高二数学期中试题参考答案
一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
CBBCD ACAAB CD
二、 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13、
14、
15、
16、
（或
）
三、 解答题（本大题共6小题，共74分．写出必要的解题步骤．）
17、解：设圆
的圆心为
，半径为
，
则圆的方程为
．……………………………………2分
由已知得
………………………………………8分
解得
………………………………………………………………10分
所以圆的方程为
．……………………………… 12分
18、解：由
得交点
．……………………………………
4分
设直线
的方程为
即
．……………… 6分
由点到直线的距离公式得
．
……………………8分
解得
．…………………………………………………………… 10分
所以直线的方程为
．…………………………………… 12分
19、解：由已知，双曲线的一条渐进线为
，故可设双曲线的方程为
．……………………………
2分
因为双曲线经过点
，所以
，
解得
．
所以双曲线的方程为
．……………………………………
4分
所以
，则
，且
．
由双曲线的定义知，
，（1）
又在
中，
．（2）
由（1）（2）联立，得
．………………………………… 8分
设点
到
轴的距离为
，则
，………………10分
即
，解得
．
即点P到x轴的距离为
．……………………………………………
12分
或解：双曲线的方程求法如上…………………………………………… 4分
设
，则由P
F1
P F2得
，
所以
，即
．（1）………………………
6分
又点在双曲线上， 所以 
．（2）……………… 7分
由（1）（2）得，
．……………………………………………10分
所以点P到x轴的距离为．…………………………………………12分
20、解：设安排生产
、
种产品分别为
时，获得的利润为
．
|
，………………………………
2分
线性约束条件为
…… 4分
作出可行域，如图所示，…………………………………………… 6分
作直线：
，即
，
将直线平移至可行域内的点
时，直线在轴上
的截距最大，此时，最大．……………………………………………
8分
由
解得
．
即当
时，最大．…………………………………………
10分
答：安排生产、种产品分别为49件、9件时，能获得最大利润．12分
21、解：（1）由题意，设抛物线的方程为
．
因为准线方程为
，所以
，即
．
所以抛物线的方程为
．………………………………………
3分
（2）由题意，设直线
的方程为
．
由
消去
得，
．………
5分
则
．
（*）．………………… 6分
设
，由韦达定理得，
．
所以
．
由中点坐标公式得，点的坐标为
，
即
．……………………………………………………… 8分
因为抛物线的焦点为
，则由斜率公式得直线
的斜率为
，即
，
解得
，或
．……………………………………………………10分
由（*）知．
所以直线的方程为
，即
．……………………12分
22、解：（1）由题意，
，即
，
．
又点
在椭圆上，则
，得
，
所以 
．
则椭圆的方程为
，焦点为
，
．…………4分
（2）设线段
的中点
，椭圆上的点
．
则由中点坐标公式得
即
所以
，即
为所求的轨迹方程．……8分
（3）类似的性质：若
是双曲线
：
上关于原点对称的两个点，点是双曲线上任意一点，当直线
的斜率都存在，并记为
，那么
之积是与点位置无关的定值．10分
下面证明：
设点
，则
，其中
．
又设点
为双曲线上任意一点，由
，
，
得
．（*）
将
，
代入（*）
．
即之积是与点位置无关的定值．………………………14分