| 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 注意事项
1、 答第Ⅰ卷前，考生务必将本人的学校、班级、姓名、考试号填在第Ⅱ卷的密封线内.
2、 将第Ⅰ卷上每小题所选答案前的字母标号填写在第Ⅱ卷卷首相应的答题栏内.在第Ⅰ卷上答题无效.
3、 考试结束，只交第Ⅱ卷. 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题四个选项中，只有一项是符合要求的，请将答案填写在第Ⅱ卷相应的答题栏内．
1. 直线 和 的夹角是
A． B． C． D．
2. 抛物线 上一点到 轴的距离是3，则该点到抛物线焦点的距离是
A．2 B．3 C．4 D．5
3. 不等式 的解集是
A．(-∞，-1)∪(1，2) B．(-1,1) ∪(2, +∞) C． (-1,2) D．(-∞,1) ∪(2,+ ∞)
4. 直线 关于点 对称的直线方程是
A． B．
C． D．
5. 已知方程 和 表示的两条直线平行，则 的值为
A． 或 B． C． D． 或
6. 如图，P是正方形ABCD所在平面外一点，PD⊥平面ABCD，M、N分别为AB、BC的中点，则与PM垂直的直线是（ ）
A．AB B．BC C．AN D．MC
7. 以椭圆 的焦点为焦点，双曲线 的顶点为顶点的双曲线的虚轴长是
A． B．6 C． D．3
8. 斜率为2的直线被抛物线 所截得线段中点的轨迹方程是
A． B．
C． D．
9. 直线 的斜率 ，则此直线的倾斜角的取值范围是
A． B．
C． D．
10. 已知函数 ，对于任意正数 ，使得 的一个充分但不必要条件是
A． B．
C． D．
11. 若直线 与曲线 有两个不同的交点，则 的取值范围是
A． B．
C． D． 或
12. 已知椭圆 的左、右焦点是 , ， P是椭圆上的一点，线段 交 轴于点 ，若 是 与 的等差中项，则 等于
A．3 B．2 C．5 D．4
第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 注意事项：
1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中.
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚. 得分 评卷人
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上． 13. 函数 的最小值是 ．
14. 若直线 与圆 相切，则 的值为 ．
15. 双曲线 的一条准线被它的两条渐近线所截得线段的长为 ．
16. 已知 、 是不同的直线， 、 是不同的平面，给出下列四个命题：
① 若 ， ，则 ② 若 ， ，则
③ 若 ， ，则 ④ 若 ， ，则
其中正确命题的序号是 ．（将你认为正确的全填上）
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
得分 评卷人
17、（本小题满分12分）
已知 、 均为正实数，试比较 与 的大小．
得分 评卷人
18、（本小题满分12分） 已知空间四边形ABCD中，AC、BD是对角线．
（Ⅰ）若AB=AD，CB=CD，证明： BD⊥AC；
（Ⅱ）若点O为△BCD的重心，P为AD上的一点，OP∥平面ABC，求 的值．
得分 评卷人
19、 (本小题满分12分) 某校办工厂生产甲、乙两种产品，这两种产品每千克的产值分别为600元和400元．已知
每生产1千克甲产品需要A种原料4千克，B种原料 2千克；每生产1千克乙产品需要A种
原料 2千克，B种原料 3千克．但该厂A种原料至多有 100千克，B种原料不超过120千克．问
如何安排生产可以取得最大产值，并求出最大产值． 得分 评卷人 20、（本小题满分12分） 已知点P（2，0）及⊙C： ．
（Ⅰ）当直线 过点P且与圆心C的距离为1时，求直线 的方程；
（Ⅱ）设过点P的直线与⊙C交于A、B两点，当 时，求以线段AB为直径的圆的方
程．
得分 评卷人
21、（本小题满分12分） 已知垂直于 轴的直线与圆 有公共点 ．
（Ⅰ）若点P是线段AB的三等分点，求动点 的轨迹方程；
（Ⅱ）设点P满足条件AP = mPB，且点P的轨迹是一个焦点在 轴上的椭圆，求 的取值范围，并求此椭圆的离心率．
得分 评卷人 22、（本小题满分14分） 已知抛物线 的焦点是 ，准线是 ，过点 斜率为 的直线 交抛物线于A、B两点．
（Ⅰ）当 时，在 上是否存在点P，使∠APB为钝角？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（Ⅱ）若 上存在点P，使△APB为等边三角形，求此时 的值． 参考答案
一、
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A C A B D C B B D C A D
二、13．3 14． 15． 16．①、③
三、17．（本小题满分12分）
17．解：∵ = ，且 、 均为正实数， ……3分
∴ 当 时， ， > ； ……6分
当 时， ， = ； ……9分
当 时， ， < ． ……12分
18．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：取 中点 ，连接 ，
∵ ， ，
∴ ， .
又 ，
∴ ⊥平面 ，又 平面 ，
∴ ⊥ ． ……6分
（Ⅱ）解：连 并延长交 于 点，由 为 的重心，知 为 中点，且 ．连 ，则平面 平面 = .
∵ ∥平面 ，
∴ ∥ ，
从而在 中， = = ． ……12分
19．（本小题满分12分）
解：设生产甲产品 千克，乙产品 千克，产值为 元．
则 ， ． ……4分
作出可行域如图， ……8分
平移直线 ，使它过 点，此时 取得最大值，
由 得最优解是（7.5，35）．
故安排生产甲产品7.5千克，乙产品35千克，可取得最大产值为
元． ……12分 20．（本小题满分12分）
（Ⅰ）解：依题意，⊙C标准方程为 ，
设所求直线 的方程为 （斜率存在），
由圆心到直线的距离 ，解得 ，
∴ 的方程为 ； ……4分
又，当 的斜率不存在时，也满足题意，此时 的方程为 ，
故所求直线 的方程为 或 ． ……6分
（只写出直线 ，给2分）
（Ⅱ）解法一 由平几知识，当 时，圆心C（3，－2）到直线AB的距离为 ， ……8分
又 ，
∴ CP⊥AB，P为弦AB的中点．
故以线段AB为直径的圆的方程是 ． ……12分
解法二 若直线AB的斜率不存在，即直线为 ，此时 ，不合题意，故可设直线AB方程为 ，
由圆心C到直线AB的距离 ，
可得 ． ……9分
将 代入 并整理得： ，
∴ AB中点横坐标 ，从而纵坐标 ．
故以线段AB为直径的圆的方程是 ． ……12分
21．（本小题满分12分）
（Ⅰ）解：设点A、B的坐标分别为 ， ，
点P的坐标为 ，
依题意有 或 ，且 ，
∴ 或 ，由点A在圆 上有 ．
得 ……5分
∴ 所求动点P的轨迹方程是 （ ）． ……6分
（Ⅱ）解：依题意有 ，且
∴ ，
由点A在圆 上可得： ， ……9分
又点P的轨迹是一个焦点在 轴上的椭圆，
∴ ，解得 且 ． ……11分
此时 ， ， ，
∴ ． ……12分
22．（本小题满分14分）
（Ⅰ）解法一 抛物线的焦点坐标是 ，准线方程是 ，
直线m的方程为 ，
由 消去 可得： ，
设点A、B的坐标分别为 ， ，
点P的坐标为 ，
则 ， ……2分
若∠APB为钝角，则 ，
∴ ，
利用 ， 并整理得
，这不可能，
所以在直线 上不存在点P，使∠APB为钝角． ……6分
解法二 (以上同解法一)
由 ，
及
可知，在直线 上不存在点P，使∠APB为钝角． ……6分
解法三 设AB的中点为M，过A、B、M同时作 的垂线，垂足分别为C、D、N，则有：
， ， ，
∴ 以AB为直径的圆必与准线 相切，
∴ 直线 上除切点外的所有点都在以AB为直径的圆的外部，
∴ 在直线 上不存在点P，使∠APB为钝角． ……6分
（Ⅱ）依题意，直线m的方程为 （ ），
由 消去 可得： ，
设点A、B的坐标分别为 ， ，线段AB中点M的坐标为 ，点P的坐标为 ，
则 ，
且 ， ……8分
（或由 得到）
同理 ， ……10分
由△APB为等边三角形可知 ，即
× ，解得 ， ． ……14分 |