江苏省前黄高中2005~2006年度高二年级上学期期末考试
数 学 试 题
2006.1.22
命题人：
本试卷分选择题、填空题及解答题三部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．
请考生把选择题的答案填涂到答题卡上，填空题及解答题统一做在答卷纸上。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。
1．双曲线
的左焦点到其渐近线的距离是
A．
B．
C．1 D．
2．一动圆与圆
及圆
都内切，则动圆圆心的轨迹是
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
3．在正方体
中，表面的对角线中与
成
的有
A．4条 B．6条 C．8条 D．10条
4．若一个
，采用斜二测画法作出其直观图是面积等于1的
，则原的面积是
A．
B．
D．
5．当
且
时，曲线
与曲线
的
A．焦距相等 B．准线相同 C．焦点相同 D．离心率相等
6．在平面直角坐标系
中，抛物线
上异于坐标原点
的两不同点
满足
，则直线
必过定点
A．
B．
C．
D．
7．若实数
满足
，则
的最小值是
A．
B．
C．
D．
8．已知点
，
是双曲线
的右焦点，若双曲线上有一点
，使
最小，则点的坐标为
A．
B．
C．
D．
9．过抛物线
的焦点的直线与抛物线相交于两点，自向准线作垂线，垂足分别为
、
，则焦点与以线段
为直径的圆
之间的位置关系是
A．焦点在圆上 B．焦点在圆内
C．焦点在圆外 D．随直线的位置改变而改变
10．已知
是直线，
是平面，给出下列四个命题：
（1）若
垂直于
内的两条直线，则
；
（2）若
，则
；
（3）若
，则平行于内的所有直线；
（4）若
且
则
.
其中正确命题的个数是
A．0 B．
11．如图，已知
与
是异面直线，且
，
，
，
，则与所成的角为
A．
B．
C． D．
12．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F分别在A1D、AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，则EF与BD1的位置关系是
A．相交但不垂直 B．相交且垂直
C．异面 D．平行
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。
13．已知
、
、
三点共线，则
▲ ．
14．若实数满足
，则
的最大值是 ▲ ．
15．椭圆
中过P（1，1）的弦恰好被P点平分，则此弦所在直线的方程是 ▲ ．
16．已知平行六面体
，且
，
，
，若点
是侧面
的中心，
，则
▲ ．
17．已知椭圆
与双曲线
具有相同的焦点F1，F2，设两曲线的一个交点为，
，则双曲线的离心率为 ▲ ．
18．若关于
的方程
没有实数解，则实数
的取值范围为 ▲ ．
江苏省前黄高中2005~2006年度高二年级上学期期末考试
数 学 答 卷 纸
二、填空题
13． 14．
15． 16．
17． 18．
三、解答题
19．（本小题满分12分，每小题满分6分）
已知圆：
，直线：
．
（1）求证：不论取何实数，直线恒过一个定点；
（2）求直线被圆截得的弦长最小时，直线的方程．
20．（本小题满分12分，每小题满分6分）
如图，已知边长都为1正方形
与正方形
，
，
分别是对角线
和
上的点，且
．
（1）求证：
平面
；
（2）求
的最小值．
21．（本小题满分14分，第一小题满分4分，第二、第三小题满分各5分）
如图，在棱长为1的正方体中，
分别为、
、
的中点．
（1）求异面直线
与所成角的余弦值；
（2）求证：
平面
；
（3）试在棱上找一点
，使
⊥平面，并证明你的结论．
22．（本小题满分14分，第一小题满分6分，第二小题满分8分）
已知双曲线
的右焦点为，过点作直线
垂直于该双曲线的一条渐近线
于
．
（1）求该双曲线的方程；
（2）过点作直线
交该双曲线于两点，如果
，求直线的方程．
23．（本小题满分14分，前三小题满分各4分，第四小题满分2分）
如图，在
中，
，
，
，一曲线
过点，且曲线上任一点到两点的距离之和不变．
（1）建立适当的坐标系，求曲线的方程；
（2）设点
是曲线上的一动点，求线段
中点的轨迹方程；
（3）设是曲线上不同的两点，直线
和
的倾斜角互补，试判断直线的斜率是否为定值。如果是，求这个定值；如果不是，请说明理由．
（4）若点
是曲线上的任一定点（除曲线与直线的交点），是曲线上不同的两点，直线和
的倾斜角互补，直线的斜率是否为定值呢？如果是，请你指出这个定值。（本小题不必写出解答过程）
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江苏省前黄高中2005~2006年度高二年级上学期期末考试
数 学 参 考 答 案
一、选择题（每小题5分）
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | C | A | C | D | A | B | D | B | A | B | C | D |
二、填空题（每小题4分）
13．5 14．12 15．
16．2 17．
18．
三、解答题
19．
解：（1）把直线方程整理为：
[3分]
令
故不论取何实数，直线过定点P（3，1） [6分]
（2）由于直线过定点P（3，1）在圆内，故当直线垂直于PC时，直线被圆截得的弦长最小。 [8分]
∵
，∴
[10分]
∴直线的方程是
，即
[12分]
20．
（1）证明：过作
，垂足为，连结
。
∵
，又
∴
[2分]
∴
∴平面
平面
[4分]
从而平面 [6分]
（2）
[8分]
由勾股定理知：
[10分]
当
时，的最小值为
。 [12分]
21．
解：（1）以为坐标原点，
分别作为轴，
轴和
轴建立空间直角坐标系，则
，
，
，
，
[1分]
∴
，
[2分]
∴
故异面直线与所成角的余弦值为
[4分]
（2）∵
， [5分]
而， ∴
[7分]
故
与平面共面，又不在平面内
∴平面 [9分]
（3）设
，则
由
[11分]
∴
[13分]
为棱的中点时，⊥平面。 [14分]
注：此题直接取
的中点也可以较方便地解决前两小题，第三小题可用三垂线定理解决。
22．
（1）设F（c，0），
[1分]
解方程组
得
[3分]
又已知
[5分]
∴双曲线方程为
[6分]
（2）若直线过右焦点为F（
），可设直线的方程为
代入，
得
[8分]
设
则
[9分]
∴
故
[11分]
∴
解得：
或
[13分]
∴所求直线的方程为
和
[14分]
（若遗漏则扣3分）
23．解：以的中点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系。
∵
[1分]
不难知道：曲线是以为两焦点、长轴长为4的椭圆。 [3分]
故曲线的方程为
[4分]
（2）设线段的中点为
，∵
，∴
[5分]
∵点在曲线上，故可得：
[7分]
即线段中点的轨迹方程为
[8分]
（3）设直线和的斜率分别为
直线的直线方程为
代入曲线的方程，得
[9分]
由韦达定理：
，
∴
同理
[10分]
而
，
∴
故直线的斜率为定值 [12分]
（4）设
，则直线的斜率为定值
[14分]
（第四小题可用极限情形来考虑：当直线和的倾斜角都为时，直线即为
处的切线）
命题人：张国良 李学富