高二上学期联合期中考试数学试卷

高二上学期联合期中考试数学试卷

　　　　　　　　　　　　　　　 

　　本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。共100分。考试时间100分钟。

第I卷（选择题共40分）

一、选择题（本题共10小题，每题4分，共40分）

1．下列命题中，正确命题的个数是（　  A）

　 （1）各个侧面都是矩形的棱柱是长方体

　 （2）三棱锥的表面中最多有三个直角三角形

　 （3）简单多面体就是凸多面体

　 （4）过球面上二个不同的点只能作一个大圆

　 Ａ.0个　　　　Ｂ.1个　　　　Ｃ.2个　　　　 Ｄ. 3个

2．在斜棱柱的侧面中，矩形最多有 （　A　）个

　　　A．2　　　　　 　　 B． 3 　　　　　　　　C．4　　　　　  　 D．6

3． 已知直线a、b和平面M，则的一个必要不充分条件是（ D 　）

　　A. 　　　　　　　　　B.

C. 　　　　　　　　 D. 与平面M成等角

4． 正四棱锥的一个对角面与一个侧面的面积之比为，则侧面与底面的夹角为（ D 　）

　　A．　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　　　D．

5．已知α，β是平面，m，n是直线.下列命题中不正确的是.......................... 　　　 （ A 　）

　　　A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α　　　　　　　 B．若m∥α，α∩β=n，则m∥n

　　　 C．若m⊥α，m⊥β，则α∥β　　　　　　 D．若m⊥α，，则α⊥β

6．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ B ）

　（A）－7　　 （B）7　　 （C）－28　　 （D）28

7．已知棱长为2的正方体内有一个和各个面都相切的球体，则球体的表面积是　（ C 　）

　 （A）8　　　　　　　　（B）6　　　　　　　　　　 （C）4　　　　　　　　　　 （D）2

 

8．如果三位数的十位数字既大于百位数字也大于个位数字，则这样的三位数一共有（ A 　）

（A）240个　　　　  （B）285个　　　　 （C）231个　　　　　 （D）243个（16）

9．一个骰子连续掷两次，以先后得到的点数m，n为点P (m，n)，那么点P在圆x² + y² = 17外部的概率为　（ D 　）

　 （A）　　　　　　　　 （B）　　　　　　　　　　　（C）　　　　　　　　　　 （D）

10．有一个正四棱锥，它的底面边长与侧棱长均为a，现用一张正方形包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠），那么包装纸的最小边长应为（ B 　）

A. 　　　　　　　　　　　　　　　 B. 　　　　　　

C. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

第Ⅱ卷（非选择题共60分）

二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分）

11．的展开式中的系数是　　 －10 　，如果展开式中第项和第项的二项式系数相等，则等于　　　 2 　 .

12．边长为2的正方形ABCD在平面α内的射影是EFCD，如果AB与平面α的距离为，则AC与平面α所成角的大小是　   30º 　　

13．现有甲种电脑56台，乙种电脑42台，如果用分层抽样的方法从中抽取一个容量为14的样本，则乙种电脑应抽样___6_____台．

14．三角形ABC的斜边AB在平面a内，直角边AC，BC与平面a所成的角分别为 30°、60°，则平面ABC与平面a所成的二面角的正弦值为______ 1________．

15．将棱长为1的正方体木块加工成一个体积最大的球，则这个球的体积为_______，球的表面积为__________（不计损耗）。

16．已知点P，直线，给出下列命题：

　　①若　　　　②若

③若　　　　　④若

⑤若

　　其中正确命题的序号是_____②⑤________(把所有正确命题的序号都填上)。

三、解答题（本题共3小题，每小题10分，共30分）

17．在学校的科技活动日中，有六件科技作品在展台上排成一排展出.

　 （Ⅰ）求作品甲不在两端的概率；

　 （Ⅱ）求作品甲、乙相邻的概率.

解（Ⅰ）作品甲不在两端的概率……………………5分

　　　 　　　　　　　　　　　　 =；……………………6分

（Ⅱ）作品甲、乙相邻的概率……………………11分

作品甲、乙相邻的概率为…………………………12分

18．

如图，在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AC=BC=2，AA₁=2，∠ACB=90°，M是AA₁的中点，N是BC₁中点.

　 （Ⅰ）求证：MN∥平面A₁B₁C₁；

　 （Ⅱ）求二面角B－C₁M—A的大小.

解：方法一（Ⅰ）取B₁C₁中点D，连结ND，A₁D，

所以DN//BB₁///AA₁，………………1分

又，所以四边形A₁MND为平行四边形，

所以MN//A₁D；…………3分

又，

所以MN//平面A₁B₁C₁；…………5分

（Ⅱ）三棱柱ABC－A₁B₁C₁为直三棱柱，所以CC₁⊥BC，

又∠ACB=90°，所以BC⊥平面ACC₁A₁，…………7分

在平面ACC₁A₁上作CE⊥C₁M，交C₁M于点E.

则CE为BE在平面ACC₁A₁上的射影，

所以∠BEC为二面角B—C₁M—A的平面角.………………9分

由于△CEC₁与三角形C₁A₁M相似，所以

所以……………………11分

所以……………………13分

即二面角B—C₁M—A的大小为.…………………14分

方法二（Ⅰ）如图，以点C为坐标原点，以CB所在

直线为Ox轴，CA所在直线为Oy轴，CC₁所在直线

为Oz轴，建立空间直角坐标系.

由已知得、、.

,,

所以

所以…………2分　　　　 所以MN//A₁N；………………4分

又所以MN//平面A₁B₁C₁；…………5分

（Ⅱ）三棱柱ABC—A₁B₁C₁为直三棱柱，所以CC₁⊥BC，

………………7分

设垂直于平面BMC₁的向量

所以　 即

所以……………………………………10分

所求二面角的大小……………13分

即二面角B—C₁M—A的大小为…………………………14分

19．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，，E是A₁C的中点，且交AC于D，。

　　（I）证明：平面；

　　（II）证明：平面；

　　（III）求平面与平面EDB所成的二面角的大小（仅考虑平面角为锐角的情况）。

（I）证：

　　三棱柱中，　　　　　　　　　　1分

　　又平面，且平面，

　　平面　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3分

　　（II）证：

　　三棱柱中，

　　中

　　是等腰三角形　　　　　　　　　　　6分

　　E是等腰底边的中点，

　　

　　又依条件知

　　且

　　由①，②，③得平面EDB　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分

　　（III）解：

　　平面，

　　且不平行，

　　故延长，ED后必相交，

　　设交点为E，连接EF，如下图

　　是所求的二面角　　　　　　　　　　　 10分

　　依条件易证明

　　为中点，

　　A为中点

　　

　　

　　

　　即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12分

　　又平面EFB，

　　

　　是所求的二面角的平面角　　　　　　　　　　　13分

　　E为等腰直角三角形底边中点，

　　

　　故所求的二面角的大小为　　　　　　　　　　　　　　　　14分