珠海市斗门区第一中学解析几何单元测试题数学（文 科）
一、选择题本题共有10个小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在试卷指定的位置上。
1．已知A(2,3)，B(-1,4)则直线AB的斜率是( )
A. 
B. 
C. 
D. 
2． 如果椭圆
上一点P到焦点F1的距离为6，则点P到另一个焦点F2的距离为（ ）A． 10 B．
3．已知点
的坐标满足
，则动点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线 C．两条射线 D．以上都不对
4．直线3x-2y=4的截距式方程是( )
A. 
B. 
C. 
D. 
5．椭圆
的焦点在
轴上，长轴长是短轴长的两倍，则
的值为（ ）
A．
B．
C． 2 D．4
6． 若双曲线
的渐近线l方程为
，则双曲线焦点F到渐近线l的距离为 ( )
A．2 B．
C．
D．2
7．若直线
过点
，且与双曲线
只有一个公共点，则这样的直线有（ ）
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
8．双曲线两条渐近线的夹角为60º，该双曲线的离心率为（ ）
A．
或
B．
或 C．或2 D．或2
9．已知
, A、B分别在y轴和x轴上运动, O为原点, 
则动点P的轨迹方程是
(
).
A. 
B. 
C. 
D. 
10．
如图，双曲
的左焦点为F1，顶点为A1，
A2，P是双曲线上任意一点，则分别以线段PF1、A
径的两圆位置关系为( )
A. 相切 B. 相交
C. 相离 D. 以上情况都有可能
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．过点P(-2, -4)的抛物线的标准方程为
12. 若一双曲线的离心率为
，则其渐近线为______________.
13．圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,-4)、B(0,-2)，则圆的方程为_________.
14．已知平面上有两定点A，B，同一平面上一动点P与两定点的连线的斜率乘积等于常数m
(
)，对于下面5种曲线:① 直线；② 圆；③ 抛物线；④ 双曲线；⑤ 椭圆.则动点P的轨迹方程是____________________(将所有可能的情况都写出来)
三、解答题(本大题6小题，共80分)
15．（本题满分12分）已知双曲线的中心在原点，焦点为F1
，F2（0，
），
且离心率
，求双曲线的标准方程．
16.（本题满分13分） 已知圆C：
,点P(2,-1)，过P点作圆C的切线PA，PB，A，B为切点．
(1)求切线长
.
(2)求直线AB的方程.
17．(本题满分13分)在椭圆
＋
=1内有一点M(4, －1)，使过点M的弦AB的中点正好为点M，求弦AB所在的直线的方程.
18. (本题满分14分)设动圆P过定点A（-3，0），并且在定圆B：
的内部与其内切，求动圆的圆心P的轨迹方程.
19．(本题满分14分)小明家中有两种酒杯，一种酒杯的轴截面是等腰直角三角形，称之为直角酒杯(如图1)，另一种酒杯的轴截面近似一条抛物线，杯口宽
⑴ 请选择适当的坐标系，求出抛物线酒杯的方程．
⑵ 一次，小明在游戏中注意到一个现象，若将一些大小不等的玻璃球依次放入直角酒杯中，则任何玻璃球能触及酒杯杯底．但若将这些玻璃球放入抛物线酒杯中，则有些小玻璃球能触及酒杯杯底．小明想用所过数学知识研究一下，当玻璃球的半径r为多大值时，玻璃球一定会触及酒杯杯底部．你能帮助小明解决这个问题吗？
20．(本题满分14分)椭圆E的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率e=
，过点C(-1，0)的直线交椭圆于A，B两点，且满足
（1）
若
为常数，试用直线的斜率k（k≠0）表示三角形OAB的面积.
（2）
若为常数，当三角形OAB的面积取得最大值时，求椭圆E的方程.
（3）
若变化，且=k2+1，试问：实数和直线的斜率k（k∈R），分别为何值时，椭圆E的短半轴长取得最大值？并求此时的椭圆方程.
斗门区一中解析几何单元测试题答题卷
考试时间：
一、选择题(每题5分共50分)
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答案 | A | D | B | D | A | C | C | D | B | A |
二、填空题(每题5分共20分)
11.
或
12.
13.
14.
①②④⑤
三、解答题
15. 解：设双曲线的标准方程为
则
得
由
知
,即知双曲线的方程为
故所求的双曲线方程为.
16. 解:由题意知圆C的圆心为 C(1,2),而P点坐标
为P(2,-1).
（1） 切线长
(2) (法一)设过P的切线方程为
.
①当k不存在时，显然不成立
②当k存在时，
,圆的半径为,
由点直线的距离公式知
,得
故所求的切线方程为x+y-1=0或7x-y-15=0
联立方程
得
,
由
知
得
故
即知AB的方程为
(法二)以P为圆心，以切线长为半径作圆得
,而AB是圆C与圆P的相交弦
故AB方程为
17. 解：本题有四种方法，若用斜率，应该考虑斜率不存在，联立方程时二次项系数为0，及
等问题.
(法一) 由题意，M(4,-1)在圆内，则一定存在直线AB，使得M是AB的中点，设A(x,y),则B(8-x,-2-y)，则
两式相减得
.
(法二) 题意，M(4,-1)在圆内，则一定存在直线AB，使得M是AB的中点.由公式
知
,知
故y+1=x-4,即得AB的方程为.
18. 解：设动圆P的圆心P(x,y),半径为r.
由题意得圆B的半径R=8，PA=r,而在圆B内部与其内切，可知PB=8-r,即得PA+PB=8,由于AB=6,得P点的轨迹是椭圆，且
a=4,c=3,
,即知动圆P的圆心P的轨迹为
19．解：⑴ 如图1，以杯底中心为原点，建立直角坐标系，
设抛物线方程为x2＝2py( p＞0)．
将x＝2，y＝8代入抛物线方程，得p＝，
∴ 抛物线方程为
．
⑵ (以下是我的理解)由题意，要想玻璃珠触及杯底，只需在y轴上找一点P(0,r)，使得抛物线上的点到P点距离最近的点是顶点O即可.
设抛物线上任一点M(x,y)，则
,联立抛物线方程得
(y≥0)
对称轴为y=
,当对称轴0时，可知
在y≥0时是增函数，即当y=0时有最小值，也即最近点是原点O.
故
≤,即当0＜r≤时，玻璃球一定会触及杯底
(以下是标准答案)设圆心在y轴正半轴上，且过原点的圆的方程为x2＋( y－r)2＝r2，将之代入抛物线方程，消去x，得y2＋(－2r)y＝0． ∴ y1＝0，y2＝2r－．
若要使玻璃球在杯中能触及杯底，则要y2＝2r－≤0．
即当0＜r≤时，玻璃球一定会触及杯底．
20. 解：设椭圆方程为：
，由
及
，
得
，故椭圆方程为：
①
⑴直线
交椭圆于A
，B
两点，
由
得
即
②
把代入椭圆方程得：
∴
③ 
④
∴
由②③知道
∴
⑵
当且仅当
时，即
时，S取得最大值。
将代入③④中得
，故所求
⑶由②③联立得
将
代入④得
当
时，
是的减函数，
故当=2时
故椭圆方程为
。