不等式的证明

第二单元　　　　不等式的证明

[知识要点]

1、几个重要不等式

条件	结论	等号成立条件
aÎR	a2³0	a=0
aÎR，bÎR	a2+b2³2ab	a=b
a>0，b>0		a=b

2、不等式证明的依据和方法

依据	（1）a>bÛa-b>0；a<bÛa-b<0 （2）不等式的性质（见第一单元） （3）几个重要不等式（见上表）
常用方法	（1）比较法	差比法
		商比法
	（2）综合法	利用重要不等式 利用不等式的性质
	（3）分析法

[典型例题]

例1、巳知x是实数，比较2x⁴+1与2x³+x²的大小。

例2、巳知a<b<c，A=a²b+b²c+c²a，B=ab²+bc²+ca²，比较A与B的大小。

例3、巳知a、b、c是△ABC的三边的长，求证

3（ab+bc+ca）£（a+b+c）²<4（ab+bc+ca）

例4、巳知a、b、c都是正实数，求证

a^2ab^2bc^2c³a^a+cb^c+ac^a+b

例5、巳知a₁、a₂、b₁、b₂都是实数，求证

(a₁b₁+a₂b₂)²£(a₁²+a₂²)(b₁²+b₂²)

例6、在△ABC中，a、b、c为三边的边长，S表示面积，求证

a²+b²+c²³4S，

并说明等号成立的条件。

例7、巳知a、b、c都是正实数，求证

.

例8、巳知实数a、b、x、y满足不等式(a+b)(x+y)>2(ay+bx)，求证

.

例9、巳知n>2，nÎN，求证.

例10、巳知a>0，b>0，且a+b=1，求证

.

例11、设x₁、x₂、…、x_N都是正数，求证

.

例12、巳知a、b、c是正数，且满足，求证abc£.

例13、巳知a>b>0，求证

.

[测试题]

一、选择题

1、在四个不等式

①x²+3>2x，②a⁵+b⁵<a³b²+a²b³，③a²+b²³2（a-b-1），④中，恒成立的是（　 ）

（A）仅有①和②　 （B）仅有①和③　 （C）仅有③和④　 （D）仅有①和④

2、巳知a>b>c>1，M=，N=，P=，Q=，则M、N、P、Q中最小的一个是（　）

（A）M　　　（B）N　　　（C）P　　　（D）Q

3、下列命题中成立的是（ 　 ）

（A），当且仅当x、yÎR^*时成立

（B），当且仅当a¹0时成立

（C）tanq+cotq³2，当且仅当qÎ（0，p/2）时成立

（D），当且仅当a、bÎ（1，+∞）

4、在△ABC中，三边a、b、c的对角相应为A、B、C，且a、b、c成等差数列，则∠B的范围是（　　 ）

（A）0<B£p/3　　　（B）0<B£p/4　　　（C）0<B£p/2　　　（D）p/2<B<p

5、设a>0，b>0，a+b=1，且a⁴+b⁴³k，则k的最大值等于（　 ）

（A）　　 （B）　　 （C）　　 （D）1

二、填空题

6、设，则m+n与2p的大小关系是　　　　 .

7、设a>0，b>0，T=，M=，则T与M的大小关系是　　　　　　　 .

8、，则a、b、c之间从小到大的排列顺序是

　 　　　　　　 .

9、巳知则A、B、C、D按从小到大顺序是　　　　　　　　　  .

10、巳知a>0，b>0，a¹b，且，则M、N、P的大小顺序是　　　　　　　　　　　  .

三、解答题

11、设a、b为实数，求证：a²+b²+ab+1>a+b.

12^*、巳知a、b、c均为正数，求不等式（a²+b²+c²)²>2(a⁴+b⁴+c⁴）成立的充要条件。

13、求证：（p-3.)(p-3.）>-2.5×10^-15

14、巳知x、y均为实数，且x²+y²=1，求证：x²+2xy-y²£.

15、巳知a、b均为实数，求证

a+b£.