｜>｜b｜　　　　　　　　　　 D.a²>b²

3.若a＝log_0.20.3，b＝log_0.30.2，c＝1，则a、b、c的大小关系是(　　)

A.a>b>c　　　　　　　　　　　　　 B.b>a>c

C.b>c>a　　　　　　　　　　　　　 D.c>b>a

4.“a+b>2c”的一个充分条件是(　　)

A.a>c或b>c　　　　　　　　　　　 B.a>c且b>c

C.a>c或b<c　　　　　　　　　　　 D.a>c或b<c

5.若a<0,-1<b<0，则下列不等式中正确的是(　　)

A.a>ab>ab²　　　　　　　　　　 B.ab²>ab>a

C.ab>a>ab²　　　　　　　　　　 D.ab>ab²>a

二、填空题

6.若a>b>c>0，则,,,c从小到大的顺序是____________________.

7.已知12<m<60,15<n<36,则的取值范围是_________________.

8.若a,b∈R，给出下列条件：(1)a+b>1,(2)a+b＝2,(3)a+b>2,(4)a²+b²>2,(5)ab>1,其中能推出“a,b中至少有一个数大于1”的条件是______________.

三、解答题

9.已知-1<a<1，比较(1-)与(-1)的大小.

10.已知<α<β<π，求2α-3β的取值范围.

素质优化：

1.若a>b>c，a+b+c＝0，则下面不等式中恒成立的是(　　)

A.ab>ac　　　　　　　　　 B.ac>bc

C.a｜b｜>｜b｜c　　　　　 D.a²>b²>c²

2.若a,b,∈R，则ab(a-b)>0成立的一个充要条件是(　　)

A.0<<　　　　　　　 B.0<<

C.<　　　　　　　　　 D. <

3.若a+d＝b+c,｜a-d｜<｜b-c｜则ad与bc的关系是(　　)

A.ad＝bc　　　　　　　　　 B.ad<bc

C.ad>bc　　　　　　　　　　D.ad与bc的大小不确定

4.已知0<a<b<1，则a^b,log_b^a,的大小关系是 (　　)

A. <ab<log_ba　　　　B. <log_ba<ab

C.log_ba<<ab　　　　　 D.a^b<<log_ba

5.若a<b<0，则下列结论中正确的是(　　)

A.不等式>与>均成立.

B.不等式>与>均不成立.

C.不等式>与(a+)²>(b+)²均不成立.

D.不等式>与(a+)²>(b+)²均不成立.

二、填空题

6.以下四个不等式：(1)a<0<b (2)b<a<0 (3)b<0<a (4)0<b<a，其中使<成立的充分条件是____________.

7.若a,b,m∈R⁺，且<，则a与b的大小关系是_____________.

8.设f(x)＝ax²+b　(a≠0)且0≤f(0)≤1，2≤f(2)≤3，则f(3)的取值范围是_______.

三、解答题

9.设实数a,b,c满足①b+c＝6-4a+3a²,②c-b＝4-4a+a²，试确定a,b,c的大小关系.

10.已知-3<a<2，<b≤2a，c＝b-2a，求c的取值范围.

创新深化：

一、选择题

　　　　　　　　　　 2<a+b<4　　　　　　　　　 0<a<1

1.设甲：a和b满足　　　　　，乙：a和b满足　　　　，那么(　　)

　　　　　　　　　　 0<ab<3　　　　　　　　　 2<b<3

A.甲是乙的充分但不必要条件.

B.甲是乙的必要但不充分条件.

C.甲是乙的充要条件.

D.甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件.

2.已知x∈R⁺，x≠1，P＝(1+)³,Q＝，则P与Q的大小关系是(　　)

A.P>Q　　　　　　　　　　 B.P＝Q

C.P<Q　　　　　　　　　　 D.不能确定

3.设f(x)＝｜lgx｜，若0<a<b<c，且f(a)>f(c)>f(b)，则下列命题成立的是(　　)

A.(a-1)(c-1)>0　　　　　 B.ac>1

C.ac＝1　　　　　　　　　 D.ac<1

4.已知a,b,c,d∈R，且满足①d>c　②a+b＝c+d　③a+d<b+c，则下面不等式中正确的是(　　)

A.d>b>a>c　　　　　　　　　 B.b>c>d>a

C.b>d>c>a　　　　　　　　　 D.b>d>a>c

5.设a＝sin15°+cos15°,b＝sin16°+cos16°，则下面不等式中正确的是(　　)

A.a<<b　　　　　　　 B.a<b<

C.b<a<　　　　　　　 D.b<<a

二、填空题

6.已知a,b,m,n∈R+，且m+n＝1，则和m+m的大小关系是_______.

7.若0<a<b，且a+b＝1，则a,b,,2ab,a²+b²从小到大的顺序是_______.

8.已知“a>b,a->b-”同时成立，则ab应满足的条件是_______.

三、解答题

9.已知实数a,b,c满足++＝0，其中m∈R⁺，设f(x)＝ax²+bx+c(a≠0).证明：af()<0

10.在等差数列｛a_n｝和等比数列｛b_n｝中，a₁＝b₁>0，a₃＝b₃>0，a₁≠a₃.试比较下面两组数的大小.

(1)　a₂与b₂.

(2)　(2)a₅与b₅.

参考答案：

知识强化:

1.D　2.B 3.C　4.B　5.D 6.C, , ,　7.(,4)　8.③　9.∵(1-)＝＝

＝≥0　∴1-≥-1

10.∵<α<π　∴π<2α<2π ∵<β<π　∴-2π<-2β<-π　∴-π<2α-2β<π　又α<β ∴α-β<0　∴-π<2α-2β<0，又-π<-β<-，∴-2π<2α-3β<-

素质优化:

1.A　2.C 3.C 4.A　5.B　6.①②④　7.b<a　8.［］

9.∵c-b＝(a-2)²≥0，∴c≥b,又2b＝2+2a²，∴b＝1+a²,∴b-a＝a²-a+1＝(a-)²+>0,∴b>a，从而c≥b>a.

10.∵-3<a<2，∴-4<-2a<6,∴b-4<b-2a<b+6,又<b,∴-4<b-4,∵b≤2a,∴b+6≤2a+6,∴-4<c<2a+6,∵a>-3,∴-4>-5,又a<2,∴2a+b<10,∴-5<c<10

创新深化:

1.B　2.A 3.D　4.C　5.B

6.≥m+n　7.a,2ab, ,a²+b²,b　8.ab>0或ab<-1　9.∵af()＝a［a()²+b()+c］＝am［］＝am［］＝<0　 10.设a_n＝a₁+(n-1)d,b_n＝a₁q_n-1，依题意a₁+2d＝a₁q²,∴d＝a₁q²-a₁,∴(1)a₂-b₂＝a₁+d-a₁q＝a₁-a₁q+aq²-a＝aq²-a₁q+＝a(q-1)²，∵a₁≠a₃，∴a₁≠a₁+2d，即d≠0,3q≠1,∴a₂-b₂＝a(q-1)²>0,∴a₂>b₂.(2)a₅-b₅＝a₁+4d-a₁q₄＝a₁-a₁q₄+2a₁q²-2a₁＝-a₁q₄+2a₁q²-a₁＝-a₁(q²-1)²<0,∴a₅<b₅.