高二数学竞赛试题

高二年级数学竞赛题

一.选择题:

1.已知f(x)是R上的增函数，它的图像经过A(0，-2）,B(3，2），则不等式f(x+1)≥2的解集为（　 ）.

(A)(-∞,-1]∪[2,+ ∞)　　(B)[2,+ ∞)　　 (C)(- ∞,-1]　　(D)[3,+ ∞)

2.设x, y满足arccos(y-2)=arcsin(x-1),则3x+y的取值范围是（　　）.

(A)[5-,5+]　　  (B) [5-,6]　  (C) [6, 8]　　  (D) [6,5+]

3.不等式x-2-x²-4x+3≥0的解集是（　　）.

(A) [,]　　　　　　  (B)[ ,]

(C)(-∞,] ∪[,+∞)　　(D)[ ,]

4.已知椭圆上有三点P_i(x_i,y_i)　(i=1,2,3)，它们到同一焦点的距离分别为d₁,d₂,d₃，则d₁,d₂,d₃成等差数列的充要条件是（　 ）.

(A)　x₁,x₂,x₃成等差数列　　　　　　　(B)  y₁,y₂,y₃成等差数列

(C)　上述同时成立　　　　　　　　　　　(D)  (A),(B)以外的条件

5.方程2x+2= x+3 - x-1 的解有（　 ）个.

(A) 1　　　　(B) 2　　　　  (C) 3　　　　　 (D) 无穷多个

6.对于角α,β, 若sinαsinβ+cosαcosβ=0, 则sin2α+sin2β的值等于（　　）.

(A) 0　　　　(B) 1　　　　  (C) 　　　　(D) 比大的数

7.y=x-sinx在区间(0, )上的单调性是（　　）.

(A)单调增加　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(B)单调减少

(C)先单调增加,后单调减少　　　　　　　　　　　(D)先单调减少,后单调增加

8.椭圆  (a>b>0)上的两焦点为F₁, F₂，M为椭圆上与F₁ , F₂不共线的任意一点，I为△MF₁F₂的内心，延长MI交线段F₁F₂于N， 则MI: NI的值等于（　 ）.

(A) 　　　　　　(B) 　　　　　　 (C) 　　　　　　　　(D)

9.平面直角坐标系中，O为原点，已知A（3，1），B（-1，3），若点C满足,其中α+β=1，则点C的轨迹方程为（　　）.

(A) 3x+2y-11=0 　　　　　　　　　　　　(B) (x-1)²+(y-2)²=5

(C) 2x-y=0　　　　　　　　　　　　　　　　 (D) x+2y-5=0

10.若a≤-1 ,则不等式≥a的解集是（　　）.

(A) (-∞,-1]　　　 (B) [1,+∞)　　　(C) (-∞,-1]∪[1,+∞)　　　 (D) [-1,1]

二.填空题:

11.函数y=与y=的图像有两个交点(x₁,y₁), (x₂,y₂),

则式子x₁-y₁+x₂-y₂= 　　　　　 .

12.acosx+bsinx=c ,x∈(0,π)有两根α,β, 则sin(α+β)= 　　　　　　　　　　  .

13.函数f(x)=2ax²+4(a-3)x+5是在(-∞,3)上的减函数，则a的取值范围是　　　　　　 .

14.y= 的值域是　　　　　　　　　　　　　  .

15.已知直线y=x+1与椭圆(0<b<a<)有两个交点，则椭圆的离心率e的取值范围是　　　　　　　　　　　  .

16.椭圆与抛物线x²-y+m=0有2个交点，则m的取值范围是　　　　　　  .　

17.对于m≤1的一切实数，使不等式2x-1>m(x²-1)都成立的实数x的取值范围是　　　　 .  

18.若3x²-xy+3y²=20, 则8x²+23y²的最大值是　　　　　　　　　 　　　 .

19.抛物线y²=4x的一条弦的倾斜角为α，该弦长为4csc²α，那么这种弦必经过一定点，这个定点是 　　　　　　　  .

20.平面上有一整数点P，则P点到直线y=x+的距离的最小值是 　　　　　　　　  .　　

交　　　卷　　 时　　 沿　　 此　　 线　　 撕　　 下

高二年级数学竞赛题

答题卷

姓名　　　　　　　　 成绩　　　　　　　

一.选择题:

题次	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
答案	A	D	A	B	D	A	A	B	D	C

二.填空题:

11. 　　 0　　　　　　 12. 　 2ab/(a2+b2)　　13.　[0, 3/4]　　　

14. 　　　　　 [-3,3]　　　　 15.　　　　　 (0,/3)　　　 　16.　(0, )　  　

17.　 (-1,2)　　　 　　 　 18.　　　　　　160　　 　　　　　  19.　(1,0)　　　　 

20.　　 3/238