双曲线的简单几何性质练习
一、选择题（每小题四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．双曲线
的一条准线l与一条渐近线交于P点，F是与l相应的焦点，则PF等于（ ）
A．a
B．b
C．2a
D．2b
2．已知平面内有一定线段AB，其长度为4，动点P满足PA-PB=3，O为AB的中点，则PO的最小值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．4
3．双曲线
的离心率为
，双曲线
的离心率为
，则
的最小值是（ ）
A．
B．2
C．
D．4
4．已知双曲线的焦点为
、
，弦AB过且在双曲线的一支上，若
，则AB等于（ ）
A．2a
B．3a
C．4a
D．不能确定
5．椭圆和双曲线有相同的中心和准线，椭圆的焦点、三等分以双曲线点
、
为端点的线段，则双曲线的离心率e′与椭圆的离心率e的比值是（ ）
A．
B．
C．2
D．3
6．已知两点
，
，给出下列曲线方程
①4x+2y-1=0 ②
③
④
在曲线上存在点P满足MP=NP的所有曲线方程是（ ）
A．①③
B．②④
C．①②③
D．②③④
二、填空题
7．过双曲线
的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若AB=4，则这样的直线共有_________条。
8．设、是双曲线
的两焦点，Q是双曲线上任意一点，从引
的平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹方程是__________。
三、解答题
9．在双曲线
的一支上不同的三点
，
，
与焦点F（0，5）的距离成等差数列
（1）试求
；
（2）证明线段AC的垂直平分线经过一个定点，并求出该定点坐标。
10．设双曲线中心是坐标原点，准线平行于x轴，离心率为
，已知点P（0，5）到这双曲线上的点的最近距离是2，求双曲线方程。
11．已知直线l与圆
相切于点T，且与双曲线C：
相交于A、B两点，若T是线段AB的中点，求直线l的方程。
答案与提示
一、1．B 2．B 3．C 4．C 5．B 6．D
二、7．3条
8．
三、9．提示：（1）双曲线的半焦距c=5，半实轴
，离心率
，则A、B、C三点的焦半径分别是
，
，
，
∵FA+FC=2FB
∴
（2）∵A、C均在双曲线上
∴
，
，两式相减得
∴
AC的中点Q的坐标为
AC的中垂线方程为
，即
∴必过定点
10．提示：设双曲线的方程为（a>0，b>0）
∵
∴a=2b，所以设所求双曲线方程为
设Q（x，y）为双曲线上一点，则
其中y≥2b
当2b≤4时，应有y=4时
，从而
，即
，方程为
当2b>4时，应有y=2b时，，从而
，所以
或
（与b>2矛盾），所以方程为
11．提示：设切点
、
、
，则切线AB的方程为
，即
当
时，代入圆的方程得：
，则直线l的方程为：
当
时，
由（1）（2）得
将（3）（4）代入得
∴
由
得
，
∴
∴直线l的方程为
综上所述可知l：x=-2或