浙江省龙游中学2006学年第二学期
高二数学第一次月考试卷 2006.3
一、选择题
1．如图正方体中，直线
与
所成的角的大小为（ C
）
A．
B．
C．
D．
2．有6种不同的工作分配给6个人担任，每人只担任其中的一项工作，且有一人不能担任其中的某两项工作，则不同的分配方法有( B)
A．4
B．4
C．
D．
3、在100件产品中，有3件是次品，现从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的取法种数为 （ B ）
（A）
（B）
（C）
（D）
4、n是奇数，二项式（1-x)2n+1展开式中系数最大的项是（C ）
（A）第n项（B）第n＋1项（C）第n+2项（D）第n+1,n＋2项
5、二项式
的展开式中，有理项共有（ D ）
（A）3项 （B）5项 （C）6项 (D）7项
6.三个人坐在一排八个座位上，若每个人的左右两边都要有空位，则不同的坐法有(D)
A．
B．
C．
D．
7．在(x2＋3x＋2)5的展开式中，含x项的系数是(B )
A．160 B．240式 C．360 D．800
8．球面上有A、B、C三点，每两点间的线段AB=18，BC=24，AC=30，且球心到△ABC所在平面ABC的距离等于球半径的
，那么球的表面积为 ( B ）
A．1600π B．1200π C．300π D．
π
9．式子
的值为
( C
)
124 
361 
124或361 
无法确定
10.从装有白球3个、红球4个的箱子中，把球一个一个地取出来，到第五个恰好把白球全部取出的概率是 （ C ）
（A）
（B）
（C） 
（D）
11.
展开式中，常数项是
( A )
（A）
（B）
（C）
（D）
12．已知在6个电子元件中，有2个次品，4个合格品，每次任取一个测试，测试完后不再放回，直到两个次品都找到为止，则经过4次测试恰好将2个次品全部找出的概率（ B ）
A.
B.
C.
D.
13.从0,1,2,…,9这10个数字中，选出3个数字组成三位数,其中偶数个数为( A )
（A）328 （B）360 （C）600 （D）720
14.从装有
粒大小、形状相同但颜色不同的玻璃球的瓶中，随意一次倒出若干粒玻璃球（至少一粒），设倒出奇数粒玻璃球的概率为
，倒出偶数粒玻璃球的概率为
，那么( A )
A、
B、
C、
D、以上都不对
二、填空题
15.若
则
1
， 
。
16. 
展开式中含
项系数为_____________。
（法一）
（法二）
时
∴ 分子
项系数为
∴ 
的项系数为
17. 3个打字员为4家公司服务，每家公司各有一份文件要录入，则每个打字员都收到文件的概率为______4/9______.
(C
18．a.将正整数n表示成k个正整数的和（不计较各数的次序），称为将正整数n分成k个部分的一个划分，一个划分中的各加数与另一个划分的各加数不全相同，则称为不同的划分，将正整数n划分成k个部分的不同划分的个数记为
，则
＝______8______．
b. 720能被_____24_______个不同的正偶数整除,所有这些正偶数的和为_____2340_______ (a、b二题任选一题)
三、解答题
19（本小题满分12分）6名同学站成一排：
①甲不站排头也不站排尾的不同排法有多少种？
②甲不站排头，且乙不站排尾的不同排法有多少种？
③甲、乙、丙不相邻的不同排法有多少种？
④甲、乙不相邻而且丙、丁也不相邻的排法有多少种?
解:①A
·A
=20×24=480（种） ②A
－
+A=504（种）
③A
·A
=144（种）
④法1:
则
解得
法2:排法数=
-甲、乙相邻排法数-丙、丁相邻排法数+甲、乙相邻且丙、丁相邻排法数
即
=336
法3:
( 用插入法,分二类插)
法4:甲、乙不相邻-甲、乙不相邻且丙、丁相邻
20．已知集合
，
是
到
的映射，
（1）若中每一个元素都有原象，这样不同的映射
有多少个？
（2）若中元素0必无原象，这样的映射有多少个？
（3）若满足
，这样的映射有多少个？
解(1)
(2)
(3)
法2:
=
=
=
有
=31
21．（本小题满分14分）
（理科学生做）如图，已知正三棱柱ABC－ 
，D是AC的中点，∠
DC = 60°
（Ⅰ）求证：AB1∥平面BD；
（Ⅱ）求二面角D－B－C的大小。
（文科学生做）如图，直三棱柱ABC－，AB =
AC = 1，AA
= 2，∠
= 90°，D为BB的中点。
（Ⅰ）求证：AD⊥平面ADC1；
（Ⅱ）求异面直线CD与直线AC所成角的余弦值。
解．（理科）
（Ⅰ）连结B交BC于O，则O是BC的中点，连结DO。
∵在△A
C中，O、D均为中点，
∴A∥DO…………………………3分
∵A
平面BD，DO
平面BD，
∴A∥平面BD。…………………6分
（Ⅱ）设正三棱柱底面边长为2，则DC = 1。
∵∠DC = 60°，∴C= 
。
作DE⊥BC于E。
∵平面BC⊥平面ABC，
∴DE⊥平面BC
作EF⊥B于F，连结DF，则 DF⊥B
∴∠DFE是二面角D-B-C的平面角……………10分
在Rt△DEC中，DE=
在Rt△BFE中，EF = BE·sin
∴在Rt△DEF中，tanDFE = 
∴二面角D－B－C的大小为arctan
………………………14分
（文科）解法一：
（Ⅰ）∵A
⊥平面，
∴AA1⊥A1
又C1⊥,
∴A1⊥平面BA
∴AD⊥
∵AD =
,D =, A= 2,
由此
,
得D⊥AD
∵∩D =
∴AD⊥平面D ……………………7分
（Ⅱ）连结A交C于点E，取AD的中点F，连结EF，则EF∥D
∴∠CEF或它的补角就是异面直线D与直线C所成的角
由（Ⅰ）知，AD⊥，则AD⊥AC，又AF = AD =
在△CEF中，
CE =
，EF =
，CF =
cos CEF =
则异面直线D与直线C所成角的余弦值为
…………14分
法2:取CC1及A
,
,
=
=
,所以
=
=
所以异面直线D与直线C所成角的余弦值为
22.(12分)把4个不同的球任意投入4个不同的盒子内（每盒装球数不限），
计算（1）无空盒的概率；（2）恰有一个空盒的概率．
解:4个球任意投入4个不同的盒子内有44种等可能的结果．
（1）其中无空盒的结果有
种，所求概率：P＝
答:无空盒的概率是
．
（2）先求恰有一空盒的结果数：选定一个空盒有
种，选两个球放入一盒有
种，其余两球放入两盒有
种，故恰有一个空盒的结果数为：
，所求概率：
P（A）＝
答:恰有一个空盒的概率是
．
23.(12分) 已知：
的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大
．
（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项。
解：令
，则展开式中各项系数和为
，又展开式中二项式系数和为
，
∴
，
．
（1）∵，展开式共
项，二项式系数最大的项为第三、四两项，
∴
，
，
（2）设展开式中第
项系数最大，则
，
∴
，∴
，
因此展开式中系数最大的项为
已知（
＋3x2）n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992，求(1)展开式中系数最大的项．(2)当
时展开式中第几项的值最大.
策略：由系数间的关系可求n，然后求系数最大的项即求系数不小于其前一项和后一项的系数的项，可以列不等式组求解．
解：令x＝1，得各项的系数和为（1＋3）n＝4n，而各项的二项式系数和为
＋
＋…＋
＝2n，∴4n＝2n＋992
∴2n＝32或2n＝－31（舍）
∴n＝5，设第r＋1项系数最大，则
即
∴
≤r≤
，又r∈Z ∴r＝4
∴系数最大的项是第五项，且T5＝
．
评注：本思想方法不仅适用于求系数最大（小）项问题，在数列问题中也广泛采用．