数学期末模拟考试题(答案）

英德中学2005～2006年高二数学选修（2-1）期末模拟考试题（答案）

一、选择题（15×4=60分）

题目	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
答案	A	B	C	D	C	D	B	A	C	B	D	C

二、填空题（4×4=16分）

13、 ()　　　14、必要　 充分　　 15、 　　16、7

三、解答题（共74分）

17、（12分）将命题“正偶数不是质数”改写成“若则”的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。

解：原命题：若一个数是正偶数，则这个数不是质数.（假命题）

逆命题：若一个数不是质数，则这个数是正偶数.（假命题）

否命题：若一个数不是正偶数，则这个数是质数.（假命题）

逆否命题：若一个数是质数，则这个数不是正偶数.（假命题）

18、（12分）已知顶点在原点, 焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为。

　 求抛物线的方程.

解：依题意可设抛物线方程为：（a可正可负），与直线y=2x+1截得的弦为AB；

则可设A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂）联立 　 得

即：　　

得：a=12或-4

所以抛物线方程为或

19、（12分）已知+=1的焦点F₁、F₂，在直线l：x+y－6=0上找一点M，

求以F₁、F₂为焦点，通过点M且长轴最短的椭圆方程．　

解：由，得F₁（2，0），F₂（-2，0），F₁关于直线l的对称点F₁^/（6，4），连F₁^/F₂交l于一点，即为所求的点M，∴2a=MF₁+MF₂=F₁^/F₂=4，∴a=2，又c=2，∴b²=16，故所求椭圆方程为．

20、（12分）A是△BCD所在平面外一点，M、N分别是△ABC和△ACD的重心.若BD=4，试求MN的长.

解：连结AM并延长与BC相交于E，又连结AN并延长与CD相交于E，则E、F分别为BC及CD之中点.

现在=

====

∴MN===BD=

21、（12分）给定双曲线。过A（2，1）的直线与双曲线交于两点及，求线段的中点P的轨迹方程．

解：设，代入方程得，．

　　两式相减得： 。

　　又设中点P（x,y），将，代入，当时得

。又，　　代入得。

当弦斜率不存在时，其中点P（2，0）的坐标也满足上述方程。因此所求轨迹方程

是。

22、（14分）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，在棱上，且，H为的中点，应用空间向量方法求解下列问题.

（1）求证：;

（2）求EF与所成的角的余弦;

（3）求FH的长.(16分)

解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.则，

（2），由（1）知

故EF与所成角的余弦值为.

（3）的中点，

四、参考题

23．（05广东卷）（本小题满分14分）

如图3所示，在四面体P—ABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=.F是线段PB上一点，，点E在线段AB上，且EF⊥PB.

　 （Ⅰ）证明：PB⊥平面CEF；

　 （Ⅱ）求二面角B—CE—F的大小.

（I）证明：∵

∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形，同理可证

△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形，△PCB是以∠PCB为直角的直角三角形。

故PA⊥平面ABC

又∵

而

故CF⊥PB,又已知EF⊥PB　　 ∴PB⊥平面CEF

（II）由（I）知PB⊥CE,　 PA⊥平面ABC

∴AB是PB在平面ABC上的射影，故AB⊥CE

在平面PAB内，过F作FF1垂直AB交AB于F1，则FF1⊥平面ABC，

EF1是EF在平面ABC上的射影，∴EF⊥EC

故∠FEB是二面角B—CE—F的平面角。

　　二面角B—CE—F的大小为

24、（05广东卷）（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO（如图4所示）.

　 （Ⅰ）求△AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；

　 （Ⅱ）△AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.

解：（I）设△AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),

则　　…（1）

∵OA⊥OB ∴,　即，……(2)

又点A，B在抛物线上，有，代入（2）化简得

∴

所以重心为G的轨迹方程为

（II）

由（I）得

当且仅当即时，等号成立。

所以△AOB的面积存在最小值，存在时求最小值1；