高二（下）期末质量检查数学（文科）试卷
命题人：厦门六中 徐福生 审定：厦门教育学院数学科
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。全卷满分为150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：（每小题5分，共60分）
1、在正方体ABCD-A
BCD中，与对角线AC异面的棱有（ ）
A.12条 B.6条 C.4条 D.2条
2、(1+x)
(n
N
)的展开式中二项式系数最大的项是（ ）
A.第n项 B.第n+1项 C.第n+2项 D.第n+1或n+2项
3、“直线m、n与平面
所成的角相等”是“m∥n”的（ ）
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4、集合M={a,a
,a
,a
,a
}的真子集个数是（ ）
A.5
B
5、已知直线m、n和平面、
，则⊥的一个充分条件是（ ）
A.m⊥n，m∥，n∥；
B. m⊥n，
=m，n
；
C.m∥n，n⊥，m；
D. m∥n，m⊥，n⊥.
6、在北纬60°圈上有甲、乙两地，它们在纬度圈上的弧长等于
(R是地球的半径)，则这两地的球面距离为（ ）
A.
R B.
R C.
R D.R
7、AC是平面内的一条直线，P为外一点，PA=2,P到的距离是1，记AC与PA所成的角为
，则必有（ ）
A.
B.cos≤
C.sin≥
D.tan≥
8、有5条线段其长度分别为3、5、6、9、10，任取其中的三条线段头尾相连组成三角形，则最多可组成三角形的个数是（ ）
A．4
B．
9、某人对同一目标进行射击，每次射击的命中率都是0.25，若要使至少命中一次的概率为0.75，则此人应射击（ ）
A.4次 B.5次 C.6次 D.8次
10、正方体的全面积是a
，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是（ ）
A.
B.
C.2
D. 3
11、由1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排成一个数列{a
}，其中a
等于（ ）
A.3412
B
12、在空间，平移正△ABC至△ABC，使AA⊥面ABC，AB=3，AA=4，则异面直线AB与BC所成的角的余弦值为（ ）
A. 
B.
C. 
D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：(每小题4分，共16分)
13、若A、B为两相互独立事件，且P(A)=0.4，P(B)=0.5，则P(A+B)=_________；
14、若(3x-1)
=a
x+a
x
+……+ax+a
，则a+a+……+a=_________；
15、若一个简单多面体的面都是三角形，顶点数V=6，则它的面数F=______；
16、已知二面角—l—为60
，点A
，点A到平面的距离为
，那么点A在面上的射影A
到平面的距离为_________。
三.解答题：（本大题共74分）
17、（本小题满分12分）
某小组有男、女学生共13人，现从中选2人去完成一项任务。设每人当选的可能性相同。
⑴若选出的两人性别相同的概率为
，求选出的两人性别不同的概率；
⑵若已知该班男生有9人，求选出的两人性别不同的概率。
18、（本小题满分12分）
四面体ABCD中，对棱AD⊥BC，对棱AB⊥CD，试证明：AC⊥BD.
19、（本小题满分12分）
甲、乙两人独立地破译一份密码，甲能破译出密码的概率是1/3，乙能破译出密码的概率是1/4，试求：
①甲、乙两人都译不出密码的概率；
②甲、乙两人中恰有一人能译出密码的概率；
③甲、乙两人中至多有一人能译出密码的概率.
20、（本小题满分12分）
设a1=1，a2=1+2，a
=1+2+2，……，a=1+2+2+…+2
(nN)，
记f(n)=C
a+C
a+…+C
a
(1) 求f(n)的表达式；
(2)设b+b+…+b=
，求证：{b}为等比数列.
21、（本小题满分12分）
直三棱柱ABO-A1B1O1中，∠AOB=90°，D为AB的中点，AO=BO=BB1=2.
①求证：BO1⊥AB1；
②求证：BO1∥平面OA1D；
③求三棱锥B—A1OD的体积。
高二数学（下）期末质量检查（文科）答案
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：（每小题5分，共60分）
1、B 2、D 3、A 4、C 5、C 6、C
7、D 8、D 9、B 10、A 11、C 12、A
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：(每小题4分，共16分)
13、0.7 14、129 15、8 16、
三.解答题：（本大题共74分）
17、（本小题满分12分）
解：记事件A为从男、女学生13人中任选出两人的性别相同，
⑴P（A）=，
则事件
为从男、女学生13人中任选出两人的性别不同，…………3分
则P（）=1- P（A）=1-=
。……………………………………6分
⑵该班男生有9人，则女生有4人，
则P（A）=
………………………………………………………9分
=
，…………………………………………………………11分
故该班男生有9人，女生有4人时从中选出的两人性别不同的概率是。…12分
18、（本小题满分12分）
证法1：作AO⊥平面BCD于O，则BO、CO、DO分别为AB、AC、AD在平面BCD内的射影.…………………………………………………………3分
∵CD⊥AB,CD平面BCD
∴CD⊥BO（三垂线定理的逆定理）………………6分
同理BC⊥DO
∴O为△BCD的垂心………………………………9分
从而BD⊥CO
∴BD⊥AC（三垂线定理），即AC⊥BD……………12分
证法2：作出向量
、
、
、
、
、
.
∵⊥，⊥
∴·=0，·=0…………………………………4分
又=+，=+
∴·=·+·++·…………8分
=·+ (++)
=·+·=0
∴⊥
∴AC⊥BD……………………………………12分
19、（本小题满分12分）
解：记甲、乙两人独立地破译出密码的事件分别是A、B，则P(A)=,
P(B)=
………………………………………………………………3分
（1）甲、乙两人都译不出密码的概率为：
P(
·
)=P()·P()=(1-)(1-)=…………………………6分
（2）甲、乙两人中恰有一人能译出密码的概率为：
P(A·+B·)=P(A·)+P(B·)=(1-)+(1-)=
……9分
（3）甲、乙两人中至多有一人能译出密码的概率为：
1- P(A·B)=1-×=
……………………………………………12分
20、（本小题满分12分）
解：(1)∵a=
……………………………………………2分
于是f(n)= (
)C+ (
)C+…+ (
)C
= (+ C+…+ 2
C) - (C+C+…+C)………………4分
= (C
+2C+ 2C+…+ 2C) - (C+C+C+…+C)
= (1+2)- 2 = 3- 2……………………………………………6分
(2) b+b+…+b=
=
b+b+…+b
=
（nN，n³2）
相减得：b=
（nN，n³2）………………8分
=
又b1=
，则b=…………………………………………10分
∴
=
， ∴{b}是等比数列.……………………………12分
21、（本小题满分12分）
证法1：①连结OB， ∵OO⊥平面AOB,∴OO⊥AO
即AO⊥OO，又AO⊥OB
∴AO⊥平面OOBB
∴O B为A B在平面OOBB内的射影
…………………………………………2分
又OB=B B ∴四边形OOBB为正方形
∴B O⊥OB
∴B O⊥A B（三垂线定理）……………4分
②连结A O交OA于E，再连结DE.
∵四边形AAOO为矩形 ,∴E为A O的中点.
又D为AB的中点，∴BO∥D……………6分
又DE平面OAD，BO
平面OAD
∴BO∥平面OAD………………………………8分
③∵V
= V
，…………………………10分
又∵AA1⊥平面ABO，∴V=·S
·AA。
又S
=·S
=1，A1A=2，
∴V=
。……………………………………12分
证法2：以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则:
O(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),A(2,0,2),
B(0,2,2), O(0,0,2), D(1,1,2).…………………………2分
①∵
=(-2,2,-2),
=(0,-2,-2)
∴·=(-2) ·0+2·(-2)+(-2) ·(-2)=0
∴⊥ ∴B O⊥A B…………4分
②取OA的中点为E，则E点的坐标是(1,0,1)，
∴
=(0,-1,-1), 又=(0,-2,-2)
∴=2 又BO、DE不共线，
∴BO∥DE……………………………………………6分
又DE平面OAD，BO平面OAD
∴BO∥平面OAD…………………………………8分
③与证法1相同
22、（本小题满分14分）
解：(1)如图所示，利用Rt△AOC和Rt△AOD可求得OC=
(公里)，
OD=
(公里)…………………………………………2分
在△ODC中，由余弦定理，得
CD=OC+OD-2·OC·ODcos120°
=()+()-2·(-)=
∴DC=
(公里)……………………………………4分
∴v=
=6·DC=6=2
(公里/小时)…………6分
(2) 如图所示，过C作CF∥OD，则∠CFE=∠DOE=30°
∴CO=CF=……………………8分
而△OED∽△FEC
∴
=
，即
=
∴OE=EF
作CM⊥OF，则OM=OF
于是 OE=OM=MF
在Rt△OMC中，OM=OC·cos30°
∴OE=OF=OM=OC·cos30°=·
=
(公里)…………10分
在△EOC中，由余弦定理，得
CE=OE+OC-2·OE·OCcos150°
=(
)+()-2··(-)=
∴CE=
…………………………………………………………12分
∴t=
=
=
(小时)
因此，若船的速度不变，11点15分船可到达岛的正西方向，此时所在点E距岛1.5公里。……………………………………………………………………14分
22、（本小题满分14分）
海岛O上有一座海拔1000米的山，山顶上有一个观察站A。上午11点该观察站测得一轮船在海岛O的北60°东C处，俯角为30°；上午11点10分又测得该船在海岛的北60°西D处，俯角60°，问：
⑴这船的速度是每小时多少公里？
⑵如果船的航向及船速不变，它何时到达岛的正西方向？到达正西方向时所在点E离岛多少公里？
