人大附中2005-2006学年度第一学期高二数学期末测试
一．单项选择题.
1.椭圆 
上一点 
到一个焦点的距离等于3，则它到另一个焦点的距离为（ ）
A．5
B．7
C．8
D．10
2.如果方程 
表示焦点在 
轴上的椭圆，那么实数 
的取值范围是（ ）A． 
B．（0，2）
C． 
D．（0，1）
3. 椭圆 
与 
的关系为（ ）
A．有相等的长、短轴 B．有相等的焦距C．有相同的焦点D．有相同的准线
4. 方程 
所表示的曲线为 
．
①若曲线 为椭圆，则 
；②若曲线 为双曲线，则 
或 
；③曲线 不可能是圆；④若曲线 表示焦点在 轴上椭圆，则 
以上命题正确的是（ ）
A．②③ B．①④ C．②④ D．①②④
5. 设双曲线 
的一条准线与两条渐近线交于 
、 
两点，相应焦点为 
，若 
为正三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A． 
B．3 C． 
D．2
6. 已知抛物线 
的焦点为 ，定点 
，在此抛物线上求一点 ，使 
最小，则 点坐标为（ ）
A． 
B． 
C． 
D． 
7. 动点 到点 
的距离比到直线 
的距离小2，则动点 的轨迹方程为（ ）A． 
B． 
C． 
D． 
8. 已知双曲线
的一条准线与抛物线
的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
二．填空题.
9.如果椭圆 
与双曲线 
的焦点相同，那么 
．
10. 以椭圆 
的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程是______．
11. 斜率为1的直线经过抛物线 的焦点，与抛物线相交于两点 、 ，则线段 
的长是____．
12. 抛物线形拱桥，当水面宽 
时，水面离拱顶为 
，若水下降 
，则此时水面宽为___________.
三．解答题.
13. 已知双曲线与椭圆 
共焦点，它的一条渐近线方程为 
，求双曲线的方程．
14． 已知动圆 过定点 
，并且在定圆 
的内部与其相内切，求动圆圆心 的轨迹方程．
15. 已知椭圆 
及直线 
．（1）当 
为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为 
，求直线的方程．
16．设
两点在抛物线
上，l是AB的垂直平分线.
（Ⅰ）当且仅当
取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；
(Ⅱ)(文)当
时，求直线
的方程.
(Ⅱ)(理)当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围.
2005-2006学年度第一学期高二数学期末测试参考答案
一．单项选择题.
1.B 2.D 3.B 4. C 5.D 6.C 7.D 8.D
二．填空题.
9. 1
10. 
11. 8
12. 
三．解答题.
13.
解法一：由于双曲线的一条渐近线方程为 
，则另一条为 
．可设双曲线方程为
即 
由椭圆方程 
可知
双曲线与椭圆共焦点，则 
∴ 
．
故所求双曲线方程为 
．
解法二：双曲线与椭圆共焦点，可设双曲线方程为
由渐近线方程 
可得
∴ 
故所求双曲线方程为
点评：1．渐近线为 
的双曲线方程可表示为 
14．
解：设动圆 和定圆 内切于点 
．动点 到两定点，即定点 和定圆圆心 
距离之和恰好等于定圆半径，即 
．
∴点 的轨迹是以 ， 为两焦点，半长轴为4，半短轴长为 
的椭圆的方程： 
．
说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．
15.
解：（1）把直线方程 代入椭圆方程 得
，即 
．
，
解得 
．
（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为 
， 
，由（1）得
， 
．
根据弦长公式得
．
解得 
．
因此，所求直线的方程为 
．
说明 处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式 
；解决弦长问题，一般应用弦长公式．用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．
16．
解：（Ⅰ）
两点到抛物线的准线的距离相等.
∵抛物线的准线是x轴的平行线，
不同时为0，
∴上述条件等价于
∵
，
∴上述条件等价于 
即当且仅当
时，l经过抛物线的焦点F.
另解：（Ⅰ）∵抛物线，即
，
∴焦点为
………………………………………………………1分
（1）直线的斜率不存在时，显然有………………………………3分
（2）直线的斜率存在时，设为k， 截距为b
即直线：y=kx+b 由已知得：
……………5分 
……………7分 
即的斜率存在时，不可能经过焦点……………………………………8分
所以当且仅当
=0时，直线经过抛物线的焦点F…………………………9分
（Ⅱ）（文）当
时，
直线的斜率显然存在，设为：y=kx+b………………………………10分
则由（Ⅰ）得：
………………………11分
…………………………………………13分
所以直线的方程为
，即
………………14分
（II）(理)设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为
；过点A、B的直线方程可写为
，所以
满足方程
得
；
A，B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式
即
设AB的中点N的坐标为
，则
由
即得l在y轴上截距的取值范围为（
）.