高二数学调研测试题参考答案及评分标准

一．选择题：CBCBB　　ABBCC　　CD

二．填空题：13．8　　14．{x｜－2≤x＜2}　　15．1－p₁p₂　　 16．

三．解答题：

17．解：展开式的通项是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分
　　系数的绝对值是，若它最大，则
　　　　　　即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6分
　　解得：
　　∵r∈N　∴r = 3
　　故系数绝对值最大的项是第4项，即　　　　　　　　　　　　　　　　 8分
　　系数最大的项应在项数为奇数的各项之内，即r取偶数0，2，4，6，8时的各项系数
　　分别为
　　即1，
　　∴系数最大的项是第5项，即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12分

18．解：过S作SO⊥底面ABC于点O，则点O是△ABC的中心，∠SAO是侧棱SA与底面ABC所成的角　　　　　　　2分
　　∴∠SAO = 60°
　　连结AO交BC于D，连结SD，则SD⊥BC
　　在正△ABC中，
　　∴
　　故SO = AO×tan 60°= 2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6分
　　
　　
　　∴正三棱锥的高为2，斜高为．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12分

19．证法一：∵AB⊥CD，∴0
　　即0
　　Þ　　 　①　　　　　　　4分
　　∴AD⊥BC，∴0
　　即
　　Þ　　　②　　　　　　　8分
　　由①、②得：　Þ　
　　即0　　∴AC⊥BD．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

证法二：过点A作AO⊥平面BCD于点O，连结BO、DO、CO并延长分别交CD、BC、BD于E、F、G，则BE、DF、CG分别是AB、AD、AC在底面BCD上的射影　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分
　　∵AB⊥CD，由三垂线定理得：BE⊥CD
　　同理DF⊥BC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分
　　∴点O是△BCD的垂心，故CG⊥BC
　　由三垂线定理的逆定理知：AC⊥BD．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

20．解：要比较两种尖顶铺设的瓦片量，只要比较△ABD和△ACD的面积之和与△BCD的面积的大小． 2分
　　作AE⊥BC于E点，则AE⊥平面B₁BCC₁，故AE = h
　　∴AB =
　　设AD长为x，则DE =
　　∴
　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分
　　当x＞b，即AD之长大于房屋宽度的一半时，图2尖顶铺设的瓦片较省
　　当x＝b，即AD之长等于房屋宽度的一半时，两种尖顶铺设的瓦片相同
　　当x＜b，即AD之长小于房屋宽度的一半时，图1尖顶铺设的瓦片较省．　　　　12分

21．解：(1)乙连胜4局，必须每局乙都是胜者
　　故四局的胜负情况为：第一局乙胜，甲负；第二局乙胜，丙负；第三局乙胜，甲负；第四局乙胜，丙负；　　　 2分
　　∴乙连胜4局的概率为(1－0.4)×0.5×(1－0.4)×0.5 = 0.09　　　　　　　　　　　　　　　4分
　　(2)丙连胜三局的情况有两种情形
　　①第一局甲胜，乙负；第二局丙胜，甲负；第三局丙胜，乙负；第四局丙胜，甲负
　　其概率为0.4×0.6×(1－0.5)×0.6　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　7分
　　②第一局乙胜，甲负；第二局丙胜，乙负；第三局丙胜，甲负；第四局丙胜，乙负
　　其概率为(1－0.4)×(1－0.5)×0.6×(1－0.5)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　10分
　　∴丙连胜三局的概率为
　　0.4×0.6×(1－0.5)×0.6＋(1－0.4)×(1－0.5)×0.6×(1－0.5) = 0.162．　　　　　　12分

22．方法一：
　　(1)解：设i，j，k (h＞0)，以i，j，k为坐标向量建立空间直角坐标系D－xyz．
　　则A(2，0，0)，B (2，2，0)，C (0，2，0)，
D₁(0，0，h)　　　　　　　　　　  　　　　　3分
　　∴(2，2，0)，(0，2，－h)
　　
　　∴，解得：h = 4
　　故V = 2×2×4 = 16　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分
　　(2)由于底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
　　由三垂线定理知，D₁O⊥AC
　　∴∠D₁OD是所求二面角的平面角　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分
　　(－1，－1，4)，(－1，－1，0)
　　
　　∴所求二面角的大小为．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10分
　　(3)解：设P(2，2，z)，则(2，2，z) ，(2，0，－4)，(0，2，－4)
　　令，即2×2＋0×2＋(－4)×z = 0，得z = 1
　　∴当BP = 1时，DP⊥平面D₁AC．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　14分

方法二：
　　(1)连结A₁B，则A₁B∥CD₁，故∠A₁BD是异面直线DE与D₁C所成的角　　　　　2分
　　设DD₁ = x，则A₁D = A₁B = ，BD =
　　∴cos∠A₁BD = 　　　　　　　 4分
　　∴　Þ　x = 4
　　故V = 2×2×4 = 16 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分
　　(2)由于底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
　　由三垂线定理知，D₁O⊥AC
　　∴∠D₁OD是所求二面角的平面角　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分
　　在Rt△D₁DO中，
　　∴所求二面角的大小为．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10分
 　 (3)设BP = x，由于BP⊥AC，故要PD⊥平面D₁AC ，只需PD⊥D₁O
　　这时，Rt△D₁DO∽Rt△DBP，∴　　　　　　　　　　 12分
　　解得：x = 1
　　∴当BP = 1时，DP⊥平面D₁AC．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　14分