深圳实验学校高中部2005-2006学年度第二学段考试
高二数学（理）试卷
时间：120分钟 满分：150分
第 一 卷(选择题 满分50分)
一、选择题：本大题共10小题，在下列每小题给出的四个结论中有且只有一个正确，请把正确的结论填涂在答题卡上．每小题5分，满分50分．
1.
若命题
的逆命题是
，命题的逆否命题是
，则与的关系是
（A）互为逆命题． (B)互为否命题． (C)互为逆否命题． (D)不能确定．
2.
已知正方体
中，点
是侧面
的中心，若
，则
等于
（A）
． (B)
． (C)
． (D)
．
3. 已知
、
，则下列各向量中是平面
的一个法向量的是
（A）
． (B)
． (C)
． (D)
．
4.
设
，
，若命题
，命题
，那么命题是命题的
（A）充分不必要条件． (B) 必要不充分条件．
(C) 充要条件． (D)既不充分又不必要条件．
5.
若方程
表示椭圆，则
的取值范围是
（A）
．
(B) 
．
(C) 
．
(D) 
．
6.
设
为双曲线
的离心率，且
，则实数
的取值范围为
（A）
．
(B)
． (C)
．
(D) 
．
7.
设
是双曲线
上一点，双曲线的一条渐近线方程为
，
、
分别是双曲线的左、右焦点．若
，则
＝
（A）或
．
(B)
．
(C)
．
(D)
．
8.
已知
是椭圆
的半焦距，则
的取值范围是
（A）
． (B)
． (C)
． (D)
．
9.
椭圆
的左准线为
，左、右焦点分别为，，抛物线
的准线为，焦点是,
与的一个交点为，则的值等于
（A）
． (B)
． (C)
．
(D)
．
10. 抛物线
与直线
交于两点
、
，其中点的坐标是
，设抛物线的焦点为，则
等于
（A）． (B)
． (C)． (D)．
深圳实验学校高中部2005-2006学年度第二学段考试
高二数学（理）试卷
第 二 卷(非选择题 满分100分)
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．
11. 写出命题“
”的否定：
．
12. 已知
，
，若
，则实数＝ ；若
，则实数
＝
．（第空
分，第空
分）
13. 以双曲线
的对称中心为顶点，双曲线的焦点为焦点的抛物线的方程是
．
14. 椭圆
的离心率是，则两准线间的距离为
．
三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. （本题满分12分）设双曲线
的方程为
，直线的方程是
，当为何值时，直线与双曲线
（Ⅰ）有两个公共点？（Ⅱ）仅有一个公共点？（Ⅲ）没有公共点？
16. （本题满分12分）设
，
，命题
，命题
．
（Ⅰ）当
时，试判断命题是命题的什么条件；
（Ⅱ）求
的取值范围，使命题是命题的一个必要但不充分条件．
17. （本题满分14分）如图，在四棱锥
中，已知底面
为正方形，
，
，
，
，
．
（Ⅰ）求证：平面
平面
；
（Ⅱ）求直线
与平面
所成角的正弦值．
18. （本题满分14分）已知正方体的棱长为．
（Ⅰ）问在棱
上是否存在点
，使异面直线
与
所成角的余弦为
，若存在，指出点的位置，若不存在，说明理由；
（Ⅱ）当点在棱上，且
时，求二面角
的余弦值．
 |
19.
（本题满分14分）已知点
，动点
到点的距离比到
轴的距离多．
（Ⅰ）求动点的轨迹方程；
（Ⅱ）在
轴上是否存在这样的点，过点的任意直线与点的轨迹相交于、
两点时，使得线段
的中点到原点
的距离恒为长度的一半？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
20.
（本题满分14分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，过其右焦点作斜率为的直线，交椭圆于、两点，若椭圆上存在一点，使四边形
为平行四边形．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若
的面积为
，求这个椭圆的方程．
 |
深圳实验学校高中部2005-2006学年度第二学段考试
高二数学（理）参考答案
一、选择题：本大题共10小题，在下列每小题给出的四个结论中有且只有一个正确，请把正确的结论填涂在答题卡上．每小题5分，满分50分．
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| B | B | D | A | C | D | C | C | B | A |
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分（第12题第空分，第空分）．
11．
； 12．
、 
；
13．
； 14．
．
三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本题满分12分）设双曲线的方程为，直线的方程是，当为何值时，直线与双曲线
（Ⅰ）有两个公共点？（Ⅱ）仅有一个公共点？（Ⅲ）没有公共点？
解：把代入得：
． …………（*）
当
，即
时，方程（*）为一次方程，只有一解．
当
且
，即
且
时，方程（*）有两个不等实根．
当且
，即
时，方程（*）有两个相等实根．
当且
，即
或
时，方程（*）没有实根．
因此，（Ⅰ）当且时，直线与双曲线有两个公共点；
（Ⅱ）当或时，直线与双曲线仅有一个公共点；
（Ⅲ）当或时，直线与双曲线没有公共点.
16．（本题满分12分）设，，命题，命题．
（Ⅰ）当时，试判断命题是命题的什么条件；
（Ⅱ）求的取值范围，使命题是命题的一个必要但不充分条件．
解：
，
．
（Ⅰ）当时，
．
，
当
时，有
，但时不能得出．
因此，命题是命题的必要但不充分条件．
（Ⅱ）当
时，
，有
，满足命题是命题的必要但不充分条件．
当
时，
，要使，须
，即
．
当
时，
，满足命题是命题的必要但不充分条件．
因此，的取值范围是
．
17．（本题满分14分）如图，在四棱锥中，已知底面为正方形，，，，，．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
（Ⅰ）证明：
，
，，，
有
，
，则
，
．
底面．
，
≌
．则由，得
，
因此，
平面．
平面
，平面平面．
（Ⅱ）法一：过作
，垂足为，连
．
底面，
底面，
．
又
，
平面
，
，
则
平面．
因此，
为与平面所成的角．
在直角
中，
,
,
.
法二：依（Ⅰ）可知， 底面．
以为坐标原点， 
、
、
所在的直线分别为轴、轴、
轴建立空间直角坐标系，则
,
，
，
,
,
,
.
设平面的法向量为
,
令
，解得
．
直线与平面所成角与向量
和法向量
所成角是互余关系．
直线与平面所成角的正弦值为
．
18．（本题满分14分）已知正方体的棱长为．
（Ⅰ）问在棱上是否存在点，使异面直线与所成角的余弦为，若存在，指出点的位置，若不存在，说明理由；
（Ⅱ）当点在棱上，且时，求二面角的余弦值．
解:（Ⅰ）如图所示，以点
为坐标原点，
、
、
分别为
、
、
轴，
建立空间直角坐标系．
设存在满足题意的点，且
，
那么
，
，
，
．
，
．
与
所成角的余弦为
，
，解得
．
存在点，的坐标为
或
时，与所成角的余弦为．
（Ⅱ）
平面
，
为平面的法向量，记为
．
设平面
的法向量为
，
，
，
取
，解得
，故
．
．
二面角的余弦值为
．
19．（本题满分14分）已知点，动点到点的距离比到轴的距离多．
（Ⅰ）求动点的轨迹方程；
（Ⅱ）在轴上是否存在这样的点，过点的任意直线与点的轨迹相交于、两点时，使得线段的中点到原点的距离恒为长度的一半？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）依题意，点到点的距离等于到直线
的距离，因此点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，方程为
．
（Ⅱ）当线段的中点到点的距离为长度的一半时，
为直角三角形，
．
假设存在满足条件的点，点坐标为
．
当过点的直线垂直于轴时，依题意有
，则点的坐标为
，
点
在抛物线上，
．
下面证明点
满足条件．
当过点直线不垂直于轴时， 设该直线的斜率为
，
则直线方程为
，又设、两点的坐标为
、
．
，
．……（1）
把
、
代入（1）中，得
． ……………（2）
由
消去，得
，
．
则（2）的左边
．
（2）式对任意恒成立．
因此，存在满足条件的点，点坐标为
．
20．（本题满分14分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，过其右焦点作斜率为的直线，交椭圆于、两点，若椭圆上存在一点，使四边形为平行四边形．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若的面积为，求这个椭圆的方程．
解：（Ⅰ）设椭圆方程为
（
），
直线
，
、
，中点为
．
由
得
．
则
，
．
四边形为平行四边形，
，
．
把点的坐标代入椭圆方程，并化简得
，
，得
，即
．
（Ⅱ）由四边形为平行四边形，得的面积等于
的面积．
直线过焦点，由焦半径公式有
， ……………………………（*）
由
，
，代入（*），得
．
又原点到直线的距离为
，的面积等于
．
由
，得
，
．
椭圆的方程为
．