高二数学同步测试—球（5）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列命题①多面体的面数最少为4；②正多面体只有5种；③凸多面体是简单多面体；④一个几何体的表面，经过连续变形为球面的多面体就叫简单多面体。其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．球的体积是
π，则此球的表面积是 （ ）
A． 12π B． 16π
C． 
π D． 
π
3．下列四个命题中，其中错误的个数是 （ ）
①经过球面上任意两点，可以作且只可以作一个大圆；
②经过球直径的三等分点，作垂直于该直径的两个平面，则这两个平面把球面分成三部分的面积相等；
③球的面积是它大圆面积的四倍；
④球面上两点的球面距离，是这两点所在截面圆上，以这两点为端点的劣弧的长．
A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
4．球面上有3点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的
，经过这3点的小圆的周长为
，那么这个球的半径为 （ ）
A．
B． 
C． 2 D． 
5．球的体积是π，则此球的表面积是 （ ）
A． 12π B． 16π C． π D． π
6．一个四面体的所有棱长都为
，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）
A．3π B．4π C．
D．6π
7．64个直径都为
的球，记它们的体积之和为
，表面积之和为
；一个直径为a的球，记其体积为
，表面积为
，则 （ ）
A． >且>
B． <且<
C． =且>
D． =且=
8．设地球的半径为R，在纬度为
的纬线圈上有A,B两地，若这两地的纬线圈上的弧长为 
，则A,B两地之间的球面距离为 （ ）
A．
B．
C．
D．
9．一根细金属丝下端挂着一个半径为1cm的金属球，将它浸没底面半径为2cm的圆柱形容器内的水中，现将金属丝向上提升，当金属球被拉出水面时，容器内的水面下降了（ ）
A． 
cm B． 
cm C． 
cm D． 
cm
10．地球半径为R, 北纬45°圈上A,B两点分别在东径130°和西径140°, 并且北纬45°圈小圆的圆心为O´, 则在四面体O-ABO´中，直角三角形有 （ ）
A．0个 B．2个 C． 3个 D．4个
11．定义1分的地球球心角所对的地球大圆弧长为1海里．在北纬45°圈上有甲、乙两地，甲地位于东经120°，乙位于西经150°，则甲乙两地在球面上的最短距离为 （ ）
A．5400海里 B．2700海里 C．4800海里 D．3600海里
12．甲球与某立方体的各个面都相切，乙球与这个立方体的各条棱都相切，丙球过这个立方体的所有顶点，则甲、乙、丙三球的半径的平方之比为 （ ）
A．1∶2∶3 B．1∶∶
C．1∶
∶
D．1∶2∶3
二、填空题：本大题满分16分，每小题4分，各题只要求直接写出结果．
13．两个半径为1的铁球，熔化成一个球，这个球的半径是 ．
14．球的半径为8，经过球面上一点作一个平面，使它与经过这点的半径成45°角，则这个平面截球的截面面积为 .
15．如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有
适量的水．若放入一个半径为r的实心铁球，水
面高度恰好升高r，则
．
16．湖结冰时，一个球漂在其上，取出后(未弄破冰)，
冰面上留下了一个直径为24cm,深为8cm的空穴，
则该球的半径为 ．
三、解答题：本大题满分74分．
17．(12分)在有阳光时，一根长为3米的旗轩垂直于水平地面，它的影长为米，同时将一个半径为3米的球放在这块水平地面上，如图所示，求球的阴影部分的面积(结果用无理数表示)．
18．（12分） 把四个半径为R的小球放在桌面上，使下层三个，上层一个，两两相切，求上层小球最高处离桌面的距离．
19．（12分）A、B、C是球O表面上三点，AB=6㎝，∠ACB= 30°，点O到△ABC所在截面的距离为5㎝，求球O的表面积．
20．（12分）如果球、正方体与等边圆柱（底面直径与母线相等）的体积相等，求它们的表面积
的大小关系．
21．（12分）球O的半径为R,A﹑B﹑C在球面上，A与B,A与C的球面距离都为
，B与C的球面距离为
，求球O在二面角B-OA-C内的部分的体积．
22．（14分）同底的两个正三棱锥内接于半径为R的球，它们的侧面与底面所成的角分别为
求：
（1） 侧面积的比；
（2） 体积的比；
（3）
角
的最大值．
参考答案
一、选择题：
1．D 2．B 3．C 4．B 5．B 6．A 7．C 8．D 9．D 10．C 11．D 12． B
1解：据多面体的概念选D．
6解：已该正四面体的六条棱为面对角线的正方体的棱长为1，这里的正四面体与正方体的外接球相同，故其外接球的直径为
，其表面积为
．选A．
7解： =
=
．
= 
, =
∴=, >．选C．
8．解：设球心为O，纬度为的纬线圈的圆心为O´，则∠O´AO=,∴O´A=OAcos∠O´AO=Rcos
,设A,B两地间的径度差的弧度数为
，则
Rcos
=
, ∴=
, 即A,B两地是⊙O´的一条直径的两端点，∴∠AOB=
,
∴A,B两地之间的球面距离为． 答案：D．
9．解：球的体积等于水下降的体积即
，
．答案：D．
二、填空题
13．
14．
15． 
16．13cm．
16．解： 设球的半径为R，依题意知截面圆的半径r＝12,球心与截面的距离为d＝R-8，由截面性质得：r2+d2＝R2,即122+(R-8)2＝R2． 得R＝13 ∴该球半径为13cm．
三、解答题
17． 解：由题意知，光线与地面成60°角(2 分)，设球的阴影部分面积为S，垂直于光线的大圆面积为
S′（6分），则Scos30°＝S′（9分）,并且S′＝9π，所以S＝6π(米2)……
12分
18 ． (2+
)R
解： 将四个球心两两连结（2分），构成一个棱长为2R的正四面体
（4分）
设底面正三角形
的中心为H, 则
（8分）
（10分）
故上层小球最高处离桌面的距离为
（12分）
19．解：
20． 解：设球的半径为R、正方体的棱长为a , 等边圆柱的底面半径为r, 且它们的体积都为V, （2分）则: V=
, （5分） 
．（8分）
,（10分）
．（12分）
21．解：A与B,A与C的球面距离都为，（2分）
，（6分）
BOC为二面角B-AO-C的平面角，（8分）
又B与C的球面距离为，BOC=
，（10分）球O夹在二面角B-AO-C的体积是球的六分之一即为
（12分）
22．解：（1）设O为球心，
为正三棱锥底面ABC所在圆的圆心，两个三棱锥的顶点分别为P,Q, 取BC的中点D,则
是侧面与底面所成二面角的平面角，（1分）
，同理
=
．（2分）
，
．（4分）
:
=
．（5分）
(2)
,（7分）
这两个三棱锥的底都是三角形
，
（9分）
（3）设边长为a,
,则
（11分）而
（12分）
（13分）
当平面ABC通过球心O时，a最大为
时，
取最大值
，这时也最大，最大值为
.（14分）
审定意见：本套试题整体质量比较高，尽对试题中的个别文字、标点符号进行了修改。
审稿人：安振平