不等式的解法-高中二年级数学试题练习、期中期末试卷、测验题、复习资料-高中数学试卷-试卷下载

学科：数学

教学内容：6.4 不等式的解法

【基础知识精讲】

1.解不等式的基本思想

我们已学过的一元一次不等式、一元二次不等式的解法是学习本节的基础.在解其它类型的不等式时，通过转化，将它们等价变形为一次、二次不等式(组).转化思想为：如果不等式是超越不等式，则把它等价变形为代数不等式；如果代数不等式是无理不等式，则把它等价变形为有理不等式；如果有理不等式是分式不等式，则把它等价变形为整式不等式；如果整式不等式是高次不等式，则把它等价变形为一次、二次不等式(组).

注意：每一步变形，都应是不等式的等价变形.

2.不等式的解法

①一元一次不等式的解法

　一元一次不等式ax>b的解集情况是：

　1°当a>0时，解集为｛x｜x>｝

　2°当a<0时，解集为｛x｜x<｝

　3°当a＝0时， b≥0时，解集为

b<0时，解集为R.

②一元二次不等式的解法：

　设a>0，x₁，x₂是方程.

ax²+bx+c＝0的两实根，且x₁<x₂，则一元二次不等式的解集如下表所示：

类型解集	ax+bx+c>0	ax²+bx+c≥0	ax²+bx+c<0	ax²+bx+c≤0
Δ>0	｛x｜x<x₁或x>x₂｝	｛xx≤x₁或x≥x₂｝	｛x｜x₁<x<x₂｝	｛x｜x₁≤x≤x₂｝
Δ＝0	｛x｜x≠-, x∈R｝	R		｛x｜x＝-｝
Δ<0	R	R

注：当a<0时，可在不等式两边乘-1转化为二次项系数为正的情况，再按上表进行.

③高次不等式的解法：

　高次不等式用根轴法求解，其步骤是：

　1°将f(x)的最高次项的系数化为正数.

　2°将f(x)分解为若干个一次因式的积.

3°将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次穿过每一个根点画曲线.

　4°根据曲线显现出f(x)的符号变化规律，写出不等式的解集.

④分式不等式的解法：

　先将不等式整理成>0或≥0的形式，再转化为整式不等式求解.

　即　>0f(x)·g(x)>0

　　　≥0

⑤无理不等式的解法：转化为有理不等式求解.

　>g(x) 或

　<g(x)

　>f(x)>g(x)≥0

⑥指数不等式的解法.

　1°同底法

　 a^f(x)>a^g(x)

　2°取对数法

　 a^f(x)>b^g(x)

　3°换元法

⑦对数不等式的解法.

　1°同底法

　2°换元法

3.本节学习要求

(1)解各种变型的不等式，关键要把它们变形为一次、二次不等式(组).

(2)求函数的定义域、值域、二次方程的根的分布、讨论参变量的取值范围等均可化为解不等式的问题.

通过本节学习，培养学生的运算能力，使学生理解掌握等价转化的致学思想方法.

【重点难点解析】

知识的学习应遵循人类的认识规律和知识本身的渐近性、逻辑性.因此，建议同学们在学习本节时，应复习初中的一元一次不等式、一元二次不等式的解法，在此基础上，继续学习高次不等式、分式不等式、无理不等式、指数不等式及对数不等式的解法.

例1　解关于x的不等式： >1　(a≠1)

分析　这是一个分式不等式，应先移项，再通分进行因式分解变形.切忌两边同乘以(x-2)而转化为整式不等式，因为(x-2)的正负未知.另外，注意对参数a的正确的分类讨论.

解：原不等式等价于>0

　即为　>0

［(a-1)x-(a-2)］(x-2)>0

(a-1)(x-)(x-2)>0　　 ①

　当a>1时，式① (x-)(x-2)>0

∵　-2＝--1<0

∴　<2.

∴　原不等式的解集为(-∞，)∪(2,+∞).

当a<1时，式①(x-)(x-2)<0

由　2-＝知

当0<a<1时，>2，则原不等式解集为(2，)

当a＝0时，原不等式(x-2)²<0，解集为.

当a<0时，<2，则原不等式解集为(,2).

综上所述：

当a<0时，原不等式解集为(,2)

当a＝0时，原不等式解集为.

当0<a<1时，原不等式解集为(2，)

当a>1时，原不等式解集为(-∞，)∪(2,+∞)

点评：本题需要两级分类，第一级按a>1和a<1分为两级，多数学生都能做到，在a<1的情况下，又要按两根与2的大小关系分为a<0,a＝0和0<a<1三类，这时就有不少学生找不到分类的依据，甚至缺乏分类讨论的意识.

例2　解不等式<x

分析　此题是分式不等式，可按分式不等式的解法求解.即需先移项通分，整理成0的形式，再转化为它们的整式不等式求解.

解：移项整理，将原不等式转化为：

∵　x²+x+1>0恒成立.

∴　原不等式等价于>0

解之，得原不等式解集为｛x｜-1<x<2或x>3｝.

注：此题也可用列表法或数轴标根法求解，但用根轴法更简捷.

例3　解不等式log₂·log>-2.

分析　此题为对数不等式，(可通过换元)，由log＝＝-1-log₂，所以可通过换元令t＝log₂，则可转化为代数不等式求解.

解：原不等式可化为：

　　　log₂·［-1-log₂］>-2

令log₂＝t,则上面不等式可化为：

　　　t(-1-t)>-2.即t²+t-2<0

即　(t+2)(t-1)<0

∴　-2<t<1

从而有　-2<log₂<1

则　2^-2<2^x-1<2

即　<2^x<3

∴　log₂<x<log₂³

∴　log₂⁵-2<x<log₂³

∴　原不等式解集为｛x｜log₂⁵-2<x<log₂³｝

【难题巧解点拨】

例1　关于x的二次方程x²+(m-1)x+1＝0在区间［0，2］上有解，求实数m的取值范围.

分析　此题为含参的一元二次方程解的情况，可由二次方程的实根分布来解.

则可设f(x)＝x²+(m-1)x+1

题意即为f(x)＝0在［0，2］上有解，其中包括两种情况：1°有一解，2°有两解.

解：设f(x)＝x²+(m-1)x+1　　x∈［0，2］，则：

(1)f(x)＝0在区间［0，2］上有一解：

因为f(0)＝1>0

所以只需f(2)≤0

即　4+2(m-1)+1≤0m≤-

(2)f(x)＝0在区间［0，2］上有二解.

则有

综上由(1)(2)可知：m≤-1.

例2　若关于x的方程4^x+a·2^x+a+1＝0有实数解，求实数a的取值范围?

解法一：令t＝2^x(t>0)，则原方程化为t²+at+a+1＝0(1)

则问题转化为方程(1)在(0，+∞)上有实数解，求a的取值范围.

由　即

解得：a≤2-2

解法二：令t＝2^x(t>0)，则原方程化为

t²+at+a+1＝0，变形为：

a ＝-＝-

＝-［(t-1)+ ］

＝-［(t+1)+ -2］≤-(2-2)＝2-2

例3　已知f(x)是定义在区间(-∞，4)上的减函数，是否存在实数m，使得

f(m-sinx)≤f(-+cos²x)对定义域内的一切实数x均成立.若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由.

解：假设存在实数m，依题意得

∵sinx的最小值为-1，且-(sinx-)²的最大值为0，要满足题意，则须有：

∴m的取值范围是｛m｜m＝或≤x≤3｝

【命题趋势分析】

平时要求：1.按解各类不等式的解法来求解不等式.

2.含参的不等式问题，能对参数进行正确的分类讨论.

3.应用不等式可求函数的定义域、值域、讨论函数的单调区间、讨论函数的一元二次方程根的存在和根的分布.

【典型热点考题】

例1　实数m在什么范围时方程x²+(m-3)x+m＝0的两根满足：(1)都是正根；(2)都在(0，2)内.

解：(1)依题意，满足时，即m∈(0,1)时两根均为正.

(2)设f(x)＝x²+(m-3)x+m，则<m≤1，即m∈(，1)时，两根都在(0，2)内.

例2　关于实数x的不等式｜x-(a+1)²｜≤(a-1)²与x²-3(a+1)x+2(3a+1)≤0　(a∈R)的解集分别为A和B，求使AB的a的取值范围.

解：由｜x-(a+1)²｜≤(a+1)²得2a≤x≤a²+1,∴A＝｛x｜2a≤x≤a²+1,a∈R｝.

由x²-3(a+1)x+2(3a+1)≤0，

可得(x-2)［x-(3a+1)］≤0，当3a+1≥2即a≥时，B＝｛x｜2≤x≤3a+1　a∈R｝，

当3a+1<2即a<时，B＝｛x｜3a+1≤x≤2　a∈R｝,

∴当a≥时，若AB，则有，解不等式组得1≤a≤3.

当a<时，若AB，则有，解不等式组得：a＝-1，

故使AB的a的取值范围是｛a｜1≤a≤3或a＝-1｝.

例3　设y＝(a>0,b>0)，求使y为负值的x的取值范围.

解：要y<0，只要a^2x+2(ab)^x-b^2x>0，即b^2x［()^2x+2·()^x-1］>0,

∵b^2x>0,∴［()^x］²+2()^x-1>0.

解这个关于()^x的二次不等式得：()^x>-1或()^x<--1，但()^x>0，

∴只有()^x>-1,

∴当a＝b>0时，x∈R.

当a>b>0时， >1，两边取以为底的对数，得x>.

当0<a<b时，0<<1，两边取以为底的对数，得x<，

因此x的取值范围是：当a＝b>0时，x∈R.当a>b>0时，x∈(,+∞).

当0<a<b时，x∈(-∞，).

【同步达纲练习】

一、选择题

1.若x满足<2与>-3则x的取值范围是(　　)

A. -<x<　　 B .x>

C. x<-　　 D. 0<x<

2.函数y＝的定义域为(　　)

A.｛x｜x≥-3｝　　B.｛x｜-3≤x≤｝

C.｛x｜1≤x＜　 D.｛x｜x≥-1｝

3.与不等式≥0同解的不等式是(　　)

A.(x-5)(4-x)≥0　　B.lg^(x-4)≤0

C. ≥0　　 D.lg^(x-5)≥0

4.设0<a<1，给出下面四个不等式：

①<　 ②>()^a

③()^a >a^a④a^a>

其中不成立的有(　　)

A.0个　　B.1个　 C.2个　 D.3个

5.已知方程mx²-2(m+2)x+(m+5)＝0有两个不同的正根，则m的取值范围是(　　)

A.m<4 　　　　　　 B.0<m<4

C.m<-5或0<m<4　　 D.m<-2或0<m<4

二、填空题

6.不等式≥x的解集为　　　　　　 .

7.不等式()>3^-2x的解集为　　　　　　 .

8.不等式lg<1的解集为　　　　　　 .

三、解答题

9.若不等式<0的解集为R，求实数m的取值范围.

10.解不等式lg<0

AA级

一、选择题

1.已知I＝R，集合M＝｛x｜≤0,x∈R｝，N＝｛x｜(x-2000)(x-2001)≥0，x∈R｝，P＝｛x｜10^{(x-2000)(x-2001)}≥1，x∈R｝，则(　　)

A.∩N＝P　　　　　　　 B.M∪P＝N

C.M∩N∪P＝M　　 D.M∪N∪P＝R

2.已知不等式x²-4x+3<0①　x²-6x+8<0②　2x²-9x+m<0③，要使同时满足①②的x也满足③，则有(　　)

A.m>9　 B.m＝9　 C.m≤9　 D.0<m≤9

3.若函数f(x)＝的值域为(-∞,+∞)，则实数k的取值范围是(　　)

A.(-2，2)　　 B.［-2,2］

C.(-∞，-2)∪(2,+∞)　D.(-∞,-2)∪［2,+∞］

4.关于x的不等式(k²-2k+)^x<(k²-2k+)^1-x的解集为(　　)

A.｛x｜x<｝　　 B.｛x｜x>｝

C.｛x｜x>2｝　　　D.｛x｜x<2｝

5.若ax²+bx+c>0的解集为｛x｜x<-2或x>4｝，那么对于函数f(x)＝ax²+bx+c会有(　　)

A.f(5)<f(2)<f(-1)　　B.f(2)<f(5)<f(-1)

C.f(-1)<f(2)<f(5)　　D.f(2)<f(-1)<f(5)

二、填空题

6.不等式组的解集是　　　　　　 .

7.不等式ax²+bx+2>0的解集为(-，)，则a+b的值是　　　　　　 .

8.4^x(x+2)-8·32^x>0的解集为　　　　　　 .

三、解答题

9.已知A＝｛x｜5-x≥2｝

　B＝｛x｜x²-ax≤x-a｝，当AB时，求a的取值范围.

10.设关于x的二次方程px²+(p-1)x+p+1＝0有两个不等的正根，且其中一根大于另一根的两倍，求p的取值范围.

【素质优化训练】

一、选择题

1.如果不等式≥x的解集在数轴上构成长度为2a的区间，则a的值等于(　　)

A.1　　　　 B.2　　　　　C.3　　　　 D.4

2.设命题P:关于x的不等式a₁x²+b₁x+c₁>0与a₂x²+b₂x+c₂>0的解集相同；命题Q：＝＝，则命题Q是命题P的(　　)

A.充分必要条件　　　B.充分不必要条件

C.必要不充分条件　　D.既不充分也不必要条件

3.设x₁<x₂…<x_n,n∈N且n≥2.｛x｜(x-x₁)(x-x₂)…(x-x_n)>0｝｛x｜x²-(x₁+x_n)x+x₁x_n>0｝，则n(　　)

A.等于2　　　　　　　 B.是大于2的任意奇数

C.是大于2的任意偶数　　D.是大于1的任意自然数

4.在x∈(,3)上恒有｜log_a^x｜<1成立，则实数a的取值范围是(　　)

A.a≥3　　　　　　　　B.0<a≤

C.a≥3或0<a≤　　　D.a≥3或0<a<

5.已知f(x)、g(x)都是奇函数，f(x)>0的解集为(a²-b),g(x)>0的解集为(，b)，则f(x)·g(x)>0的解集为(　　)

A.(,)　　　　　　B.(-b,-a²)

C.(a², )∪(-,-a²)　 D.(,b)∪(-b²,-a²)

二、填空题

6.若关于x的不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围是　　　　　.

7.设函数f(x)＝,x∈(-∞，+∞)的最大值为4，最小值为-1，则a、b的值为　　　　　　　　　　 .

8.已知函数f(x)＝ax+2a+1的值在-1≤x≤1时有正有负，则a的取值范围为　　　　 .

三、解答题

9.已知F(x)＝f(x)-g(x)，其中f(x)＝log_a^(x-b)，当且仅当点(x₀，y₀)在f(x)的图像上时，点(2x₀,2y₀)在y＝g(x)的图像上.(b>0,a>0且a≠1)

　(1)求y＝g(x)的解析式.　(2)当F(x)≥0时，求x的范围.

10.汽车在行驶过程中，由于惯性作用，刹车时还要继续向滑行一段距离才能停住，称这段距离为刹车距离，刹车距离是分析事故的一个重要因素，在一个限速为40千米/小时以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对时，同时刹车，但还是相撞了.事故后，现场测得甲车的刹车距离是略超过12米，乙车的距离略超过10米，又已知甲、乙两种车型刹车距离s米与车速x千米/小时之间有如下关系：S_甲＝0.1x+0.01x²，S_乙＝0.05+0.005x²，问超速应负责任的是谁?