眉山市高中2006级高二上期末考试
数 学（理） 2005.1
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的。（将正确答案填写在题后面的表格中）
1、下列命题中下确的是
（A）若
，则
（B）若
，则
（C）若
，则
（D）若，则
2、若抛物线
上横坐标为6的点到焦点的距离等于8，则焦点到准线的距离是
（A）6 （B）2 （C）8 （D）4
3、已知圆
与双曲线
的一条准线相切，则m的值等于
（A）24 （B）8 （C）2
（D）
4、如果
是直线
上的动点，那么
的最小值等于
（A）9 （B）
（C）6 （D）
5、若方程
表示焦点在y轴上的椭圆，则
（A）
（B）
（C）
（D）
6、若实数x、y满足
，则
的最大值为
（A）
（B）
（C）
（D）
7、
是使
在
是恒成立的
（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分又非必要条件
8、已知不等式
，则a的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
9、焦点为（0，6）且与双曲线
有相同渐近线的双曲线方程是
（A）
（B）
（C）
（D）
10、若m、n满足
，则点
的轨迹是
（A）整条抛物线 （B）抛物线的一部分 （C）双曲线的右支 （D）椭圆
11、直线
与曲线
的交点个数为
（A）4个 （B）1个 （C）2个 （D）3个
12、若椭圆
交于A、B两点，过原点与线段AB中点连线的斜率为，则
的值等于
（A） （B）
（C） （D）
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分。把答案填写在题中的横线上。
13、若直线
与直线
平行，则a的值等于
。
14、不等式
的解集是
。
15、过点P（1，4）作直线与两坐标轴的正半轴相交，当直线与坐标轴的两截距之和最小时，该直线的方程为 。
16、给出下列四个命题
①若动点M（x，y）满足
，则动点M的轨迹是双曲线；
②经过两直线
和
的交点且与向量
垂直的直线方程为
；
③若直线
与焦点在x轴上的椭圆
总有公共点，则
；
④若不等式
在R上恒成立，则a的最大值为1。
其中正确命题的序号是 。
三、解答题：本大题共6个小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（本小题满分12分）
已知不等式
对任意实数x恒成立，解关于x的不等式：
。
18、（本小题满分12分）
经过双曲线
的左焦点
作倾斜角为
的直线交双曲线于A、B两点，求：（1）求弦AB的长；（2）
的周长（其中
为双曲线的若焦点）。
19、（本小题满分12分）某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个和55个，所用原料为A、B两种规格的金属板，每张金属板的面积分别为2平方米和3平方米。用一张A种规格的金属板可造甲种产品3个、乙种产品5个；用一张B种规格的金属板可造甲、乙两种产品各6个。问A、B两种规格的金属板各取多少张，才能完成生产计划，并使总的用料面积最省，求出此时所用原料面积。
20、（本小题满分12分）
已知抛物线
的焦点为，准线与x轴的交点为，在直线
上找一点M，
（1）使
的值最小，并求这个最小值；
（2）求以
为焦点，经过点M且长轴最短的椭圆方程。
21、（本小题满分12分）在实数集R上的函数
如果满足：对任意
，都有
，则称为R上的凹函数。
已知二次函数
，（1）求证：
时，函数为凹函数；（2）如果
恒成立，试求实数a的取值范围。
22、（本小题满分14分）如图：在
中，点P的坐标为（－8，0），点A在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，
。在AQ的延长线上取一点M，使
（1）当点A在y轴上移动时，求动点M的轨迹E；
（2）直线
与轨迹E交于B、C两点。已知点F的坐标为（1，0），当
为锐角时，求k的取值范围。
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参考答案：
一、CDBAA CBDCB DA
二、13、1；14、
；15、
；16、①③④
三、17．解：因为不等式
对任意实数x恒成立。
不等式等价于：
因为
，故不等式的解为：
18、（理）解：双曲线的方程为：
（1）直线AB的方程为：
联
，设A、B两点的坐标为：
由韦达定理得：
（2）不妨设
，则点A在双曲线的左支上，点B在双曲线的右支上（
）
由曲线的离心率为2，右准线为
，故的周长为
19、解：设需要A、B两种规格的金属板分别为x张、y张，用料面积为z，则可制成甲种产品
个，乙种产品
个，用料面积为线性目标函数
线性约束条件为：
由方程组
即点A（5，5），（图略）
故需要取A、B两种规格的金属板各5张，才能完成生产计划，此时总的用料面积最省，其面积为25 m2。
20、解：由题设条件可知：
（1）设
关于直线的对称点为
，则有
，即
。
连接
交直线L于一点，此点即为所求的点M。此时取得最小值，其最小值等于
（2）设所求椭圆方程为：
由（1）可知：椭圆长轴长的最小值为4
即
，又
故所求椭圆方程为：
21、（1）证明：
，
，有
故函数
为R上的凹函数
（2）
恒成立，
恒成立。
时恒成立。
时取得最小值0，
，故
22、解：（1）设动点M（x，y），过点M作
轴于点N，
则
动点M的轨迹E是顶点在坐标原点，焦点为（1，0）的抛物线（不含顶点）。
（2）假设直线与抛物线的交点B、C与点F连结而成的为直角，且设B
由方程组
消去y整理得：
直线L与抛物线交于不同两点B、C
由韦达定理得：
又
同号
结合式子，从图形可知，当
时，为钝角，故当为锐角时，k的取值范围是