椭圆的简单几何性质练习
一、选择题（每小题四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．如图8-7，点O是椭圆中心，F为焦点，A为顶点，准线l交x轴于B，P、Q在椭圆上且PD⊥l于D，QF⊥AO于F。关于曲线的离心率有如下数值：
①
，②
，③
，④
，⑤
。其中正确的个数是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
2．一个圆的圆心在椭圆的右焦点
上，且过椭圆的中心D（0，0），该圆与椭圆交于点P，设
是椭圆的左焦点，直线
恰好与圆相切于点P，则椭圆的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．过原点的椭圆的一个焦点为F（1，0），其长轴长为4，则另一个焦点的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．点M与椭圆
的左焦点和右焦点的距离之比为2∶3，则点M的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．设点
，F为椭圆
的右焦点，点M在该椭圆上移动，当AM+2MF取最小值时，点M的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
6．一个椭圆的离心率为
，一个焦点为F（3，0），对应的准线为x-1=0，则这个椭圆的方程为__________。
7．过椭圆
的左焦点作一条长为
的弦AB，将椭圆绕着其左准线在空间旋转120°，则弦AB扫过的面积为_________。
三、解答题
8．过椭圆
的一个焦点的直线交椭圆于A、B两点，求△AOB的面积的最大值（O为坐标原点）。
9．已知椭圆
（a>b>0），它的一条准线方程是x=1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A、B两点，设AB的中点为M，直线AB与OM的夹角为α
（1）当tanα=2时，求椭圆的方程；
（2）当2<tanα<3时，证明
。
10．设椭圆的方程为
（m>0，n>0），过原点且倾斜角为θ和π-θ
两条直线分别交椭圆于A、C和B、D四点
（1）用θ、m、n表示四边形ABCD的面积S；
（2）若m、n为定值，当θ在
上变化时，求S的最大值u；
（3）如果u>mn，求
的取值范围。
答案与提示
一、1．D
2．A
3．B
4．C
5．C
二、6．
7．6π
三、8．提示：由题意椭圆焦点为（0，±1），设直线AB过焦点F（0，1），其方程为：y-1=kx，代入得
，设
，
，则
、
为该方程的两根，由
（当且仅当k=0时取等号），可知△AOB面积的最大值为
9．提示：（1）由
得
，又
∴椭圆方程为
将AB的方程y=x+m代入整理得
∴
于是
，由
，得
或c=--2（舍），于是所求椭圆方程为
（2）由（1）
，又
，得
∴
，
即
10．提示：（1）设过原点倾斜角为θ的直线的方程为y=xtanθ，可得方程组
又由对称性，得四边形ABCD为矩形，同时
，所以四边形ABCD的面积
（2）
。考虑函数
在的单调性。易证明
在
上是减函数，在
上是增函数，因此有：
当m>n时，
，此时
，u=2mn
当m<n时，
∴
（3）当
时，u=2mn>mn恒成立
当
时，
，即有
，解得
，又，故