高二数学测试题—空间角和距离（7）.

高中学生学科素质训练

高二数学测试题—空间角和距离（7）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．、为异面直线，二面角——，，，如果二面角——的平面角为，则，所成的角为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　A．　　　　　 　　 B．　　  　　 C．或　　 　 D．

2．在空间，如果、、表示直线与平面，“若，，则∥”成立，那么，，所分别表示的元素正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　A．，，都是直线　　　 　　　　B． ，，都是平面

　　　C．，为平面，为直线　　　　  D． 为直线，，为平面

3．一个二面角的两个面与另一个二面角的两个面分别垂直，则这两个二面角的大小关系是　　　 （　　）

　　　A．相等　　　　　　　　B．互￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿_￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿_￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿_￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿_￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿_￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿_￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿_￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿_￿￿_￿￿￿＀￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿_￿￿￿￿￿￿￿_￿￿￿￿￿￿￿_￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿_￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿_￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿_￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿_￿￿_￿￿_￿￿_￿￿￿￿_￿￿￿￿_￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿_￿￿￿￿_￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿＀￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿_￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿_￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿_￿￿￿￿＀￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿_￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ÿ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿＀￿￿￿_￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿_￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿_￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿＀￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿_￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿_￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ÿ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿_￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿_￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿_￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ÿ￿￿￿￿_￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿_￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿_￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿＀￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿^￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿^￿￿￿￿￿￿￿￿^￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿＀￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ÿ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿_￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿＀￿￿￿￿＀￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿_￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿＀￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿_￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿＀￿￿￿￿＀￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿＀￿￿￿￿＀￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿点距离都是25,求点P到平面的距离。

19．（本小题满分12分）已知正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC中点。在直线CC₁上求一点N，使MN⊥AB₁。

20．（本小题满分12分）如图，已知斜平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD，

∠A₁AB=∠A₁AD=∠BAD．

（Ⅰ）求证：平面B₁D₁DB⊥平面A₁C₁CA；

（Ⅱ）当A₁B₁=，且直线A₁A到平面B₁D₁DB的距离为1时，求∠BAD的大小.

21．（本小题满分12分）三棱锥P—ABC中，PA=PB，CB⊥面PAB，M、N分别在PC、AB上，且PM=MC，AN=3NB

（1）求证：MN⊥AB　（2）当∠APB=90°，BC=2，AB=4时，求MN的长。（12分）

22. （本题满分14分）

如图，正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁的棱长为1，

E、F、M、N分别是A₁B₁、BC、C₁D₁、B₁C₁

的中点.

（1）用向量方法求直线EF与MN的夹角；

（2）求直线MF与平面ENF所成角的余弦值；

（3）求二面角N—EF—M的平面角的正切值.

高二下学期数学参考答案（7）

一．  选择题　　　 1C　2D  3D　4C　5B 6A  7B　8D　9B  10D　11D　 12C

4解: 设E、F，过P作交N于Q，连FQ，则是二面角M—l—N的平面角（图14），=60，是PE与平面N所成的角。设EP=4，则PF=2，PQ=。∴ cos=。选（C）。

12. 解 正四面体表面正三角形的中线所成角的余弦值有五种。选（C）。

二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）

13.45º　14. 　15. 2b>a　　　16. 2Rarcsin(cosa·sinb/2)

14解 如图，直角三角形ABC中，，CD是AB上的中线，E、F分别在CD和CD的延长线上，AE，则EF=1，AE=BF=。以CD为折痕折为直二面角后，AB距离

=。

　　　　　　 A　　

　　　　　　　　　　　　　D　　F　　　　

　　　　　　　　　　　　 

　　　　　　　　  E　　　

　　　　　　  C　　　　　　　　　　 B　　　　　

三、解答题（共计74分）

17. 解：过D作DE⊥AB于E，则BCDE为正方形，CE与BD交于O，则CE⊥BD．

故∠C′OE为二面角C′-BD-A的平面角．所以∠C′OE=60º，，

18解：由斜线相等，射影相等知，P在底面的射影为△ABC的外心O，又△ABC为Rt△，外心在斜边中点，故PO===

19解：方法1：如图AB₁=AB+BB₁，MN=BC+CN

AB₁·MN=(AB+BB₁) ·(BC+CN)=AB·(BC)+AB·CN+BB₁· (BC)+BB₁·CN

=×1×1(﹣)+0+0+2CN=0　　　　∴CN=

方法2：坐标计算法　AB₁ =(,,2)　　　M(,,0)　 N(1,0,Z)

MN=(,﹣,Z)

由A₁S₁·MN=0　得　Z=

AC所在直线的x轴

AA₁所在直线为y轴

A为原点

方法3：AB₁在面BCC₁B₁的射影为B₁M，故之需B₁M⊥MN，

设CN=x.　则有　B₁M=　 MN=,　　B₁N=

由勾股定理x=

20．解：(Ⅰ）如图，因∠A₁AB=∠A₁AD，A₁A=A₁A，AB=AD，

故ΔA₁AB≌ΔA₁AD．于是，A₁B=A₁D．

故BD⊥A₁O.又AB=AD，故BD⊥AC．

又A₁O∩AC=O，故BD⊥面A₁C₁CA．于是，

面B₁D₁DB⊥面A₁C₁CA．（6分）

（Ⅱ）作A₁F⊥OO₁于F，则A₁F⊥面B₁D₁DB．

故A₁F=1.（8分）

过F作MN∥BD，分别交BB₁、DD₁于M、N，显然

DD₁⊥面A₁MN，故DD₁⊥A₁N.

设∠BAD=α，则A₁N=sinα，FN=OD=sin.（10分）

在RtΔA₁FN中，由勾股定理得

（sinα）²-（sin）²=1，即2cosα=cosα.

又cosα≠0，故cosα=，α=60°.也就是∠BAD=60°（12分）

21．解：设

22. （满分14分）

解：设AB=i，AD=j，AA₁=k，以i，j，k为坐标向量建立空间直角坐标系A—xyz，

则有E（，0，1，），F（1，，0），M（，1，1），N（1，，1）.（2分）

（1）∵EF=（，，-1），MN=（，-，0），

∴EF·MN=（，，-1）·（，-，0）=-+0=0.

∴EF⊥MN，即直线EF与MN的夹角为90°.（6分）

（2）由于FN=（0，0，1），MN=（，-，0），

∴FN·MN=0，∴FN⊥MN.

∵EF∩FN=F，∴MN⊥平面ENF.

又MN平面MNF，∴平面MNF⊥平面ENF.（8分）

（3）在平面NEF中，过点N作NG⊥EF于点G，连结MG，由三垂线定理，得MG⊥EF.

∴∠MGN为二面角N—EF—M的平面角.（12分）

在Rt△NEF中，NG=.

∴在Rt△MNG中，tan∠MGN=.

∴二面角M—EF—N的平面角的正切值为.（14分）