深圳实验学校高中部2005-2006学年度第二学段考试
高二数学（文）试卷
时间：120分钟 满分：150分
第 一 卷（选择题 满分50分）
一、选择题：本大题共10小题，在下列每小题给出的四个结论中有且只有一个正确，请把正确的结论填涂在答题卡上．每小题5分，满分50分．
1．若命题
的逆命题是
，命题的逆否命题是
，则与的关系是
（A）互为逆命题． （B）互为否命题．
（C）互为逆否命题． （D）不能确定．
2．下列结论中正确的是
（A）
，则
． （B）若
，则
．
（C）若
，则
． （D）若
，则
．
3．若函数
的递减区间为
，则
的范围是
（A）
．
（B） 
． （C）
． （D） 
．
4．设
，
，若命题
，命题
，
那么命题是命题的
（A）充分不必要条件． （B） 必要不充分条件．
（C）充要条件． （D）既不充分又不必要条件．
5．若方程
表示椭圆，则
的取值范围是
（A）
． （B） 
．
（C） 
． （D） 
．
6．设
为双曲线
的离心率，且
，则实数
的取值范围为
（A）
． （B）
． （C）
． （D） 
．
7． 设
是双曲线
上一点，双曲线的一条渐近线方程为
，
、
分别是双曲线的左、右焦点．若
，则
＝
（A）
或
． （B）
． （C）
． （D）
．
8．已知
是椭圆
的半焦距，则
的取值范围是
（A）
． （B）
． （C）
． （D）
．
9．椭圆
的左准线为
，左、右焦点分别为，，抛物线
的准线为，焦点是,
与的一个交点为，则的值等于
（A）
． （B）
． （C）
． （D）
．
10．抛物线
与直线
交于
、
两点，设抛物线的焦点为
，则
等于
（A）． （B）
． （C）． （D）．
深圳实验学校高中部2005-2006学年度第二学段考试
高二数学（文）试卷
第 二 卷（非选择题 满分100分）
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．
11．写出命题“
”的否定：
．
12．若曲线
与直线
相切，则常数的值为
．
13．以双曲线
的对称中心为顶点，双曲线的一个焦点为焦点的抛物线的方程是
．
14．椭圆
的离心率是
，则两准线间的距离为 ．
三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本题满分12分）设双曲线
的方程为
，直线的方程是
，当为何值时，直线与双曲线
（Ⅰ）有两个公共点？（Ⅱ）仅有一个公共点？（Ⅲ）没有公共点？
16．（本题满分12分）设
，
，命题
，命题
．
（Ⅰ）当
时，试判断命题是命题的什么条件；
（Ⅱ）求的取值范围，使命题是命题的一个必要但不充分条件．
17．（本题满分14分）已知为实数，
，
为
的导函数。
（Ⅰ）若
，求在
上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若在
和
上都是递增的，求的取值范围．
18．（本题满分14分）某商场从生产厂家以每件
元购进一批商品．若该商品零售价为
元
，则销售量
（单位：件）与零售价（单位：元）有如下关系：
．
（Ⅰ）试写出该商品的毛利润
与零售价的函数关系式，并指出函数的定义域；
（Ⅱ）试问该商品零售价定为多少时毛利润最大，并求出最大毛利润．
【毛利润＝销售收入－进货支出】
19．（本题满分14分）已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，过焦点
且斜率为的直线交椭圆于、两点，若椭圆的离心率
．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求
的面积（
为坐标原点）．
20．（本题满分14分）已知点
，动点
到点的距离比到
轴的距离多．
（Ⅰ）求动点的轨迹方程；
（Ⅱ）在轴上是否存在这样的点，使得过点的任意直线与点的轨迹相交于、两点时，以
为直径的圆恒过坐标原点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
深圳实验学校高中部2005-2006学年度第二学段考试
高二数学（文）参考答案
一、选择题：本大题共10小题，在下列每小题给出的四个结论中有且只有一个正确，请把正确的结论填涂在答题卡上．每小题5分，满分50分．
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| B | B | D | A | C | D | C | C | B | A |
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分（第12题第1空2分，第2空3分）．
11．
； 12．
；
13．
； 14．
．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本题满分12分）设双曲线的方程为，直线的方程是，当为何值时，直线与双曲线
（Ⅰ）有两个公共点？（Ⅱ）仅有一个公共点？（Ⅲ）没有公共点？
解：把代入得：
． …………（*）
当
，即
时，方程（*）为一次方程，只有一解．
当
且
，即
且
时，方程（*）有两个不等实根．
当且
，即
时，方程（*）有两个相等实根．
当且
，即
或
时，方程（*）没有实根．
因此，（Ⅰ）当且时，直线与双曲线有两个公共点；
（Ⅱ）当或时，直线与双曲线仅有一个公共点；
（Ⅲ）当或时，直线与双曲线没有公共点.
16．（本题满分12分）设，，命题，命题．
（Ⅰ）当时，试判断命题是命题的什么条件；
（Ⅱ）求的取值范围，使命题是命题的一个必要但不充分条件．
解：
，
．
（Ⅰ）当时，
．
，
当
时，有
，但时不能得出．
因此，命题是命题的必要但不充分条件．
（Ⅱ）当
时，
，有
，满足命题是命题的必要但不充分条件．
当
时，
，要使，须
，即
．
当
时，
，满足命题是命题的必要但不充分条件．
因此，的取值范围是
．
17．（本题满分14分）已知为实数，，为的导函数。
（Ⅰ）若，求在上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若在和上都是递增的，求的取值范围．
解：（Ⅰ）
，
。
由，得
，此时
，
，
由
，得
或
。
又
，
，
，
在上的最大值为
，最小值为
。
（Ⅱ）
，的图像是开口向上且过点
的抛物线，
由条件得
，
，
，
。解得
。的取值范围为．
18．（本题满分14分）某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品．若该商品零售价为x元
，则销售量Q（单位：件）与零售价x（单位：元）有如下关系：
．
（Ⅰ）试写出该商品的毛利润与零售价的函数关系式，并指出函数的定义域；
（Ⅱ）试问该商品零售价定为多少时毛利润最大，并求出最大毛利润．
【毛利润＝销售收入－进货支出】
解：（Ⅰ）设毛利润为
，由题意知
，
化简，得
。
由
，即
，解得
，
因为x为自然数，函数的定义域是
。
（Ⅱ）
。令
，解得
或
（舍去），
此时，
。
因为，在附近的左侧
，右侧
，所以是极大值，根据实际问题的意义知，
是最大值。
答：零售价定为每件
元时毛利润最大，最大毛利润为
元．
19．（本题满分14分）已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，过焦点且斜率为的直线交椭圆于、两点，若椭圆的离心率．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求的面积（为坐标原点）．
解：（Ⅰ）设椭圆方程为
（
），则
。……（1）
由
，得
。………………………（2）
由（1）、（2）解得
，
。
因此，椭圆方程为
。
（Ⅱ）
，直线
．
设
、
，因为
过椭圆的焦点，所以利用椭圆的焦半径公式，得弦长
。
由
得
，
．
则
，
原点到直线的距离为
．
的面积等于
．
20．（本题满分14分）已知点，动点到点的距离比到轴的距离多．
（Ⅰ）求动点的轨迹方程；
（Ⅱ）在轴上是否存在这样的点，使得过点的任意直线与点的轨迹相交于、两点时，以为直径的圆恒过坐标原点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）设点的坐标为
，依题意，
．
当
时，化简，得；当
时，化简，得
．
因此点的轨迹方程为或
．
（Ⅱ）当过原点时，满足条件，此时点的坐标为
．
当以为直径的圆过坐标原点时，
为直角三角形，
。
假设存在满足条件的点，点坐标为
．
当过点的直线垂直于轴时，依题意有
，则点的坐标为
，
点
在抛物线上，
．
下面证明点
满足条件．
当过点直线不垂直于轴时， 设该直线的斜率为
，则直线方程为
，又设、两点的坐标为
、
．
，
．……（1）
把
、
代入（1）中，得
． ……………（2）
由
消去，得
，
．
则（2）的左边
．
（2）式对任意恒成立．
因此，存在满足条件的点，点坐标为
或
．