英德中学2005～2006年高二数学选修（2-1）期末模拟考试题
班级： 姓名： 座号： 成绩：
一、选择题（15×4=60分）
| 题目 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 |
1、(x+1)(x+2)>0是(x+1)(
+2)>0的（ ）条件
A 必要不充分 B 充要 C 充分不必要 D 既不充分也不必要
2、已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q成立的（ ）条件
A 必要不充分 B 充分不必要 C 充要 D 既不充分也不必要
3、已知
，则向量
的夹角为（ ）
A 
B 
C 
D 
4、O、A、B、C为空间四个点，又
、
、
为空间的一个基底，则（ ）
A O、A、B、C四点共线 B O、A、B、C四点共面
C O、A、B、C四点中任三点不共线 D O、A、B、C四点不共面
5、（05广东卷）给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题：
①若
；
②若m、l是异面直线，
；
③若
；
|
其中为假命题的是 （ ）
A ① B ② C ③ D ④
6、（05广东卷）已知高为3的直棱柱ABC—A′B′C′的底面是边长为1的
正三角形（如图1所示），则三棱锥B′—ABC的体积为（ ）
A 
B 
C 
D 
7、（05广东卷）若焦点在
轴上的椭圆
的离心率为，则m=（ ）
A 
B 
C 
D
8、已知
，则
的取值范围是（ ）
A 
B 
C 
D 
9、 已知椭圆
上一点P到它的右准线的距离为10, 则点P到它的左焦点的
距离是( )
A 8 B 10 C 12 D 14
10、与双曲线
有共同的渐近线,且经过点
的双曲线的一个焦点到
一条渐近线的距离是( )
A 1 B 2 C 4 D 8
11、若抛物线
上一点P到准线和抛物线的对称轴的距离分别为
和
，则此点P的横坐标为（ ）
A 
B 
C
D
非上述答案
12、已知坐标满足方程F（x，y）=0的点都在曲线C上，那么（ ）
A 曲线C上的点的坐标都适合方程F（x，y）=0；
B 凡坐标不适合F（x，y）=0的点都不在C上；
C 不在C上的点的坐标不必适合F（x，y）=0；
D 不在C上的点的坐标有些适合F（x，y）=0，有些不适合F（x，y）=0。
二、填空题（4*4=16分）
13、已知四面体A—BCD，设
，
，
，
,E、F分别为AC、BD中点，则
可用
表示为_______ ____.
14、“若A则B”为真命题，而“若B则C”的逆否命题为真命题，且“若A则B”是“若C则D”的充分条件，而“若D则E”是“若B则C”的充要条件，则┐B是┐E的 条件；A是E的 条件。（填“充分”“必要”、“充要”或“既不充分也不必要” ）
15、设双曲线
的一条准线与两条渐近线交于A、B两点，相应的焦点为F，若以AB为直径的圆恰好过F点，则离心率为
16、抛物线Y2＝8X上一点P到其焦点的距离为9，则其横坐标为___ ____。
三、解答题（共74分）
17、（12分）将命题“正偶数不是质数”改写成“若则”的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。
18、（12分）已知顶点在原点, 焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为
。
求抛物线的方程.
19、（12分）已知
+
=1的焦点F1、F2，在直线l：x+y－6=0上找一点M，
求以F1、F2为焦点，通过点M且长轴最短的椭圆方程．
20、（12分）A是△BCD所在平面外一点，M、N分别是△ABC和△ACD的重心.若BD=4，试求MN的长.
21、（12分）给定双曲线
。过A（2，1）的直线与双曲线交于两点
及
，求线段的中点P的轨迹方程．
22、（14分）在棱长为1的正方体
中，
分别是
的中点，
在棱
上，且
，H为
的中点，应用空间向量方法求解下列问题.
（1）求证：
;
（2）求EF与所成的角的余弦;
（3）求FH的长.
英德中学2005～2006年高二数学选修（2-1）期末模拟考试题（答案）
一、选择题（15×4=60分）
| 题目 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | A | B | C | D | C | D | B | A | C | B | D | C |
二、填空题（4×4=16分）
13、
(
) 14、必要 充分 15、
16、7
三、解答题（共74分）
17、（12分）将命题“正偶数不是质数”改写成“若则”的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。
解：原命题：若一个数是正偶数，则这个数不是质数.（假命题）
逆命题：若一个数不是质数，则这个数是正偶数.（假命题）
否命题：若一个数不是正偶数，则这个数是质数.（假命题）
逆否命题：若一个数是质数，则这个数不是正偶数.（假命题）
18、（12分）已知顶点在原点, 焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为。
求抛物线的方程.
解：依题意可设抛物线方程为：
（a可正可负），与直线y=2x+1截得的弦为AB；
则可设A（x1,y1）、B（x2,y2）联立
得
即：
得：a=12或-4
所以抛物线方程为
或
19、（12分）已知+=1的焦点F1、F2，在直线l：x+y－6=0上找一点M，
求以F1、F2为焦点，通过点M且长轴最短的椭圆方程．
解：由
，得F1（2，0），F2（-2，0），F1关于直线l的对称点F1/（6，4），连F1/F2交l于一点，即为所求的点M，∴2a=MF1+MF2=F1/F2=4
，∴a=2，又c=2，∴b2=16，故所求椭圆方程为
．
20、（12分）A是△BCD所在平面外一点，M、N分别是△ABC和△ACD的重心.若BD=4，试求MN的长.
解：连结AM并延长与BC相交于E，又连结AN并延长与CD相交于E，则E、F分别为BC及CD之中点.
现在
=
=
=
=
=
∴MN=
=
=BD=
21、（12分）给定双曲线。过A（2，1）的直线与双曲线交于两点及，求线段的中点P的轨迹方程．
解：设
，
代入方程得
，
．
两式相减得： 
。
又设中点P（x,y），将
，
代入，当
时得
。又
， 代入得
。
当弦
斜率不存在时，其中点P（2，0）的坐标也满足上述方程。因此所求轨迹方程
是
。
22、（14分）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，在棱上，且，H为的中点，应用空间向量方法求解下列问题.
（1）求证：;
（2）求EF与所成的角的余弦;
（3）求FH的长.(16分)
解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.则
，
（2）
，由（1）知
故EF与所成角的余弦值为
.
（3）
的中点，
四、参考题
23．（05广东卷）（本小题满分14分）
如图3所示，在四面体P—ABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=
.F是线段PB上一点，
，点E在线段AB上，且EF⊥PB.
（Ⅰ）证明：PB⊥平面CEF；
（Ⅱ）求二面角B—CE—F的大小.
（I）证明：∵
∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形，同理可证
△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形，△PCB是以∠PCB为直角的直角三角形。
故PA⊥平面ABC
又∵
而
故CF⊥PB,又已知EF⊥PB ∴PB⊥平面CEF
（II）由（I）知PB⊥CE, PA⊥平面ABC
∴AB是PB在平面ABC上的射影，故AB⊥CE
在平面PAB内，过F作FF1垂直AB交AB于F1，则FF1⊥平面ABC，
EF1是EF在平面ABC上的射影，∴EF⊥EC
故∠FEB是二面角B—CE—F的平面角。
二面角B—CE—F的大小为
24、（05广东卷）（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO（如图4所示）.
（Ⅰ）求△AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；
（Ⅱ）△AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.
|
则
…（1）
∵OA⊥OB ∴
, 即
，……(2)
又点A，B在抛物线上，有
，代入（2）化简得
∴
所以重心为G的轨迹方程为
（II）
由（I）得
当且仅当
即
时，等号成立。
所以△AOB的面积存在最小值，存在时求最小值1；